数学九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时精练

这是一份数学九年级上册第二十二章 二次函数22.3 实际问题与二次函数第1课时精练，共12页。试卷主要包含了 A，故选C， 2等内容，欢迎下载使用。

1. （1）请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
①y＝6x2＋12x； ②y＝－4x2＋8x－10.
（2）以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.
2. 一般地，当a＞0（a＜0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x= 时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值 .
3. 用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？
(3) 当x为何值时，围成的养鸡场面积为最大？最大面积是多少？
互动训练
知识点一：利用二次函数解决实际应用中的最大、最小面积问题，
1．有一根长60 cm的铁丝，用它围成一个矩形，则矩形的面积S(cm2)与它的一边长x(cm)之间的函数解析式为( )
A．S＝60x B．S＝x(60－x)
C．S＝x(30－x) D．S＝30x
2．如图，利用一面墙，其他三边用80米长的篱笆围成一块矩形场地，墙长为30米，则围成矩形场地的最大面积为( )
A．800平方米 B．750平方米
C．600平方米 D．2400平方米

2题图 4题图
3．已知一个直角三角形两直角边长的和为30，则这个直角三角形的面积最大为________．
4．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________m时，矩形土地ABCD的面积最大．
5. 要围成一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成.围成的花圃是如图所示的矩形.设AB边的长为x米，矩形ABCD的面积为S平方米.
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；
（2）当x为何值时，S有最大值？并求出其最大值.
5题图
6. 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．
(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？
知识点二：用二次函数解决最大面积方案设计问题
7．用长为12 m的篱笆，一边利用足够长的墙围出一块苗圃．如图，围出的苗圃是五边形ABCDE，AE⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，∠C＝∠D＝∠E. 设CD＝DE＝x m，五边形ABCDE的面积为S m2，则S的最大值为( )
A．12eq \r(,3) B．12C．24eq \r(,3) D．没有最大值

7题图 8题图
8. 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如图所示)．
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
(2)求出这条抛物线的函数关系式；
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
类型之三：用二次函数解决几何动点问题
9. 如图，在Rt △ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．
(1)设运动开始后第t s时，四边形APQC的面积是S cm2，写出S与t之间的函数关系式，并指出自变量t的取值范围．
(2)t为何值时，S最小？最小值是多少？
9题图
10. 如图，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
10题图
课时达标
1．如图，假设篱笆(虚线部分)的长度是16 m，则所围成矩形ABCD的最大面积是( )
A．60 m2 B．63 m2 C．64 m2 D．66 m2

1题图 2题图 4题图
2.如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°. 若新建墙BC与CD的总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是( )
A．18 m2 B．18eq \r(3) m2 C．24eq \r(3) m2 D．eq \f(45\r(3),2) m2
3．在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上修建一个正方形花台．设正方形的边长为xm，除去花台后，矩形地面的剩余面积为ym2，则y与x之间的函数表达式是，自变量x的取值范围是．y有最大值或最小值吗？若有，其最大值是，最小值是.
4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点P从点A开始沿AB向点B以2 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以1 cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当△PBQ的面积最大时，运动时间为 s.
5．周长为16cm的矩形的最大面积为，此时矩形的边长为，实际上此时矩形是．
6．工人师傅用一块长为10 dm，宽为6 dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(如图，铁皮厚度不计)．
(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕，并求长方体底面面积为12 dm2时，裁掉的正方形边长．
(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元．裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低？最低为多少？

6题图
7．如图，一张正方形纸板的边长为10 cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形(图中阴影部分)．设AE＝BF＝CG＝DH＝x cm，阴影部分的面积为y cm2.
(1)求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围．
(2)当x取何值时，阴影部分的面积达到最大？最大为多少？
(3)当留下的四个直角三角形恰好能拼成一个正方形时(无缝隙无重叠)，求此时x的值．
7题图
8．如图，已知A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．
(1)经过几秒，P，Q两点之间的距离是10 cm?
(2)P，Q两点之间的距离何时最小？
8题图
拓展探究
1．养鸡专业户计划用116 m的篱笆围成如图所示的三间长方形鸡舍，门MN宽2 m，门PQ和RS的宽各为1 m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？
1题图
2．有一块形状如图所示的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E>90°.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在AE上，并使所截矩形的面积尽可能大．
(1)若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积．
(2)能否截出比(1)中面积更大的矩形材料？如果能，请求出矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由．
2题图
22.3 实际问题与二次函数（第1课时）答案
自主预习
1. 解：（1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标
为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.
（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为
（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.
2. ，.
3. 解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0＜x＜16)；
(2)当y＝60时，－x2＋16x＝60，解得x1＝10，x2＝6.所以当x＝10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；
(3) 由y=－x2＋16x(0＜x＜16)得， y＝－(x－8)2＋64，
当x＝8时，y有最大值64，即能围成的养鸡场的最大面积为64平方米，
互动训练
1. C. 2. B. 3. eq \f(225,2) 4. 150
5.解：（1）由题意可知AB=x m，则BC=（32-2x）m，
∴S=x(32-2x)=-2x2+32x.
（2）S=-2x2+32x=-2(x-8)2+128，
∴当x=8时，S有最大值，最大值为128m2.
6. 解：(1)根据题意，得S＝eq \f(60－2x,2)·x＝－x2＋30x. 自变量x的取值范围是0＜x＜30.
(2)S＝－x2＋30x＝－(x－15)2＋225，∵a＝－1＜0，∴S有最大值，
即当x＝15(米)时，S最大值＝225平方米．
7. A.
8.解：(1)M(12，0)，P(6，6)．
(2)设这条抛物线的函数关系式为y＝a(x－6)2＋6，因为抛物线过O(0，0)，
所以a(0－6)2＋6＝0，解得，a＝－eq \f(1,6)，
所以这条抛物线的函数关系式为：y＝－eq \f(1,6)(x－6)2＋6，即y＝－eq \f(1,6)x2＋2x.
(3)设OB＝m米，则点A的坐标为(m，－eq \f(1,6)m2＋2m)，所以AB＝DC＝－eq \f(1,6)m2＋2m.
根据抛物线的轴对称，可得OB＝CM＝m，所以BC＝12－2m，即AD＝12－2m，
所以l＝AB＋AD＋DC＝－eq \f(1,6)m2＋2m＋12－2m－eq \f(1,6)m2＋2m
＝－eq \f(1,3)m2＋2m＋12＝－eq \f(1,3)(m－3)2＋15.
所以当m＝3，即OB＝3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米．
9. 解：(1)∵AB＝6，BC＝12，∠B＝90°，∴BP＝6－t，BQ＝2t，
∴S四边形APQC＝S△ABC－S△PBQ＝eq \f(1,2)×6×12－eq \f(1,2)·(6－t)·2t，即S＝t2－6t＋36(0(2)∵S＝t2－6t＋36＝(t－3)2＋27，
∴当t＝3时，S最小，最小值是27.
10.解：设AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面积为y.
根据题意，得y＝1－2x（1－x）.
整理，得y＝2x2－2x＋1，
所以当x＝0.5时，正方形EFGH的面积最小为0.5，
即当点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.
课时达标
1. C.
2. C. 解析： 如下图，过点C作CE⊥AB于点E，
则四边形ADCE为矩形，设CD＝AE＝x.
∵∠DCE＝∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝∠BCD－∠DCE＝30°，BC＝12－x，
∴BE＝eq \f(1,2)BC＝6－eq \f(1,2)x，
∴AD＝CE＝eq \r(3)BE＝6eq \r(3)－eq \f(\r(3),2)x，
AB＝AE＋BE＝x＋6－eq \f(1,2)x＝eq \f(1,2)x＋6，
∴S梯形ABCD＝eq \f(1,2)(CD＋AB)·CE
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)x＋6))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6\r(3)－\f(\r(3),2)x))
＝－eq \f(3\r(3),8)x2＋3eq \r(3)x＋18eq \r(3)
＝－eq \f(3\r(3),8)(x－4)2＋24eq \r(3)，
∴当x＝4时，S最大值＝24eq \r(3).故选C.
3. y=600-x2, 0＜x＜20, 600, 200.
4. 2.
5.16cm2, 4cm, 正方形.
6. 解：(1)如图，设裁掉的正方形的边长为x cm.由题意，得(10－2x)(6－2x)＝12，
即x2－8x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝6(舍去)．
∴当裁掉的正方形的边长为2 dm时，长方体底面面积为12 dm2.
(2)∵长不大于宽的5倍，∴10－2x≤5(6－2x)，∴0设总费用为w元，由题意可知：
w＝0.5·2x(16－4x)＋2(10－2x)(6－2x)＝4x2－48x＋120＝4(x－6)2－24.
易知此函数图象的对称轴为直线x＝6，开口向上，
∴当0∴当裁掉的正方形边长为2.5 dm时，总费用最低，最低为25元．
7. 解：(1)∵AE＝BF＝CG＝DH＝x cm，
∴y＝4×eq \f(1,2)x(10－x)＝－2x2＋20x(0(2)∵y＝－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，
∴当x＝5时，阴影部分的面积达到最大，最大为50 cm2.
(3)当四个直角三角形恰好能拼成正方形时，
两直角边的比为1∶2或1∶1或2∶1，
故10－x＝2x或x＝2(10－x)或x＝10－x，
解得x＝eq \f(10,3)或x＝eq \f(20,3)或x＝5.
8．解：(1)设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，
则AP＝3x，CQ＝2x，过点Q作QM⊥AB于点M，则PM＝|16－2x－3x|＝|16－5x|.
根据勾股定理，得PM2＋QM2＝PQ2，即(16－5x)2＋62＝102，解得x1＝1.6，x2＝4.8.
答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.
(2)∵PQ＝eq \r(（16－5x）2＋62)，∴当16－5x＝0，即x＝eq \f(16,5)时，PQ最小．
故当点P，Q出发eq \f(16,5) s时，PQ最小．
拓展探究
1．解：设AB＝x m，则AD＝eq \f(116＋4－4x,2)＝(60－2x)m，鸡舍的面积为y m2，
根据题意，得， y＝x(60－2x)＝－2x2＋60x＝－2(x－15)2＋450.
∵0即当AB＝15 m时，鸡舍面积最大，此时AD＝30 m.
答：当AD的长为30 m，AB的长为15 m时，围成的鸡舍面积最大．
2. 解：(1)截法一：如图①，
S四边形ABCF＝AB·BC＝6×5＝30.
截法二：如图②，过点C作CH⊥FG于点H，
则四边形BCHG为矩形，△CHF为等腰直角三角形，
∴HG＝BC＝5，BG＝CH，FH＝CH，∴BG＝CH＝FH＝FG－HG＝
AE－HG＝6－5＝1，∴AG＝AB－BG＝6－1＝5.
∴S四边形AGFE＝AE·AG＝6×5＝30.

图① 图② 图③
(2)能．如图③，在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，则四边形AMFN和四边形BCGM为矩形，△CGF为等腰直角三角形，
∴MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG.
设AM＝x，则BM＝6－x，
∴FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋MB＝11－x，
∴S四边形AMFN＝AM·FM
＝x(11－x)＝－(x－5.5)2＋30.25，
∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25.
∵30.25>30，
∴能截出比(1)中面积更大的矩形材料，该矩形材料面积的最大值为30.25.