初中数学人教版七年级上册1.5.1 乘方精品课后作业题

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1.5有理数的乘方


乘方
定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂(power)．
即有：.在中，叫做底数， n叫做指数.
注意：
（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．
（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．
（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．
题型1：认识乘方
1.(- 32 )3的底数是　 　，指数是　 　，幂是　 　.
【答案】- 32；3；- 278
【解析】【解答】解：(− 32 )3的底数是- 32 ，指数是3，幂是- 278 .
故答案为：- 32 ，3，- 278 .
【分析】求n个相同因数a乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫做幂，相同因数“a”作为底数，相同因数的个数“n”作为指数，通常记为：an，其中a叫做底数，n叫做指数；当底数是负数和分数的时候一定要添加括号，据此即可得出答案.
【变式1-1】计算 2+2+⋯+2︷m↑+3×3×⋯×3︷n↑= (　　)
A．2m+3n B．m2+3n C．2m+n3 D．2m+3n
【答案】D
【解析】【解答】解：原式=2m+3n
故答案为：D.
【分析】利用乘法的定义（m个a相加，可以表示为ma）和乘方的定义（n个a相乘，可以表示为an），可以得出结果。
【变式1-2】对乘积 (−3)×(−3)×(−3)×(−3) 记法正确的是(　　)
A．-34 B．(-3)4 C．-(+3)4 D．-(-3)4
【答案】B
【解析】【解答】解： (−3)×(−3)×(−3)×(−3)=(−3)4 .
故答案为：B.
【分析】根据乘方的意义，求几个相同因数的积的运算就是乘方，其中相同的因数作为底数，相同因数的个数作为指数，需要注意的是，当底数是分数和负数的时候一定需要添加括号,从而即可得出答案.
乘方运算的符号法则
（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即 ．
注意：
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．
(2)任何数的偶次幂都是非负数．
题型2：乘方的运算法则与计算
2.（﹣2）4与﹣24（　　）
A．相等 B．互为相反数
C．互为倒数 D．它们的和是正数
【答案】B
【解析】【解答】∵（﹣2）4＝16，﹣24＝﹣16，
∴（﹣2）4与﹣24互为相反数，
故答案为：B．
【分析】先利用有理数的乘方化简，再求解即可。
【变式2-1】计算：（﹣1）2021＝　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：(−1)2021=−1，
故答案为：-1．
【分析】利用有理数的乘方计算求解即可。
【变式2-2】下列各数|﹣2|，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3，﹣22中，负数的个数为个　 　.
【答案】2个
【解析】【解答】解：−2=2，-（-2）=2， （﹣2）2=4，（﹣2）3=-8，﹣22=-4，
∴负数的个数有2个.
【分析】根据绝对值、相反数、乘方、立方的定义分别计算各数，再判断负数的个数，即可得出答案.
有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．
注意：
(1)有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方(以后学习)是第三级运算；
（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．
(3)在运算过程中注意运算律的运用．
题型3：有理数的混合运算
3.计算：（1）(−1)10×2+(−2)3÷4．（2）（﹣3）2÷ 95 ×|﹣2|+（﹣1）4.
【答案】（1）解： (−1)10×2+(−2)3÷4
=1×2+（-8）÷4
=2-2
=0．
（2）解：（﹣3）2÷ 95 ×|﹣2|+（﹣1）4
＝9× 59 ×2+1
＝10+1
＝11.
【解析】【分析】先计算乘方，再计算乘除，最后计算加法即可。

【变式3-1】计算：（1）−12022−6÷(−32)2×|−3| （2）－ 22 ÷ (−1)3 +︱0.8－1︱×5
【答案】（1）解：原式=−1−6×49×3
=−1−2×4
=−9
（2）解：原式=－4÷(－1) +0.2×5
=4＋1；
=5

【变式3-2】（1）计算： −33+8÷(−2)2−(−6)×|−4| . （2）−22+(−12)3÷(−2)×16
【答案】（1）解：原式 =−27+8÷4+6×4
=−27+2+24
=−1
（2）解： −22+(−12)3÷(−2)×16
= −4+(−18)×(−12)×16
= −4+1
= −3

题型4：有理数乘方的巧算
4.计算（- 32 ）2018×（ 23 ）2019的结果为（　　）
A．23 B．32 C．- 23 D．- 32
【答案】A
【解析】【解答】（- 32 ）2018×（ 23 ）2019
=[（- 32 ）×（ 23 ）]2018× 23
=（-1）2018× 23
= 23
【分析】根据乘方的意义和乘法运算法则，进行简便计算，即可.

【变式4-1】(−8)2021⋅(−0.125)2020=　 　．
【答案】-8
【解析】【解答】 (−8)2021×(−0.125)2020
=(−8)2021×(18)2020
=(−8)×(−8)2020×(18)2020
=(−8)×(−8×18)2020
=(−8)×(−1)2020
=−8 ．
故答案为：-8．
【分析】根据有理数的乘方进行计算即可。
【变式4-2】（-4）2020×（-0.25）2021
解：（1）（-4）2020×（-0.25）2021
=[（-4）×（-0.25）]2020×（-0.25）
=12020×（-0.25）
=1×（-0.25）
=-0.25；
题型5：利用非负性求值计算
5.若 |x−1|+(y+2)2=0 ，求 x−y 的值．
【答案】解： ∵|x−1|+(y+2)2=0
∴x−1=0 且 y+2=0，
∴x=1，y=−2，
∴x−y=1−(−2)=1+2=3.
【解析】【分析】根据绝对值及偶次幂的非负性求出x、y的值，然后代入计算即可.

【变式5-1】若 |a+3|+(b−2)2=0 ，求 (a+b)2011 的值．
【答案】解：∵|a+3|+(b−2)2=0 ，
∴|a+3|=0，(b−2)2=0 ，
∴a=-3，b=2，
∴(a+b)2011 = (−3+2)2011=(−1)2011=−1 ．
【解析】【分析】根据绝对值和偶数次幂的非负性，求出a，b的值，进而即可求解．

【变式5-2】x是 12 的倒数的相反数，绝对值为3的数是y ,且 |m−2|+(n−1)2=0 ， 求： x2−2mn+y 的值.
【答案】解：由题意可得x=-2 ，y= ±3
∵|m−2|+(n−1)2=0 且 |m−2|≥0,(n−2)2≥0
∴ m-2=0 ，n-1=0
解得：m=2 , n=1
∴ 当y=3时，原式=3；
当y=-3时，原式=-3
∴x2−2mn+y 的值为3或-3
【解析】【分析】首先根据题意得出x、y、m和n的值，然后代入即可得解.

科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式（其中是整数数位只有一位的数，l≤||＜10，是正整数），这种记数法叫做科学记数法，如＝.
注意：
（1）负数也可以用科学记数法表示，“”照写，其它与正数一样，如=；
（2）把一个数写成形式时，若这个数是大于10的数，则n比这个数的整数位数少1.
题型6：用科学计数法表示数
6.2021年是伟大的中国共产党百年华诞，从南陈北李相约建党历经百年沧桑发展到今天已有近9200万党员，其中9200万用科学记数法表示为（　　）
A．9.2×103 B．92×106 C．9.2×107 D．0.92×108
【答案】C
【解析】【解答】解：9200万=92000000=9.2×107.
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值＞10时，n是正数，当原数的绝对值＜1时，n是负数，据此即可得出答案.
【变式6-1】地球距离太阳约为150000000千米， 这个距离用科学记数法表示为(　　)
A．1.5×107 千米 B．1.5×108 千米
C．0.15×109 千米 D．15×107 千米
【答案】B
【解析】【解答】解：∵150000000 =1.5×108
故答案为：B.
【分析】直接利用科学记数法的定义a×10n(1≤a<10，n为正整数)，得出结果。
【变式6-2】火星围绕太阳公转的轨道半长径为230000000km．将230000000用科学记数法表示为（　　）
A．23×107 B．2.3×108 C．2.3×109 D．0.23×109
【答案】B
【解析】【解答】解：230000000=2.3×108．
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
题型7：比较科学计数法表示的数的大小
7.（1）1.5×102020与9.8×102019；
（2）-3.6×105与-1.2×106．
【分析】（1）利用乘方的意义和有理数比较大小的方法即可得到结论；
（2）利用乘方的意义和有理数比较大小的方法即可得到结论．
【解答】解：（1）∵1.5×102020=15×102019，
∴15×102019＞9.8×102019，
∴1.5×102020＞9.8×102019；
（2）∵-3.6×105与=-0.36×106，
∴-0.36×106＞-1.2×106，
∴-3.6×105＞-1.2×106．​​​
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，以及实数大小比较的方法，要熟练掌握．
【变式7-1】（1）1.5×102016与9.8×102015；
（2）-3.6×105与-1.2×106．
【解答】解：（1）∵1.5×102016=15×102015，15×102015＞9.8×102015，
∴1.5×102016＞9.8×102015．
（2）∵-3.6×105=-0.36×106，-0.36×106＞-1.2×106，
∴-3.6×105＞-1.2×106．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，以及实数大小比较的方法，要熟练掌握．
【变式7-2】比较大小．（填“＞”、“=”或“＜”）
（1）3.14×107 3.14×108
（2）8.999×1012 7.201×1013；
（3）5.266×108 4.01×108；
（4） -2.25×106 -8.25×105．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：（1）3.14×107＜3.14×108；
（2）8.999×1012＜7.201×1013；
（3）5.266×108＞4.01×108；
（4）-2.25×106＜-8.25×105．
故答案为：＜；＜；＞；＜．
【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法以及有理数大小比较．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．

近似数及精确度
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数，叫做这个精确数的近似数或近似值.如长江的长约为6300㎞，这里的6300㎞就是近似数.
注意：一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入.
2. 精确度：一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
注意：
（1）精确度是指近似数与准确数的接近程度.
（2）精确度一般用“精确到哪一位”的形式的来表示，一般来说精确到哪一位表示误差绝对值的大小，例如精确到米，说明结果与实际数相差不超过米.
题型8：科学计数法与近似数
8.嫦娥五号”在距地球约384400千米之外完成了中国航天史上“最复杂的任务”，中国成为了人类第三个获取月球样本的国家.将近似数384400精确到万位，并用科学记数法表示为（　　）
A．3.84×106 B．3.8×105
C．3.844×105 D．3.8×106
【答案】B
【解析】【解答】解： 将近似数384400精确到万位，并用科学记数法表示为
384400=3.844×105≈3.8×105，
故答案为：B.
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n等于原数的整数位数减1，进而将a中原数万位后面的数进行四舍五入即可.

【变式8-1】将4.34059精确到千分位是（　　）
A．4.341 B．4.34 C．4.3406 D．4.340
【答案】A
【解析】【解答】解：将4.34059精确到千分位是4.341
故答案为：A
【分析】根据近似数的定义及四舍五入的方法求解即可。
【变式8-2】近似数3.70所表示的准确值x的取值范围是（　　）
A．3.695≤x<3.705 B．3.60 C．3.695 【答案】A
【解析】【解答】解：近似数3.70所表示的准确值x的取值范围3.695≤x<3.705.
故答案为：A.
【分析】利用近似数是用四舍五入法得到的，精确到哪一位，只需对下一位数进行四舍五入即可.

题型9：有理数乘方与新定义运算
9.现定义一种新运算“*”，规定a∗b=b2−a，如3∗1=12−3=−2，则(−2)∗(−3)等于（　　）
A．11 B．－11 C．7 D．－7
【答案】A
【解析】【解答】∵a∗b=b2−a，
∴(−2)∗(−3)=(−3)2−(−2)=9+2=11；
故答案为：A．
【分析】根据定义新运算a∗b=b2−a直接进行计算即可.

【变式9-1】规定一种新运算： a∗b=a−ab ，如 4∗2=4−42=−12 .则 (−2)∗3 的值是（　　）.
A．−10 B．−6 C．6 D．8
【答案】C
【解析】【解答】解：∵a∗b=a−ab ，
∴(−2)∗3=(−2)−(−2)3=−2+8=6 .
故答案为：C.
【分析】根据定义的新运算法则列式，然后进行有理数的混合运算，即可解答.

【变式9-2】定义a※b=a2-b，则（1※2）※3=　 　.
【答案】-2
【解析】【解答】解：∵a※b=a2-b
∴（1※2）※3
=（12-2） ※3
=（-1）2-3
=1-3
=-2
故答案为：-2.
【分析】根据新定义的运算法则把原式化为含乘方的有理数混合运算，然后进行计算即可.
题型10：有理数乘方与规律问题
10.观察下列算式：31=3 32=9 33=27 34=81 35=243 36=729…通过观察，用你所发现的规律得出32016的末位数是（　　）
A．1 B．3 C．7 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：因为31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，…，
所以3n的个位数字分别为3、9、7、1，每4个数为一个循环组依次循环，
因为2016÷4=504，
所以32016的个位数字与循环组的第4个数的个位数字相同，是1.
故答案为：A.
【分析】观察规律可知3n的个位数字分别为3、9、7、1，每4个数为一个循环组依次循环，因此用2016÷4，根据其余数，可得答案.
【变式10-1】如图是一幅“苹果图”，第一行有1个苹果，第二行有2个苹果，第三行有4个苹果，第四行有8个苹果，…，你是否发现苹果的排列规律？猜猜看，第六行有　 　个苹果，第十行有　 　个苹果.(可用乘方的形式表示)

【答案】25；29
【解析】【解答】解：题意和图示可知：二行有 21=2 个，第三行有 22=4 个，第四行有 23=8 个，所以，第六行有 25 个苹果、第十行有 29 个.
故答案为： 25 ； 29 .
【分析】探索图形规律的题，根据有理数乘方的意义结合图形可知：二行有 21=2 个，第三行有 22=4 个，第四行有 23=8 个第n行就有2n-1个苹果，进而将n=6与n=10代入就可得出答案.

【变式10-2】如图①是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖铺设地面，如果铺设成如图②的图案，其中完整的圆一共有5个，如果铺设成如图③的图案，其中完整的圆一共有13个，如果铺设成如图④的图案，其中完整的圆一共有25个，以此规律下去，第10个图中，完整的圆一共有　 　个.

【答案】181
【解析】【解答】解：由分析可知：第10个图中，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方，即为102；
又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，即为（10-1）2，
所以完整的圆一共有：102+（10-1）2=181个.
故答案为：181.
【分析】探索图形规律的题，如果将图①看作是铺成的一个1×1的正方形图案，图②看作是铺成的一个2×2的正方形图案，图③看作是铺成的一个3×3的正方形图案，图④看作是铺成的一个4×4的正方形图案，那么根据给出的四个图形的规律可以知道，组成大正方形的每个小正方形上有一个完整的圆，因此圆的数目是大正方形边长的平方；又每四个小正方形组成一个完整的圆，这样的圆的个数是大正方形边长减1的平方，从而可得第10个图中完整的圆共有102＋（10−1）2＝181个．


一、单选题
1．中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，这个数用科学记数法表示为（　　）
A．4.4×108 B．44×108 C．4.4×109 D．0.44×1010
【答案】C
【解析】【解答】解：4400000000＝4.4×109．
故答案为：C．

【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
2．下列个组数中，数值相等的是（　　）.
A．32 和 23 B．−23 和 (−2)3
C．−32 和 (−3)2 D．−(3×2)2 和 −3×22
【答案】B
【解析】【解答】A： 32 =9， 23 =8，数值不相等，A不符合题意；
B： −23 =-8， (−2)3 =-8，数值相等，B符合题意；
C： −32 =-9， (−3)2 =9，数值不相等，C不符合题意；
D： −(3×2)2 =-36， −3×22 =-12，数值不相等，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据有理数的乘方，逐项计算即可判断.
3．若a2=4，b3=27且ab＜0，则a﹣b的值为（　　）
A．﹣2 B．±5 C．5 D．﹣5
【答案】D
【解析】【解答】解：∵a2=4，b3=27，
∴a=±2，b=3，
∵ab＜0，
∴a=﹣2，
∴a﹣b=﹣2﹣3=﹣5．
故选D．
【分析】根据有理数的乘方求出a、b，再根据异号得负判断出a的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
4．下列等式正确的是（　　）
A．-32=9 B．5a+2b=7ab
C．-（x+2y）=-x-2y D．4x2y-y=4x2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、-32=-9，故A错误；
B、5a和2b不是同类项，不能合并，故B错误；
C、-（x+2y）=-x-2y，故C正确；
D、4x2y和-y不是同类项，不能合并，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据有理数的乘方、合并同类项、去括号的法则逐项进行判断，即可得出答案.
5．已知 (a−1)2+|b+2|=0 ，则 (a+b)2022 的值是（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵（a－1）2＋｜b＋2｜＝0，
∴a－1＝0，b＋2＝0，
∴a＝1，b＝－2，
∴（1－2）2022＝1，
故答案为：B.
【分析】根据偶次幂的非负性以及绝对值的非负性，由两个非负数的和为0，则每一个数都为0可得a-1＝0，b+2＝0，求出a、b的值，然后根据有理数的加法以及乘方法则进行计算.
二、填空题
6．不超过 (−32)3 的最大整数是　 　.
【答案】-4
【解析】【解答】解：∵(−32)3=−278 ，
∴不超过 (−32)3 的最大整数是-4.
故答案为：-4.
【分析】根据有理数的大小比较法则“正数大于负数，0大于负数，0小于正数，两个正数比较大小，绝对值大的数就大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”和整数的意义可求解.
7．某种芯片的每个探针单元的面积为 0.000 001 44cm2，将 0.000 001 44 用科学记数法表示 为　 　．
【答案】1.44×10-6
【解析】【解答】解： 0.000 001 44= 1.44×10-6.
故答案为： 1.44×10-6.

【分析】用科学记数法表示绝对值小于1的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤|a|＜10，n等于从小数点开始数，一直数到第一个不为零为止时的位数.
8．用科学记数法表示的数5.002×104，则原数是　 　．
【答案】50020
【解析】【解答】解：5.002×104，则原数是50020，
故答案为：50020．
【分析】根据科学记数法，可得答案．
9．计算：0.22017×52018=　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解： 0.22017×52018=0.22017×52017×5=(0.2×5)2017×5=12017×5=5 .
故答案为5.
【分析】由 0.2×5=1 ，可将 0.22017×52018转化成(0.2×5)2017×5 .
10．近似数1.50×105精确到　 　位.
【答案】千
【解析】【解答】解：∵1.50×105=150000，
∴近似数1.50×105精确到千位.
故答案为：千.
【分析】1.50×105=150000，而5后面的0位于千位，据此解答.
11．若 |m+1|+(n+2)2=0 ，则关于 x 的方程 x−m2=x−n3 的解为 x=　 　.
【答案】1
【解析】【解答】解：∵|m+1|+(n+2)2=0 ，
∴m+1=0，n+2=0
解得， m=−1，n=−2 ，
代入 x−m2=x−n3 得， x+12=x+23 ，
解方程得， x=1
故答案为：1.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得m+1=0，n+2=0，求出m、n的值，然后代入方程中求解就可得到x的值.
三、计算题
12．计算：|-9|÷3+( 12−23 )×12+32
【答案】解：原式=9÷3+(- 16 )×12+9
=3+(-2)+9
=10．
【解析】【分析】根据有理数的混合运算法则，按顺序进行计算，即可.
13．计算：
（1）12−(−18)+(−7)−15
（2）(−7)×(−5)−90÷(−15)
（3）(14+16−12)×(−12)
（4）(−1)3×4÷[−32+(−2)2]
【答案】（1）解：原式＝12＋18－7－15
＝30－22
＝8；
（2）解：原式＝35－（﹣6）
＝35＋6
＝41；
（3）解：原式＝ 14 ×（﹣12）＋ 16 ×（﹣12）－ 12 ×（﹣12）
＝（﹣3）＋（﹣2）＋6
＝1；
（4）解：原式＝（﹣1）3×4÷（﹣9＋4）
＝﹣1×4÷（﹣5）
＝ 45
【解析】【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果；（2）原式第一项利用同号两数相乘的法则计算；第二项利用异号两数相除的法则计算，计算即可得到结果；（3）原式利用乘法分配律化简，计算即可得到结果；（4）原式先去括号，再算乘方，然后乘除即可得到结果．
四、解答题
14．计算： −32+2÷23×32 ．
小虎同学的计算过程如下：原式 =−6+2÷1=−6+2=−4
请你判断小虎的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程．
【答案】解：小虎的计算不正确．
正解： −32+2÷23×32
= −9+2×32×32
= −9+92
= −92
【解析】【分析】根据乘方和乘法运算的法则，先判断小虎的计算错误的地方，再给出正确的计算。
15．地球上的植物每年能生产1.65×1017克即6.6×1017大卡的有机物质，但实际上人类只能利用110，即6.6×1016大卡，若每人每天消耗2200大卡植物能量，试问地球上最多可以养活多少亿人口？
【答案】解：6.6×1016÷365÷2200÷108≈821.92亿．
【解析】【分析】根据6.6×1016除以365再除以2200再除以108=地球上最多可以养活的多少亿人口数．