高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程第三课时学案设计

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册1.3 直线的方程第三课时学案设计，共7页。

要点 直线方程的一般式
1．定义：关于x，y的二元一次方程____________(其中A，B不全为0)表示的是一条直线，称它为直线方程的一般式．
2．适用范围：
平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示．
3．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)；
当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率．
状元随笔 解读直线方程的一般式：
①方程是关于x，y的二元一次方程．
②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列．
③x的系数一般不为分数和负数．
④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程．
[基础自测]
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程来表示．( )
(2)任意一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．( )
(3)直线l：Ax＋By＋C＝0的斜率为－.( )
(4)当C＝0时，方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)表示过原点的直线．( )
2．在直角坐标系中，直线x＋y－3＝0的倾斜角是( )
A．30° B．60°
C．150° D．120°
3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B应满足的条件为( )
A．A≠0 B．B≠0
C．A·B≠0 D．A2＋B2≠0
4．斜率为2，且经过点A(1，3)的直线的一般式方程为________．
题型一 直线方程的一般式及其应用
例1 利用直线方程的一般式，求过点(0，3)，并且与坐标轴围成三角形的面积是6的直线方程．
方法归纳
求直线一般式方程的策略
1．当A≠0时，方程可化为x＋y＋＝0，只需求的值；若B≠0，则方程化为x＋y＋＝0，只需确定的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．
2．在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
跟踪训练1 (1)[多选题]下列直线中，经过第一象限的是( )
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x－3y＋7＝0
C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
(2)直线x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )
A． B．－
C． D．－3
题型二 直线方程的一般式与其它形式的转化
例2 (1)求斜率是－，经过点A(8，－2)的直线方程；
(2)求在x轴和y轴上的截距分别是，－3的直线方程；
(3)若方程Ax＋By＋C＝0表示与两坐标轴都相交的直线，求A，B应满足的条件．
方法归纳
(1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后转化为一般式．
(2)将直线方程化为斜截式，由斜率可求出A，B之间的关系，将此关系式代入A，B，C三者的关系式，即可得出B，C之间的关系式，将直线一般方程中的系数全部化为用B表示的式子，消去B，即可得到直线方程．
跟踪训练2 (1)经过两点A(3，－2)，B(5，－4)的直线方程为________________________；
(2)已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________________________．
题型三 由含参一般式求参数的值或取值范围
例3 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
(1)当直线恒过第一象限内的一定点时，必然可得该直线总经过第一象限；
(2)直线不过第二象限，即斜率大于0且与y轴的截距不大于0.
变式探究1 本例中若直线不经过第四象限，则a的取值范围是什么？
变式探究2 本例中将方程改为“x－(a－1)y－a－2＝0”，若直线不经过第二象限，则a的取值范围又是什么？
方法归纳
求直线过定点的策略
1．将方程化为点斜式，求得定点的坐标；
2．将方程变形，把x，y看作参数的系数，因为此式子对于任意的参数的值都成立，故需系数为零，解方程组可得x，y的值，即为直线过的定点．跟踪训练3 已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0为直线l的方程，求证：不论k取何实数，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标．
易错辨析 忽视斜率不存在的情况引发错误
例4 已知直线l1：mx＋8y＋m－10＝0和直线l2：x＋2my－4＝0垂直，则m＝________．
解析：若m≠0时＝＝－
＝(－)×(－)＝≠－1，显然不成立，因此两条直线不能垂直；
若m＝0时，直线l1的方程为y＝和x＝4，这两条直线垂直．
综上m＝0.
答案：0
【易错警示】
[课堂十分钟]
1．过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为( )
A．4x＋3y＋12＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y＋12＝0 D．4x－3y－12＝0
2．直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是( )
3．直线方程kx－y＋2－3k＝0恒过定点( )
A．(3，2) B．(2，3)
C．(－3，2) D．(－2，3)
4．经过点A(4，2)且在y轴上的截距为－2的直线方程的一般式为________．
5．直线2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)在x轴、y轴上的截距之和等于0时，则k＝________．
第3课时 直线方程的一般式
新知初探·课前预习
要点
Ax＋By＋C＝0
[基础自测]
1．(1)√ (2)√ (3)× (4)√
2．解析：直线斜率k＝－，所以倾斜角为150°，故选C.
答案：C
3．解析：根据直线方程的一般式可知，要使得Ax＋By＋C＝0表示直线，则A，B不能同时为零，即A2＋B2≠0.
答案：D
4．解析：由直线点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化为一般式为：2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
题型探究·课堂解透
例1 解析：设直线方程为Ax＋By＋C＝0，
∵直线过点(0，3)，代入直线方程，得3B＝－C，B＝－
与坐标轴交点分别为，
由三角形面积为6，得＝12，∴A＝±
∴方程为±x－y＋C＝0
故所求直线方程为3x－4y＋12＝0或3x＋4y－12＝0.
跟踪训练1 解析：(1)A中，令x＝0，y＝－；令y＝0，x＝－，如图，，A不正确．B中，令x＝0，y＝；令y＝0，x＝－，如图，，B正确；C中，令x＝0，y＝14；令y＝0，x＝，如图，，C正确；D中，令x＝0，y＝；令y＝0，x＝14，如图，，D正确．故选BCD.
(2)令y＝0，x＝－3.故选D.
答案：(1)BCD (2)D
例2 解析：(1)由点斜式得y－(－2)＝－(x－8)，
即x＋2y－4＝0.
(2)由截距式得＝1，即2x－y－3＝0.
(3)当A＝0，B≠0时，直线化为y＝－，
只与y轴相交，不符合题意；
当B＝0，A≠0时，直线化为x＝－，
只与x轴相交，不符合题意．
当A≠0，B≠0时，直线化为y＝－x－，
斜率为k＝－，截距为b＝－
只要斜率存在且不为0，直线与两坐标轴均有交点，所以A≠0，B≠0.
跟踪训练2 解析：(1)由直线方程的两点式得：＝，整理得x＋y－1＝0.
(2)直线Ax＋By＋C＝0的斜截式为y＝－x－，所以－＝5，即A＝－5B，代入A－2B＋3C＝0得C＝B.
将直线方程中参数全部化为关于B的式子为－5Bx＋By＋B＝0，消掉B，得15x－3y－7＝0.
答案：(1)x＋y－1＝0 (2)15x－3y－7＝0
例3 解析：(1)方法一 将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
∴直线l的斜率为a，且过定点A()，
而点A()在第一象限内，故不论a为何值，l恒过第一象限．
方法二 直线l的方程可化为(5x－1)a－(5y－3)＝0.
∵上式对任意的a总成立，
必有即
即l过定点A()．以下同方法一．
(2)直线OA的斜率为k＝＝3.
如图所示，要使l不经过第二象限，需斜率a≥kOA＝3，
∴a的取值范围为[3，＋∞)．
变式探究1 解析：由本例(2)解法可知直线OA的斜率为3，要使直线不经过第四象限，则有a≤3.
变式探究2 解析：①当a－1＝0，即a＝1时，直线为x＝3，该直线不经过第二象限，满足要求．
②当a－1≠0，即a≠1时，直线化为斜截式方程为y＝x－，因为直线不过第二象限，故该直线的斜率大于等于零，且在y轴的截距小于等于零，即解得，所以a＞1.
综上可知a≥1.
跟踪训练3 证明：整理直线l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.无论k取何值，该式恒成立，
所以解得
所以直线l经过定点M(1，－1)．
[课堂十分钟]
1．解析：由截距式得直线方程为＝1，整理得4x－3y＋12＝0.
答案：C
2．解析：将l1与l2的方程化为斜截式得y＝ax＋b，y＝bx＋a，根据斜率和截距的符号可得选C.
答案：C
3．解析：因为直线方程kx－y＋2－3k＝0，
即为k(x－3)－y＋2＝0
所以，解得，
所以直线恒过定点(3，2)．故选A.
答案：A
4．解析：设直线方程为y＝kx－2.
点A(4，2)代入y＝kx－2得k＝1.
故直线方程的一般式为：x－y－2＝0.
答案：x－y－2＝0
5．解析：直线方程可化为：＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
答案：1
易错原因
纠错心得
忽视斜率不存在，把直线的一般式化为斜截式得＝＝－导致出错．
含参数的直线方程中，一定注意垂直于x轴的情况，此情况直线方程存在而斜率不存在，常常忽视而漏解．