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苏科版九年级上册1.1 一元二次方程练习
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这是一份苏科版九年级上册1.1 一元二次方程练习，共9页。试卷主要包含了下列关于x的方程，若关于x的方程，如果0是关于x的一元二次方程，如果等内容，欢迎下载使用。
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＞﹣1D．a≠﹣1
3．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
5．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．﹣2，﹣3，﹣7C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
6．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
7．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不能确定
8．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2018B．2017C．2019D．2022
9. 已知a，b，c满足a＋c＝b，4a＋c＝2b，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况为( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝－1，x2＝－2
C．方程的解与a，b的取值有关 D．方程的解与a，b，c的取值有关
10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．3
二．填空题(30分)
11. 下列5个关于x的方程：①2x＋1＝0；②y2＋x＝1；③x2－1＝0；④x2＋eq \f(1,x)＝1；⑤x2＋5x＝(x＋3)(x－3)．其中是一元二次方程的是________(填序号)．
12. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________．
13. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．
14. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________．
15．若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是 ．（写出一个即可）
16．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ．
17．将一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）+9＝3x化为一般形式为 ，其中一次项系数是 ．
18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为 ．
19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2022﹣m2+3m＝ ．
20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++6的值等于 ．
三。解答题（60分）
21. （6分）根据一元二次方程根的定义，解答下列问题：
一个三角形两边的长分别为3 cm和7 cm，第三边的长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求这个三角形的周长．
解：由题意可得4＜a＜10.(第一步)∵a是整数，∴a可取5，6，7，8，9.(第二步)
当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，只有a＝7是方程的根．(第三步)
∴这个三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．
上述过程中，第一步的根据是________________________________，第三步应用了____________的数学思想，确定a的值是根据______________．
22. （6分）在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0和3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，求a和k的值．
23．（6分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝++3，求c的值．
24．（8分）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
25．（8分）已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式eq \f(2a5＋3a4＋3a3＋9a2－5a＋1,3a－1)的值．
26.（6分）阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．
例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为 ；
（2）通过图2可以得到
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ；
②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为 ．
27．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
28.（10分）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：一元二次方程只有④，共1个，故选：A．
2．若关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＞﹣1D．a≠﹣1
【解答】解：A．形如ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，此选项错误；B．＝0，即x2﹣1＝0是一元二次方程，此选项正确；C．方程x2﹣2x＝1，即x2﹣2x﹣1＝0的常数项为﹣1，此选项错误；D．在一元二次方程中，二次项系数不能为0，此选项错误；故选：B．
3．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，而a+3≠0，所以a的值为3．故选：A．
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3，
∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C．
5．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．﹣2，﹣3，﹣7C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
【解答】解：2y2﹣7＝3y，2y2﹣3y﹣7＝0，所以一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣7，故选：A．
6．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得：m＝2，故选：B．
7．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不能确定
【解答】解：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．
8．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2018B．2017C．2019D．2022
【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×2＝2022﹣4＝2018，故选：A．
9. 已知a，b，c满足a＋c＝b，4a＋c＝2b，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况为( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝－1，x2＝－2
C．方程的解与a，b的取值有关 D．方程的解与a，b，c的取值有关
【解答】解：∵a＋c＝b，∴a－b＋c＝0，即x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根．∵4a＋c＝2b，∴4a－2b＋c＝0，即x＝－2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根．故选B.
10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．3
【解答】解：根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0.
二．填空题(30分)
11. 下列5个关于x的方程：①2x＋1＝0；②y2＋x＝1；③x2－1＝0；④x2＋eq \f(1,x)＝1；⑤x2＋5x＝(x＋3)(x－3)．其中是一元二次方程的是________(填序号)．
【答案】③
12. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________．
【答案】eq \f(1,2)x(x－1)＝15 [解析] 共有x个班级参赛，每个班都要赛(x－1)场，但每两班之间只有一场比赛，由题意得eq \f(1,2)x(x－1)＝15.
13. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．
【答案】x＝1
14. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________．
【答案】a＋b＝－1 [解析] 设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1.
15．若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】2 【解答】解：∵（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴n﹣1≠0，
解得：n≠1．故答案为：2．
16．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】﹣【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣5＝0，
∴m2＝3m+5，＝m﹣（3m+5）＝m﹣m﹣＝﹣．故答案为﹣．
17．将一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）+9＝3x化为一般形式为 ，其中一次项系数是 ．
【答案】4x2﹣3x＝0，﹣3． 【解答】解：去括号得4x2﹣9+9＝3x，移项、合并得4x2﹣3x＝0，所以一元二次方程的一般式为4x2﹣3x＝0，其中一次项系数是﹣3．故答案为4x2﹣3x＝0，﹣3．
18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为 ．
【答案】m＝1【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．
19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2022﹣m2+3m＝ ．
【答案】2023【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴m2﹣3m+1＝0，∴m2＝3m﹣1，∴2022﹣m2+3m＝2022﹣（3m﹣1）+3m＝2022﹣3m+1﹣3m＝2023．故答案为2023．
20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++6的值等于 ．
【答案】2023【解答】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m++6＝2018m﹣1﹣2017m++6
＝m++5＝+5＝+5＝2018+5＝2023．故答案为2023．
三。解答题（60分）
21. （6分）根据一元二次方程根的定义，解答下列问题：
一个三角形两边的长分别为3 cm和7 cm，第三边的长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求这个三角形的周长．
解：由题意可得4＜a＜10.(第一步)∵a是整数，∴a可取5，6，7，8，9.(第二步)
当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，只有a＝7是方程的根．(第三步)
∴这个三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．
上述过程中，第一步的根据是________________________________，第三步应用了____________的数学思想，确定a的值是根据______________．
【答案】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 分类讨论 方程根的定义
22. （6分）在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0和3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，求a和k的值．
解：根据题意，得a2－(2k＋1)a＋4＝0①，3a2－(6k－1)a＋8＝0②. ①×3，得3a2－(6k＋3)a＋12＝0③，②－③，得4a－4＝0，解得a＝1. 把a＝1代入①，得1－(2k＋1)×1＋4＝0，解得k＝2.
23．（6分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝++3，求c的值．
解：∵a﹣2≥0，a﹣2≤0，∴a＝2，∴b＝3，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是1，
∴a+b+c＝0，∴2+3+c＝0，∴c＝﹣5．
24．（8分）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
解：∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0．∴x＝5或x＝﹣3．由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．∵＝×﹣2
＝×﹣2＝﹣2（3+m）﹣2＝﹣6﹣2m﹣2．当m＝5时，原代数式无意义；
当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2＝0﹣2＝﹣2．
25．（8分）已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式eq \f(2a5＋3a4＋3a3＋9a2－5a＋1,3a－1)的值．
【解】 ∵a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，∴2a2＋3a－1＝0，即2a2＋3a＝1，
∴原式＝eq \f(a3（2a2＋3a）＋3a3＋9a2－5a＋1,3a－1)＝eq \f(4a3＋9a2－5a＋1,3a－1)＝eq \f(2a（2a2＋3a）＋3a2－5a＋1,3a－1)
＝eq \f(3a2－3a＋1,3a－1)＝eq \f(\f(3,2)（2a2＋3a）－\f(15,2)a＋1,3a－1)
26.（6分）阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．
例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为 ；
（2）通过图2可以得到
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ；
②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为 ．
解：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为x＞1；
（2）通过图2可以得到2＝2；
27．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
28.（10分）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1） （2） 设所求方程的根为 则 ，
于是 ．把 代入方程 ，
得 ，去分母，得 ．若 ，有 ，即 ，可得有一个解为 ，所以方程 有一个根为 ，不符合题意，所以 ，故所求方程为 ．
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．若关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＞﹣1D．a≠﹣1
3．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
5．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．﹣2，﹣3，﹣7C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
6．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
7．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不能确定
8．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2018B．2017C．2019D．2022
9. 已知a，b，c满足a＋c＝b，4a＋c＝2b，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况为( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝－1，x2＝－2
C．方程的解与a，b的取值有关 D．方程的解与a，b，c的取值有关
10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．3
二．填空题(30分)
11. 下列5个关于x的方程：①2x＋1＝0；②y2＋x＝1；③x2－1＝0；④x2＋eq \f(1,x)＝1；⑤x2＋5x＝(x＋3)(x－3)．其中是一元二次方程的是________(填序号)．
12. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________．
13. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．
14. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________．
15．若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是 ．（写出一个即可）
16．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ．
17．将一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）+9＝3x化为一般形式为 ，其中一次项系数是 ．
18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为 ．
19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2022﹣m2+3m＝ ．
20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++6的值等于 ．
三。解答题（60分）
21. （6分）根据一元二次方程根的定义，解答下列问题：
一个三角形两边的长分别为3 cm和7 cm，第三边的长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求这个三角形的周长．
解：由题意可得4＜a＜10.(第一步)∵a是整数，∴a可取5，6，7，8，9.(第二步)
当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，只有a＝7是方程的根．(第三步)
∴这个三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．
上述过程中，第一步的根据是________________________________，第三步应用了____________的数学思想，确定a的值是根据______________．
22. （6分）在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0和3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，求a和k的值．
23．（6分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝++3，求c的值．
24．（8分）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
25．（8分）已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式eq \f(2a5＋3a4＋3a3＋9a2－5a＋1,3a－1)的值．
26.（6分）阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．
例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为 ；
（2）通过图2可以得到
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ；
②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为 ．
27．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
28.（10分）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
教师样卷
一．选择题(30分）
1．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣3＝0；③x2﹣4+x5＝0；④3x＝x2．其中是一元二次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：一元二次方程只有④，共1个，故选：A．
2．若关于x的方程（a+1）x2﹣ax+2＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（ ）
A．a≠0B．a＞0C．a＞﹣1D．a≠﹣1
【解答】解：A．形如ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的方程叫做一元二次方程，此选项错误；B．＝0，即x2﹣1＝0是一元二次方程，此选项正确；C．方程x2﹣2x＝1，即x2﹣2x﹣1＝0的常数项为﹣1，此选项错误；D．在一元二次方程中，二次项系数不能为0，此选项错误；故选：B．
3．如果0是关于x的一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0的一个根，那么a的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．±2
【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（a+3）x2﹣x+a2﹣9＝0得a2﹣9＝0，解得a1＝﹣3，a2＝3，而a+3≠0，所以a的值为3．故选：A．
4．已知m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，则代数式2m2﹣2m+7的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣x﹣3＝0的根，∴m2﹣m﹣3＝0，∴m2﹣m＝3，
∴2m2﹣2m+7＝2（m2﹣m）+7＝2×3+7＝13．故选：C．
5．一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．2，﹣3，﹣7B．﹣2，﹣3，﹣7C．2，﹣7，3D．﹣2，﹣3，7
【解答】解：2y2﹣7＝3y，2y2﹣3y﹣7＝0，所以一元二次方程2y2﹣7＝3y的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，﹣3，﹣7，故选：A．
6．如果（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为（ ）
A．2或﹣2B．2C．﹣2D．0
【解答】解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得：m＝2，故选：B．
7．若x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣1）2，q＝ac+1.5，则p与q的大小关系为（ ）
A．p＜qB．p＝qC．p＞qD．不能确定
【解答】解：∵x1是方程ax2﹣2x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣2x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣1）2﹣（ac+1.5）＝a2x12﹣2ax1+1﹣ac﹣1.5＝a（ax12﹣2x1）﹣ac﹣0.5＝ac﹣ac﹣0.5＝﹣0.5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．
8．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2022﹣2a+2b的值等于（ ）
A．2018B．2017C．2019D．2022
【解答】解：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2022﹣2（a﹣b）＝2022﹣2×2＝2022﹣4＝2018，故选：A．
9. 已知a，b，c满足a＋c＝b，4a＋c＝2b，则关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解的情况为( )
A．x1＝1，x2＝2 B．x1＝－1，x2＝－2
C．方程的解与a，b的取值有关 D．方程的解与a，b，c的取值有关
【解答】解：∵a＋c＝b，∴a－b＋c＝0，即x＝－1是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根．∵4a＋c＝2b，∴4a－2b＋c＝0，即x＝－2是方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根．故选B.
10. 定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．如果一元二次方程2x2＋mx＋n＝0既是“和谐”方程又是“美好”方程，那么mn的值为( )
A．2 B．0 C．－2 D．3
【解答】解：根据“和谐”方程和“美好”方程的定义得2＋m＋n＝0，2－m＋n＝0，解得m＝0，n＝－2，所以mn＝0.
二．填空题(30分)
11. 下列5个关于x的方程：①2x＋1＝0；②y2＋x＝1；③x2－1＝0；④x2＋eq \f(1,x)＝1；⑤x2＋5x＝(x＋3)(x－3)．其中是一元二次方程的是________(填序号)．
【答案】③
12. 某中学要组织一次篮球比赛，以班为单位，赛制为单循环形式(每两班之间都赛一场)，现计划安排15场比赛，则共有多少个班级参赛？设共有x个班级参赛，根据题意，可列方程为______________．
【答案】eq \f(1,2)x(x－1)＝15 [解析] 共有x个班级参赛，每个班都要赛(x－1)场，但每两班之间只有一场比赛，由题意得eq \f(1,2)x(x－1)＝15.
13. 根据下表中的数据写出方程x2＋3x－4＝0的一个根为________．
【答案】x＝1
14. 若关于x的方程x2＋ax＋b＝0和x2＋bx＋a＝0(a≠b)只有一个相同的根，则a，b的关系是______________．
【答案】a＋b＝－1 [解析] 设两个方程相同的根为x＝m.根据题意，得m2＋am＋b＝0①，m2＋bm＋a＝0②.①－②，得m(a－b)＋(b－a)＝0.∵a≠b，∴a－b≠0，∴两边同除以(a－b)，得m＝1，∴12＋a＋b＝0，∴a＋b＝－1.
15．若（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，则n的值可以是 ．（写出一个即可）
【答案】2 【解答】解：∵（n﹣1）x2+2x﹣4＝0是关于x的一元二次方程，∴n﹣1≠0，
解得：n≠1．故答案为：2．
16．已知m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】﹣【解答】解：∵m是方程x2﹣3x﹣5＝0的一个根，∴m2﹣3m﹣5＝0，
∴m2＝3m+5，＝m﹣（3m+5）＝m﹣m﹣＝﹣．故答案为﹣．
17．将一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）+9＝3x化为一般形式为 ，其中一次项系数是 ．
【答案】4x2﹣3x＝0，﹣3． 【解答】解：去括号得4x2﹣9+9＝3x，移项、合并得4x2﹣3x＝0，所以一元二次方程的一般式为4x2﹣3x＝0，其中一次项系数是﹣3．故答案为4x2﹣3x＝0，﹣3．
18．已知x＝n是关于x的一元二次方程mx2﹣4x﹣5＝0的一个根，若mn2﹣4n+m＝6，则m的值为 ．
【答案】m＝1【解答】解：把x＝n代入方程得：mn2﹣4n﹣5＝0，即mn2﹣4n＝5，代入已知等式得：5+m＝6，解得：m＝1．
19．若m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则2022﹣m2+3m＝ ．
【答案】2023【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，∴m2﹣3m+1＝0，∴m2＝3m﹣1，∴2022﹣m2+3m＝2022﹣（3m﹣1）+3m＝2022﹣3m+1﹣3m＝2023．故答案为2023．
20．已知m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，则代数式m2﹣2017m++6的值等于 ．
【答案】2023【解答】解：∵m是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，∴m2﹣2018m+1＝0，
∴m2＝2018m﹣1，m2+1＝2018m，∴m2﹣2017m++6＝2018m﹣1﹣2017m++6
＝m++5＝+5＝+5＝2018+5＝2023．故答案为2023．
三。解答题（60分）
21. （6分）根据一元二次方程根的定义，解答下列问题：
一个三角形两边的长分别为3 cm和7 cm，第三边的长为a cm，且整数a满足a2－10a＋21＝0，求这个三角形的周长．
解：由题意可得4＜a＜10.(第一步)∵a是整数，∴a可取5，6，7，8，9.(第二步)
当a＝5时，代入a2－10a＋21＝52－10×5＋21≠0，故a＝5不是方程的根．
同理可知a＝6，a＝8，a＝9都不是方程的根，只有a＝7是方程的根．(第三步)
∴这个三角形的周长是3＋7＋7＝17(cm)．
上述过程中，第一步的根据是________________________________，第三步应用了____________的数学思想，确定a的值是根据______________．
【答案】三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 分类讨论 方程根的定义
22. （6分）在解决数学问题时，我们经常要回到基本定义与基本方法去思考．试利用方程的解的定义及解方程组的基本方法解决以下问题：
已知a是关于x的方程x2－(2k＋1)x＋4＝0和3x2－(6k－1)x＋8＝0的公共解，求a和k的值．
解：根据题意，得a2－(2k＋1)a＋4＝0①，3a2－(6k－1)a＋8＝0②. ①×3，得3a2－(6k＋3)a＋12＝0③，②－③，得4a－4＝0，解得a＝1. 把a＝1代入①，得1－(2k＋1)×1＋4＝0，解得k＝2.
23．（6分）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝++3，求c的值．
解：∵a﹣2≥0，a﹣2≤0，∴a＝2，∴b＝3，∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根是1，
∴a+b+c＝0，∴2+3+c＝0，∴c＝﹣5．
24．（8分）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式的值．
解：∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0．∴x＝5或x＝﹣3．由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．∵＝×﹣2
＝×﹣2＝﹣2（3+m）﹣2＝﹣6﹣2m﹣2．当m＝5时，原代数式无意义；
当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2＝0﹣2＝﹣2．
25．（8分）已知a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，求代数式eq \f(2a5＋3a4＋3a3＋9a2－5a＋1,3a－1)的值．
【解】 ∵a是方程2x2＋3x－1＝0的一个根，∴2a2＋3a－1＝0，即2a2＋3a＝1，
∴原式＝eq \f(a3（2a2＋3a）＋3a3＋9a2－5a＋1,3a－1)＝eq \f(4a3＋9a2－5a＋1,3a－1)＝eq \f(2a（2a2＋3a）＋3a2－5a＋1,3a－1)
＝eq \f(3a2－3a＋1,3a－1)＝eq \f(\f(3,2)（2a2＋3a）－\f(15,2)a＋1,3a－1)
26.（6分）阅读理解：
由所学一次函数知识可知，在平面直角坐标系内，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点横坐标，是一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解；在x轴下方的图象所对应的x的所有值是kx+b＜0（k≠0）的解集，在x轴上方的图象所对应的x的所有值是kx+b＞0（k≠0）的解集．
例，如图1，一次函数kx+b＝0（k≠0）的图象与x轴交于点A（1，0），则可以得到关于x的一元一次方程kx+b＝0（k≠0）的解是x＝1；kx+b＜0（k≠0）的解集为x＜1．
结合以上信息，利用函数图象解决下列问题：
（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为 ；
（2）通过图2可以得到
①关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解为 ；
②关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a≠0）的解集为 ．
解：（1）通过图1可以得到kx+b＞0（k≠0）的解集为x＞1；
（2）通过图2可以得到2＝2；
27．（10分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
28.（10分）请阅读下列材料：
问题：已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍．
解：设所求方程的根为 y，则 ，所以 ．
把 代入已知方程，得 ，
化简，得 ，
故所求方程为 ．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称之为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：
（1）已知方程 ，求一个一元二次方程，使它的根分别为已知方程根的相反数，则所求方程为 ；
（2）已知关于 x 的一元二次方程 有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
【答案】（1） （2） 设所求方程的根为 则 ，
于是 ．把 代入方程 ，
得 ，去分母，得 ．若 ，有 ，即 ，可得有一个解为 ，所以方程 有一个根为 ，不符合题意，所以 ，故所求方程为 ．
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