高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册第七章 随机变量及其分布7.2 离散型随机变量及其分布列课文内容课件ppt

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在射击运动中,运动员射击一次,可能出现不中靶,命中1环,…,命中10环等结果,若用变量X表示他一次射击所命中的环数,则变量X取值情况如何?(变量X的结果可由0,1,…,10这11个数表示).
一、随机变量1.定义:一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.2.表示:通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
名师点析1.所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一种对应关系,这种对应关系是人为建立起来,但又是客观存在的.2.随机试验的结果可用数量来表示,有些随机试验的结果虽然不是数量,但可以将它数量化,如抛一枚硬币,所有可能的结果是“正面向上”“反面向上”,在数学中可以用“1”代表正面向上,用“0”代表反面向上.3.随机变量的每一种取值结果(即数)在随机试验前是无法预先确定的,在不同的试验中,结果也可能不相同.4.随机变量不仅具有取值的随机性,而且具有取值的统计规律性,即随机变量取某一个值或某些值的概率是完全确定的.
微思考随机变量和函数有类似的地方吗?提示:随机变量和函数都是一种对应关系,随机变量把样本点与实数对应,函数把实数与实数对应,由随机变量的定义知,样本点ω相当于函数定义中的自变量,样本空间Ω相当于函数的定义域.
微练习将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次,则可以作为随机变量的是(　　)A.第一次出现的点数B.第二次出现的点数C.两次出现的点数之和D.两次出现相同点的种数答案:C
二、离散型随机变量可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.
微思考下列随机变量中,不是离散型随机变量的是(　　)A.某无线寻呼台1分钟内接到的寻呼次数XB.某水位监测站所测水位在(0,18]这一范围内变化,该水位监测站所测水位HC.从装有1红、3黄共4个球的口袋中,取出2个球,其中黄球的个数YD.将一个骰子连续抛掷3次,3次出现的点数和Z答案:B
随机变量的概念例1判断下列各量是否为随机变量.(1)从编号为1到10的卡片中任取一张,抽出卡片的号数;(2)某辆动车到达某站的时间;(3)体积为1 000 cm3的球的半径.
解:(1)抽出卡片的号数可能为1,2,…,10,出现哪种结果是随机的,因此是随机变量.(2)某辆动车到达某站的时间是在某一区间内的任意一值,是随机的,因此是随机变量.(3)当球的体积为1 000 cm3时,半径为定值,不是随机变量.
反思感悟 对随机变量的理解(1)随机变量的取值是将随机试验的结果数量化;(2)随机变量的取值对应于某随机试验的某一次随机结果;(3)有些随机试验的结果不具有数量关系,但我们仍可以用数量表示它;(4)对随机变量的所有可能取值都要明确,不能重复也不能遗漏.在一次随机试验中,随机变量的取值实质上是随机试验的结果所对应的数,且这个数所有可能的取值是预先知道的,但不知道究竟会出现哪一个.
变式训练1下列变量中,不是随机变量的是(　　)A.一位射击手射击一次命中的环数B.在标准状态下,水沸腾时的温度C.某景点7月份每天接待的游客数量D.高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数答案:B
离散型随机变量的判定例2下列变量是离散型随机变量的是　　　　. (1)下期某闯关节目中过关的人数;(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50 m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.
解析:(1)是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.(2)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.(3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号可以一一列出.(4)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值不能按一定次序一一列出.答案:(1)(3)
延伸探究 将本例的(4)改为:若用X=0表示监测站所测水位没有超过警戒线,X=1表示监测站所测水位超过警戒线,x表示所测水位(警戒水位是29 m),X是离散型随机变量吗?
反思感悟 “三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量.(2)由条件求解随机变量的值域.(3)判断变量的取值是否为有限个或能否一一列举出来.若能,则是离散型随机变量;否则,不是离散型随机变量.
变式训练2①某座大桥一天经过的某品牌轿车的辆数;②某网站中某歌曲一天内被点击的次数;③射手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射手在一次射击中的得分.其中,是离散型随机变量的是(　　)A.①②③B.①②C.①③ D.②③答案:A
离散型随机变量的取值例3写出下列随机变量可能的取值,并说明这些值所表示的随机试验的结果.(1)袋中有大小相同的红球10个、白球5个,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数;(2)从标有数字1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和.
解:(1)设所需要的取球次数为X,则X=1,2,3,4,…,10,11,X=i表示前i-1次取到的均是红球,第i次取到白球,这里i=1,2,3,4,…,11.(2)设所取卡片上的数字之和为X,则X=3,4,5,…,11.X=3表示取出标有1,2的两张卡片;X=4表示取出标有1,3的两张卡片;X=5表示取出标有2,3或1,4的两张卡片;X=6表示取出标有2,4或1,5的两张卡片;X=7表示取出标有3,4或2,5或1,6的两张卡片;X=8表示取出标有2,6或3,5的两张卡片;X=9表示取出标有3,6或4,5的两张卡片;X=10表示取出标有4,6的两张卡片;X=11表示取出标有5,6的两张卡片.
延伸探究 本例(2)的条件不变,设所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量ξ,请问ξ有哪些取值?其中ξ=4表示什么含义?
解:ξ的所有可能的取值为1,2,3,4,5,共5个.“ξ=4”表示取到标有1,5或2,6的两张卡片.
反思感悟 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及取每一个值时对应的意义,即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果.
变式训练3写出下列随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.(1)某学生从学校回家要经过3个红绿灯路口,他可能遇到红灯的次数ξ;(2)从含有10件次品的100件产品中任取4件,取到次品的件数X.
解:(1)ξ可能的取值为0,1,2,3,ξ=0表示遇到红灯的次数为0;ξ=1表示遇到红灯的次数为1;ξ=2表示遇到红灯的次数为2;ξ=3表示遇到红灯的次数为3.(2)X可能的取值为0,1,2,3,4.X=0表示取出0件次品;X=1表示取出1件次品;X=2表示取出2件次品;X=3表示取出3件次品;X=4表示取出4件次品.
列举法求解随机变量的可能取值典例抛掷两枚质地均匀的骰子各一次,X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差,求X的所有可能的取值.解:设第一枚骰子的点数为x,第二枚骰子的点数为y,则X=x-y.因为x=1,2,3,4,5,6,y=1,2,3,4,5,6,所以X=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5.方法点睛 求随机变量所有可能的取值时,为避免漏掉个别取值,可先用列举法列出随机试验包含的所有样本点,再根据随机变量的含义求出其所有可能的取值.
1.下列变量中,不是随机变量的是(　　)A.2024年奥运会上中国取得的金牌数B.某网站一天的点击量C.2016年奥运会上中国取得的金牌数D.某人投篮6次投中的次数答案:C
2.已知下列随机变量:①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X;②某道路斑马线一天经过的人数X;③某运动员在一次110米跨栏比赛中的成绩X;④在体育彩票的抽奖中,下一次摇号产生的号码数X.其中X是离散型随机变量的是(　　)A.①②③B.②③④C.①②④D.③④答案:C
3.在8件产品中,有3件次品,5件正品,从中任取3件,记次品的件数为ξ,则ξ<2表示的试验结果是　　　　. 解析:应分ξ=0和ξ=1两类.ξ=0表示取到3件正品;ξ=1表示取到1件次品、2件正品.故ξ<2表示的试验结果为取到1件次品,2件正品或取到3件正品.答案:取到1件次品、2件正品或取到3件正品
4.下列随机变量不是离散型随机变量的是　　　　.(填序号) ①某宾馆每天入住的旅客数量X;②广州某水文站观测到一天中珠江的水位X;③深圳欢乐谷一日接待游客的数量X;④虎门大桥一天经过的车辆数X.答案:②