高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册第一章 直线与圆2 圆与圆的方程2.2 圆的一般方程示范课课件ppt

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2.2　圆的一般方程
第一章　§2　圆与圆的方程
学习目标
1.掌握圆的一般方程及其特点.
2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的坐标和半径的大小.
3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.
导语
前面我们已讨论了圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，现将其展开可得x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0.可见，任何一个圆的方程都可以变形为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的形式.请大家思考一下，形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线是不是圆？下面我们来探讨这一方面的问题.
内容索引
圆的一般方程的理解

一
问题1　方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋5＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？
提示　对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，2为半径的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝0，表示点(1，－2)；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，不表示任何图形.
问题2　如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0能表示圆的方程，有什么条件？
问题3　当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示什么图形？
知识梳理
1.圆的一般方程： (其中D2＋E2－4F>0)称为圆的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(1)二元二次方程要想表示圆，需x2和y2的系数相同且不为0，没有xy这样的二次项.化为一般方程后，还需D2＋E2－4F>0.(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>0.
注意点：
　　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆.(1)求实数m的取值范围；
由表示圆的充要条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，
(2)写出圆心坐标和半径.
将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
圆的一般方程的辨析(1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆.(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
反思感悟
　　　(1)若方程x2＋y2＋ax－ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为______________.
方程x2＋y2＋ax－ay＝0(a≠0)，
(2)点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.
9π
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴该圆的面积为9π.
求圆的一般方程

二
　　已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.
由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或a＝6.
反思感悟
求圆的方程的策略(1)几何法：由已知条件通过几何关系求得圆心坐标、半径，得到圆的方程.(2)待定系数法：选择圆的标准方程或一般方程，根据条件列关于a，b，r或D，E，F的方程组，解出系数，得到方程.
　　　已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为　 ，求圆的一般方程.
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
即D＋E＝－2. ①
∴D2＋E2＝20. ②
又∵圆心在第二象限，
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
圆的一般方程的综合问题

三
　　已知曲线C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求证：曲线C都表示圆，并且这些圆心都在同一条直线上；
原方程可化为(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.故方程表示圆心为(－k，－2k－5)，
消去k，得2x－y－5＝0.∴这些圆的圆心都在直线2x－y－5＝0上.
(2)证明：曲线C过定点；
将原方程变形为k(2x＋4y＋10)＋(x2＋y2＋10y＋20)＝0.上式关于参数k是恒等式，
∴曲线C过定点(1，－3).
(3)若曲线C与x轴相切，求k的值.
∵圆C与x轴相切，∴圆心到x轴的距离等于半径，
两边平方，得(2k＋5)2＝5(k＋1)2.化简得，k2－10k－20＝0，
反思感悟
与圆有关的含有参数的二元二次方程解题策略(1)将其化为圆的标准方程，可确定参数的取值范围，并可求得有关的最值.(2)可化为k(Ax＋By＋C)＋(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0，
　　　已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0表示一个圆.(1)求t的取值范围；
由圆的一般方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0得，[－2(t＋3)]2＋4(1－4t2)2－4(16t4＋9)>0，
(2)求圆的圆心和半径；
(3)求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程.
课堂小结
1.知识清单： (1)圆的一般方程的理解. (2)求圆的一般方程. (3)圆的一般方程的综合问题.2.方法归纳：待定系数法、几何法.3.常见误区：忽视圆的一般方程表示圆的条件.
随堂演练

1.若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是
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√
根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，
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2.已知圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心坐标为(－2,3)，D，E分别为A.4，－6 B.－4，－6C.－4,6 D.4,6
√
又已知该圆的圆心坐标为(－2,3)，
∴D＝4，E＝－6.
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3.(多选)圆x2＋y2－4x－1＝0A.关于点(2,0)对称B.关于直线y＝0对称C.关于直线x＋3y－2＝0对称D.关于直线x－y＋2＝0对称
√
√
√
x2＋y2－4x－1＝0⇒(x－2)2＋y2＝5，即圆心坐标为(2,0).圆是关于圆心对称的中心对称图形，而点(2,0)是圆心，故A正确；圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，故B，C正确，D错误.
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4.已知圆C过点M(1,1)，N(5,1)，且圆心在直线y＝x－2上，则圆的方程为______________________.
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
x2＋y2－6x－2y＋6＝0
∴圆的方程为x2＋y2－6x－2y＋6＝0.
课时对点练

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1.(多选)若方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为A.－2 　　　B.0 　　　 C.1 　　　D.
√
√
√
根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，
2.已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为A.3 　　　 B.　　　　 C.5　　　 D.4
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圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
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3.(多选)下列结论正确的是A.任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程B.圆的一般方程和标准方程可以互化C.方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆D.若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则 　　＋Dx0＋Ey0＋　F>0
√
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AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确.
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4.已知圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是A.点 　　　B.直线 　　　 C.线段 　　　D.圆
√
∵圆C：x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－1＝0过点A(1,0)，∴1－2a＋a2＋b2－1＝0，∴(a－1)2＋b2＝1，∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆.
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5.若圆x2＋y2＋ax－by＝0的圆心在第二象限，则直线x＋ay－b＝0一定不经过A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
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由圆心在第二象限可得a>0，b>0，
所以该直线一定不经过第三象限.
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A.－2　　 　B.2 　　　 C.－2或2 　　　D.－2或0
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解得k＝2或k＝－2(舍去).
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7.过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为____________________.
设过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
x2＋y2－8x＋6y＝0
故所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.
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设圆C的圆心坐标为(a,0)(a>0)，
x2＋y2－4x－5＝0
解得a＝2(a＝－2舍去)，
所以圆C的一般方程为x2＋y2－4x－5＝0.
9.已知方程x2＋y2－2(t＋2)x＋2(1－2t2)y＋4t4－2t2＋8t＋8＝0表示的图形是圆.(1)求t的取值范围；
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将方程化为[x－(t＋2)]2＋[y＋(1－2t2)]2＝－t2－4t－3，因为该方程表示圆，所以－t2－4t－3>0，解得－3(2)求该圆半径r的取值范围.
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因为r2＝－t2－4t－3＝－(t＋2)2＋1，所以当t＝－2时，r2有最大值，且最大值为1，所以r∈(0,1].
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10.已知△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(2,4)，直线l过点B且与直线x－y＋1＝0平行，点A和点C关于直线l对称.(1)求直线l的方程；
设直线l的方程为x－y＋c＝0，∵直线l经过点B(2,4)，∴2－4＋c＝0，∴c＝2，即直线l的方程为x－y＋2＝0.
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(2)求△ABC外接圆的方程.
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设C(x0，y0)，则kAC·kl＝－1，
由①②可得，x0＝－1，y0＝3，∴C(－1,3)，
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设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A(1,1)，B(2,4)，C(－1,3)都在圆上，
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11.方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r(r>0)的圆，则该圆的圆心在A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限
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因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是圆，
故该圆的圆心在第四象限.
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12.圆C：x2＋y2－4x＋2y＝0关于直线y＝x＋1对称的圆的方程是A.(x＋1)2＋(y－2)2＝5 B.(x＋4)2＋(y－1)2＝5C.(x＋2)2＋(y－3)2＝5 D.(x－2)2＋(y＋3)2＝5
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把圆C的方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圆心C(2，－1).设圆心C关于直线y＝x＋1的对称点为C′(x0，y0)，
∴圆C关于直线y＝x＋1对称的圆的方程为(x＋2)2＋(y－3)2＝5.
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13.若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于
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所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，
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14.已知圆C经过点(4,2)，(1,3)和(5,1)，则圆C与两坐标轴的四个截距之和为_____.
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设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，将(4,2)，(1,3)，(5,1)代入方程中，
所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，则y2＋4y－20＝0，设两根分别为y1，y2，由根与系数的关系得y1＋y2＝－4；令y＝0，则x2－2x－20＝0，设两根分别为x1，x2，
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由根与系数的关系得x1＋x2＝2，故圆C与两坐标轴的四个截距之和为y1＋y2＋x1＋x2＝－4＋2＝－2.
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15.已知点P(7,3)，圆M：x2＋y2－2x－10y＋25＝0，点Q为圆M上一点，点S在x轴上，则|SP|＋|SQ|的最小值为A.7 　　　B.8 　　　C.9　　　 D.10
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由题意知圆M的方程可化为(x－1)2＋(y－5)2＝1，所以圆心为M(1,5)，半径为1.如图所示，作点P(7,3)关于x轴的对称点P′(7，－3)，连接MP′，交圆M于点Q，交x轴于点S，此时|SP|＋|SQ|的值最小，否则，在x轴上另取一点S′，连接S′P，S′P′，S′Q，由于P与P′关于x轴对称，所以|SP|＝|SP′|，|S′P|＝|S′P′|，所以|SP|＋|SQ|＝|SP′|＋|SQ|＝|P′Q|<|S′P′|＋|S′Q|＝|S′P|＋|S′Q|.
16.在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,0)，B(1,0).若动点C满足|AC|＝　　 |BC|，求△ABC面积的最大值.
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即(x＋1)2＋y2＝2(x－1)2＋2y2，化简整理得(x－3)2＋y2＝8，其中y≠0.∴点C为圆(x－3)2＋y2＝8上除去x轴上的点外的任一点，