鲁教版 (五四制)九年级上册2 反比例函数的图像与性质优质表格教学设计及反思

反比例函数图象与性质2

教学内容

教师活动

学生活动

设计意图

时间

预设

活动一：

温故知新

今天这节课我们继续研究反比例函数的图象与性质。前面我们已经学过了一次函数的图象和性质，一起来思考：

问题1：师：一次函数的增减性是怎么样的？

问题2：一次函数与坐标轴围成的三角形的面积怎么求？

生：k>0时y随的x增大而增大

k<0时y随的x增大而减小

生：与x轴的交点, y

=0,x=　.　　与y轴相交x＝０,y＝b

所以

通过温习故知，追溯以往所学，类比引出新知，水到渠成，学生接受起来非常的自然。

2分钟

活动二：动手操作，探究新知。

师:那么反比例函数的增减性又是怎么样的呢？

利用你手中已经有的y=2/x ，y=4/x，y=6/x                                            图象中的一幅，小组合作讨论研究一下反比例函数的增减性。

（比比看哪个小组研究的最好）

师：你们有结论了吗？

理由是什么？

师：有道理吗？

说的真好！其它小组呢？

师：他们小组也得到了相同的结论。同样的给你们小组加上三分。

其它小组你们呢？

师：那是不是说所有的反比例函数都是y随x的增大而增小？

师：确实，我们刚才研究的函数图象确实都是k>0的情况。那是不是所有的k>0的反比例函数都是y随x的增大而减小呢？我们一起来看。

几何画板演示在k.>0时每一个象限内y随x的增大而减小

师：由此我们得到一个结论

师出示结论

师：大家看我在第三象限取一个点A,在第一象限取个点B.从A到B,横坐标怎么变？

纵坐标怎么变？

那和我们刚才找到的规律一样吗？

师；那我们刚才总结的规律是有缺陷的，谁能补充一下才能是规律没有漏洞？

师：行吗？

师：你太棒了，出示补充后的规律。

师：下面大家再从你手中的y=-2/x ，y=-4/x ，y=-6/x 的图像中任选一个图像来研究一下K<0时反比例函数

的增减性。

教师利用几何画板之验证结论的正确性。

生以小组为单位借助具体的函数图象讨论研究

生1：我们是借助y=4/x的图象研究的，我们的结论是y随x的增大而减小。

  我在上面选取了两个点A(1,4)，B(2,2)从A到B横坐标从１到２是增大的，而纵坐标从４到２是减小的。

生齐：有道理！

生2：我们小组的结论也是y随x的增大而减小，我们是借助于y=6/x图象，也是从上面选取了两个特殊的点(-3,-2) (-1,-6),横坐标从－３到－１，是增大的，而纵坐标从－２到－６是减小的

生；一样，我们得到的也一样

生：不是，应该是k>0时

生；k>0时y随x的增大而减小

生：增大

生：增大

生：不一样。

生：应该加上在同一象限内。

生；行！

有前面的讨论做基础学生很容易类比得出结论

通过观察讨论三个具体的反比例函数的图像，概括出当k>0时反比例函数的图像的性质，尤其注意反比例函数增减性是在每一象限内讨论的，把性质呈现出来，呈现出本节课知识的重点。

培养学生的观察、比较、发现、从特殊到一般的归纳小结能力和数学语言的组织表达能力。几何画板的运用使得本来比较抽象的知识变得非常直观，形象。从而使得函数的增减性变得不再难理解。

通过图示让学生思考、交流、探索，从中发现规律，深刻理解规律。特别是当A、B不在同一分支上时，探求的结果要和A、B在同一个分支上时进行有效对比，得出较为完善的结论。充分理解性质应用的前提条件“在同一象限内”

13分钟

活动三、巩固练习，学以致用

一、例2：若反比例函数的图象经过点A（-3，6）

(1)求这个反比例函数的表达式；

(2)在这个函数的图象上任取点A（a,m）和点B(b,n)若a>b>0

那么m和n有怎样的大小关系?

师：若我们将题目中的a>b>0换成a<b<0

那么m和n有怎样的大小关系?

师：若我们将题目中的a>b>0换成a>０>b

那么m和n有怎样的大小关系?

二、巩固提升

A: 1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有____________;在其所在的象限内，y随x的增大而增大的有___________.

2.

A:(1)已知点（4,y1）(6,y2)在反比例函数y=- 6/ X 的

图象上，试比较y1与y2大小

B:(2)已知点A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3)都在反比例函数y=4/X的图象上，比较y1、 y2、y3的大小关系。

C:（3)、如果点A（-2，y1),B(-1,y2)和C(3,y3)都在反比例函数y=k/x的图象上，

那么y1,y2与y3的大小又如何呢？

学生在学案上独立完成。

学生展示答案（注意解题步骤中的a>b>0）

学生讨论交流答案。

学生讨论交流答案。

学生自己独立思考将答案写在学案上。

学生自己讲解交流答案。

利用变式训练发散学生的思维从而使学生更深层次认识反比例函数的增减性在实际问题中的应用。

习题的设计注意体现了全面性和分层次性。通过变式练习进一步加深函数性质的理解和灵活应用，巩固本节课的知识点

10分钟

活动四、探究新知（二）

师；我们研究一次函数的时候研究过一次函数与坐标轴围成三角形的面积的计算方法。那么反比例函数能与标轴围成的三角形的面怎么求呢？

小组讨论完成。

师：你们觉得他说的有没有道理？

他有想法，会思考，考虑的特别周全，说的太好了，我们掌声鼓励一下！

师利用几何画板演示一下反比例函数的图象无限接近x轴y轴但永远不能相交.

师：但在反比例函数中仍然存在一个非常特殊的三角形：我们可以在反比例函数的图象上任取一点A，由这一点向x轴做垂线段AB，连结A点与原点O这样就构成了△ABO。大家看看这个三角形的面积有什么特别之处！（借助你手中的反比例函数的图象，小组研究。）

师：非常不错，他取了好几个函数上的点发现都是这个规律，有想法！

师：你们得到的结论和他们的一样吗？

师：哦，他们的结论是１/2︳k︳，你们同意哪个结论？

很明显第二个同学的结论更周全一些。这样我们在探究问题时一定注意分情况讨论问题。把所有的情况都考虑到。

那是不是所有的反比例函数上的这样的三角形的面积都有这个规律，我们一起来验证一下。

师；当我们从任意一个反比例函数y=k/x(k≠0)上的任意一A点向y轴做垂线段AB然后连结BO所形成的三角形的面积是否也是１/2︳k︳？

谁能证明一下？

师：若我以这个三角形的两条直角边为边构造成一个矩形，这个矩形的面积有没有什么特别之处？

生：反比例函数与坐标与围不成三角形！理由是反比例函数的表达式为y=k/x（k≠0）与x相交y=0即k=0

而k≠0，所以不会与x轴相交。与y轴相交x＝０而在分母上也不能为０所以它与x轴y轴没有交点因此不能构成三角形。

生；有！

学生予以表扬。

出示结论：当x值的绝对值无限增大时，反比例函数的图象的两个分支都无限接近x轴；

当x值的绝对值无限接近于零时，反比例函数的图象的两个分支都无限接近y轴.

但永远不会和x轴y轴相交

生１：此三角形的面积等于1/2k,

我们小组利用y=2x取了A（１，２），这样三角形的面积就是１,又在y=４x上取了点B（１，４）此时三角形的面积为２，因此我们认为三角形的面积应该等于１/2k

生２：我们认为此三角形的面积应该等于１/2︳k︳.我们小组是在y=-4x上取了点A（１，－４），此时三角形的面积为２，y=-6x上取的点B（２，－３）此时三角形的面积为３.因此我们认为三角形的面积应该为１/2︳k︳

生：第二个

经过验证无论k取何值，无论A点的位置怎样，三角形的面积始终等于１/2︳k︳

生：是。

生：

生：

在引出反比例函数与坐标轴交点的问题时，由一次函数与从坐标轴围成的三角形的面积类比求自然导入，使本节课水到渠成浑然一体。使学生在运用新知识时产生了问题从而产生了探究的欲望和兴趣。

如果直接探究函数y=k/x，对于有些学生来说有一定的困难．为了突破这一

难点，先利用具体简单的反比例函数到一般，进一步探究，学生由浅入深一步一步分散了难点。

。

通变式探究，开阔学生的思路，促进学生思维的发展，形成有效的知识建构．

10分钟

活动五：学以致用

A:1.如图,点P是反比例函数y=2/x图象上的一点,PD⊥x轴于D.则△POD的面积为____

A:2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是_____

C:  4、如图，点A、B是双曲线y=4/x上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂段，若 S阴影=1 则S1+S2=_______  

学生独立完成。

交流3、4题的答案

通过变式练习进一步加深函数性质的理解和灵活应用，巩固本节课的知识点。

4分钟

活动六：小结

师：我们这节愉快的数学之旅就要结束了，通过本节课的学习你有什么收获？

★一个核心：

    数形结合思想（用数表达，用形释义）

★两个性质：

     增减性（变化规律）

     面积不变性（概念本质）；

★两项注意：

     自变量x不为0，

     增减性前提是同一象限

生1、我学会了反比例函数的增减性

生2：反比例函数上任意一点向x轴或y轴引垂线段并连结这点和原点所成的三角形的面积的求法。

生3：我学会了反比例函数上任意一点向x轴y轴引垂线段所形成的矩形的面积相等

生4：我学会了用分类讨论的数学思想解题。

引导学生自己归纳梳理总结所学知识，使所学知识升华。

2分钟

活动七；课堂检测。

出示课堂检测题

学生自己独立快速完成。

当堂检测学生本节课所学知识效果。

3分钟

活动八：作业布置

课本P13页

A：习题1,2

B：习题3,4

C：习题5

进一步巩固课堂所学知识。

1分钟

板书设计：                 反比例函数的图象与性质（二）

y=k/x(k≠0)

一、k＞0     一、三  在每一个象限内，y随x的增大而减小

    k＜0     二、四  在每一个象限内，y随x的增大而增大

二、S△＝1/2∣K∣

S矩形=∣K∣