数学九年级上册22.3 实际问题与二次函数课时训练

课  时  练

第22章  二次函数

22.3  实际问题与二次函数

一、选择题

1. 某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的(　　)

A．最大值为5万元      B．最大值为7万元

C．最小值为5万元      D．最小值为7万元

2. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为(　　)

A．130元/个       B．120元/个 

C．110元/个       D．100元/个

3. 如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(　　)

A．18 m2    B．18  m2 C．24  m2   D. m2

4. 一种包装盒的设计方法如图所示，四边形ABCD是边长为80 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四点重合于图中的点O，得到一个底面为正方形的长方体包装盒．设BE＝CF＝x cm，要使包装盒的侧面积最大，则x应取(　　)

A．30      B．25      C．20      D．15

5. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面点O的距离是1 m，球落地点A到点O的距离是4 m，那么这条抛物线的解析式是(　　)

A．y＝－x2＋x＋1    B．y＝－x2＋x－1

C．y＝－x2－x＋1      D．y＝－x2－x－1

6. 三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米．若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（　　）

A．4米 B．5米 C．2米 D．7米

二、填空题

7. 某种商品每件的进价为20元，经调查表明：在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，则可卖出(30－x)件．若要使销售利润最大，则每件的售价应为________元．

8. 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品的售价为a元，则可卖出(350－10a)件．但物价部门限定每件商品加价不能超过进价的40%，若商店想获得最大利润，则每件商品的价格应定为________元．

9. 如图所示是一座抛物线形拱桥，当水面宽为12 m时，桥拱顶部离水面4 m，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式为y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式为________________．

10. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t· 为正整数)的增大而增大，a的取值范围应为________．

11. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.

12. 如图是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于A，B两点，桥拱最高点C到AB的距离为9 m，AB＝36 m，D，E为桥拱底部的两点，且DE∥AB，点E到直线AB的距离为7 m，则DE的长为________m.

13. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝________．

14. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.

三、解答题

15. （2020·营口）某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）．

（1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

16. 有一个窗户边框的形状如图①，上部是由4个全等扇形组成的半圆，下部是矩形，如果制作窗户边框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户边框的尺寸，使透光面积最大？

这个例题的答案是当窗户半圆的半径约为0.35 m，窗框矩形部分的另一边长约为1.23 m时，窗户的透光面积最大，最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图②，材料总长仍为6 m，利用图③，解答下列问题：

(1)若AB为1 m，求此时窗户的透光面积；

(2)与题干中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．

17. (2019•绍兴)有一块形状如图的五边形余料，，，，，．要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在上，并使所截矩形的面积尽可能大．

(1)若所截矩形材料的一条边是或，求矩形材料的面积；

(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请说明理由．

18. 凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优惠方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×(18－10)＝0.8(元)，因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．

(1)求一次至少购买多少只计算器，才能以最低售价买？

(2)写出该文具店一次销售x(x＞10)只时，所获利润y(元)与x(只)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(3)一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？

19. （2020·无锡）有一块矩形地块ABCD，AB=20米，BC=30米.为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米。现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉。甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2、60元/米2、40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．

（1）当x=5时，求种植总成本y；

（2）求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；

（3）若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，求三种花卉的最低种植总成本．

20. 九年级(3)班数学兴趣小组经过市场调查整理出某种商品在第x天(1≤x≤90，且x为整数)的售价与销售量的相关信息如下，已知商品的进价为30元/件，设该商品的售价为y(单位：元/件)，每天的销售量为p(单位：件)，每天的销售利润为w(单位：元)．

　
(1)求出w与x的函数关系式；

(2)问销售该商品第几天时，当天的销售利润最大？并求出最大利润；

(3)该商品在销售过程中，共有多少天每天的销售利润不低于5600元？请直接写出结果．

参考答案

一、选择题

1. 【答案】B

2. 【答案】B　

3. 【答案】C　

4. 【答案】D　

5. 【答案】D

6. 【答案】D　

二、填空题

7. 【答案】(1)4　2　(2)－5　(3)　

(4)　

8. 【答案】k＞－　

9. 【答案】－2　

10. 【答案】m＞　

11. 【答案】－3或4　

12. 【答案】x1＝0，x2＝　

13. 【答案】1　

14. 【答案】　

三、解答题

15. 【答案】

解：(1)将方程左边分解因式，得(x－2)(x＋8)＝0.∴x1＝2，x2＝－8.

(2)将方程左边分解因式，得(x＋)(x＋)＝0.∴x1＝－，x2＝－.

16. 【答案】

[解析] (1)把8分解成2×4，且2＋4＝6.

(2)把－4分解成1×(－4)，

且1＋(－4)＝－3.

解：(1)2　4

(2)x2－3x－4＝0，

(x＋1)(x－4)＝0，

所以x＋1＝0或x－4＝0.

所以x1＝－1，x2＝4.

17. 【答案】

解：由已知，得x2－2xy－8y2＝0.

左边分解因式，得(x－4y)(x＋2y)＝0.

∵xy＞0，∴x，y同号，可见x＋2y≠0.

∴x－4y＝0，即x＝4y.

∴原式＝＝＝3.

18. 【答案】

解：(1)因为x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，

所以x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4＝0，

所以(x－y)2＋(y＋2)2＝0，

则x－y＝0，y＋2＝0，

解得x＝－2，y＝－2，

所以xy＝(－2)－2＝.

(2)因为a2＋b2＝12a＋8b－52，

所以a2－12a＋36＋b2－8b＋16＝0，

即(a－6)2＋(b－4)2＝0，

则a－6＝0，b－4＝0，

解得a＝6，b＝4，

所以2＜c＜10.

19. 【答案】

解：(1)－1　5　－2　－3　－4－2

－4＋2

(2)x4＋4＝x4＋4x2＋4－4x2＝(x2＋2)2－(2x)2＝(x2＋2＋2x)(x2＋2－2x)．

20. 【答案】

解：(1)证明：原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.

∵Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4(4－p2)＝4p2＋9＞0，

∴不论p为何实数，方程总有两个不相等的实数根．

(2)原方程可化为x2－5x＋4－p2＝0.

由求根公式得方程的根为x＝.

∵方程有整数解，

∴找到p的值，使为整数即可，

∴p可取0，2，－2，，－等，此时方程有整数解(答案不唯一，写出三个即可)．