高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.5 三角函数模型的简单应用复习练习题

这是一份高中数学湘教版（2019）必修 第一册5.5 三角函数模型的简单应用复习练习题，共7页。

[A级 基础巩固]
1．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：
s1＝5sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq \f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1＞s2 B．s1＜s2
C．s1＝s2 D．不能确定
解析：选C 当t＝eq \f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C.
2.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq \f(1,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是( )
A．2，eq \f(1,π) B．eq \f(1,2)，eq \f(1,π)
C.eq \f(1,2)，π D．2，π
解析：选B 当t＝0时，θ＝eq \f(1,2)sineq \f(π,2)＝eq \f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq \f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq \f(1,π).
3．已知简谐运动的振幅是eq \f(3,2)，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))，则该简谐运动的频率和初相是( )
A.eq \f(1,6)，eq \f(π,6) B．eq \f(1,8)，eq \f(π,3)
C.eq \f(1,8)，eq \f(π,6) D．eq \f(1,6)，eq \f(π,3)
解析：选C 由题意可知，A＝eq \f(3,2)，32＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(T,2)))eq \s\up12(2)＝52，则T＝8，ω＝eq \f(2π,8)＝eq \f(π,4)，y＝eq \f(3,2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)x＋φ)).由eq \f(3,2)sin φ＝eq \f(3,4)，得sin φ＝eq \f(1,2).∵|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).因此频率是eq \f(1,8)，初相为eq \f(π,6).
4．电流强度I(安培)随时间t(秒)变化的函数I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，则t＝eq \f(7,120)时的电流强度为( )
A．0安培 B．－5eq \r(2)安培
C．10eq \r(2)安培 D．－10eq \r(2)安培
解析：选A 由题图知A＝10，函数的周期T＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,\f(1,50))＝100π，
则I＝10sin(100πt＋φ)，将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,300)，10))代入I＝10sin(100πt＋φ)，可得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋φ))＝1，
∴eq \f(π,3)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z.又0<φ<π，∴φ＝eq \f(π,6)，故函数解析式为I＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,6)))，将t＝eq \f(7,120)代入函数解析式，得I＝0.
5．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间相距12 h，低潮时水深为9 m，高潮时水深为15 m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0)的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是( )
A．y＝3sineq \f(π,6)t＋12 B．y＝－3sineq \f(π,6)t＋12
C．y＝3sineq \f(π,12)t＋12 D．y＝3cseq \f(π,6)t＋12
解析：选A 由相邻两次高潮的时间间隔为12 h，知T＝12，且T＝12＝eq \f(2π,ω)(ω＞0)，得ω＝eq \f(π,6)，又由高潮时水深15 m和低潮时水深9 m，得A＝3，k＝12，由题意知当t＝3时，y＝15.故将t＝3，y＝15代入解析式y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋φ))＋12中，得3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)×3＋φ))＋12＝15，得eq \f(π,6)×3＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ(k∈Z)．所以该函数的解析式可以是y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋2kπ))＋12＝3sineq \f(π,6)t＋12.
6．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
解析：秒针1 s转eq \f(π,30)弧度，t s后秒针转了eq \f(π,30)t弧度，如图所示，sineq \f(πt,60)＝eq \f( \f(d,2) ,5)，所以d＝10sineq \f(πt,60).
答案：10sineq \f(πt,60)
7．已知某种交流电电流i(单位：A)随时间t(单位：s)的变化规律可以用函数i＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)表示，则这种交流电电流在0.5 s内往复运行________次．
解析：∵周期T＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)(s)，∴频率为每秒50次，∴0.5 s往复运行25次．
答案：25
8．温州市某房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足函数表达式y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π)．已知第一、二季度的平均单价如表所示，
则此楼群在第三季度的平均单价大约是________元．
解析：将表格中的数据分别代入y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(0<ω<π，|φ|<π)，可得ω＝eq \f(π,2)，φ＝0，所以y＝500sin eq \f(π,2)x＋9 500，将x＝3代入可得y＝9 000.
答案：9 000
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140 mmHg和60～90 mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80 mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解：(1)T＝eq \f(2π,|ω|)＝eq \f(2π,160π)＝eq \f(1,80)(min)．
(2)f＝eq \f(1,T)＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．
即收缩压为140 mmHg，舒张压为90 mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90 mmHg，在正常值范围内．
10．如果某地夏天从8～14 h的用电量变化曲线近似满足y＝Asin(ωx＋φ)＋beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，如图所示．
(1)求这一段时间的最大用电量和最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
解：(1)观察图象知8～14 h这一段时间的最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，eq \f(1,2)T＝14－8＝6，
∴T＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).
b＝eq \f(1,2)×(50＋30)＝40，A＝eq \f(1,2)×(50－30)＝10，
∴y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋40.
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq \f(π,6)＋2kπ(k∈Z)，又|φ|＜eq \f(π,2)，∴φ＝eq \f(π,6).
∴所求解析式为y＝10sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8，14]．
[B级 综合运用]
11．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知当时间t＝0时，点A的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是( )
A．[0，1] B．[1，7]
C．[7，12] D．[0，1]和[7，12]
解析：选D 由已知可得该函数的周期T＝12，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6).又∵当t＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，∴y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t＋\f(π,3)))，t∈[0，12]．可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12]．
12.如图所示，一个大风车的半径为8 m，每12 min旋转一周，最低点离地面2 m．若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转，则该翼片的端点P离地面的距离h(m)与时间t(min)之间的函数关系是( )
A．h＝8cseq \f(π,6)t＋10 B．h＝－8cseq \f(π,3)t＋10
C．h＝－8sineq \f(π,6)t＋10 D．h＝－8cseq \f(π,6)t＋10
解析：选D 依题意可设h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝eq \f(2π,12)＝eq \f(π,6)，则h＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πt,6)＋φ))＋10，当t＝0时，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－eq \f(π,2)，所以h＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)t－\f(π,2)))＋10＝－8cseq \f(π,6)t＋10.
13．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，|φ|<\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．
解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＋B＝8，,－A＋B＝4，))∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(A＝2，,B＝6.))周期T＝2×(7－3)＝8，∴ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,4).∴f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,4)＋φ))＋6.
又当x＝3时，y＝8，∴8＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＋6.∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)＋φ))＝1，结合|φ|答案：2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,4)－\f(π,4)))＋6
14.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，时间t(s)与小球相对平衡位置(即静止时的位置)的高度h(cm)之间的函数关系式是h＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4)))，t∈[0，＋∞)．
(1)以t为横坐标，h为纵坐标，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；
(2)小球开始振动的位置在哪里？小球最高点、最低点的位置及各自距平衡位置的距离分别是多少？
(3)小球经过多长时间往复振动一次？小球1 s内能振动多少次？小球在什么时间内是升高状态？
(4)这一函数图象的对称中心、对称轴是什么？
解：(1)画出函数h＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4)))的简图(长度为一个周期)．
①列表：
②描点．
③连线：用平滑曲线依次连接各点即得h＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4)))的简图，如图所示．
(2)t＝0时，h＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，即小球开始振动时的位置为(0，eq \r(2))．
t＝eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z)时，h＝2；t＝eq \f(5π,8)＋kπ(k∈Z)时，h＝－2，即最高点位置为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)＋kπ，2))k∈Z，最低点位置为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)＋kπ，－2))(k∈Z)；最高点、最低点到平衡位置的距离均为2 cm.
(3)小球往复振动一次所需时间即周期T＝eq \f(2π,2)＝π≈3.14(s)．小球1 s内振动的次数为频率f＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,π)≈eq \f(1,3.14)≈0.318(次)．小球在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))或eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,8)＋kπ，\f(9π,8)＋kπ))(k∈Z，k≥0)内是升高状态．
(4)这一函数图象在t∈[0，＋∞)上无对称中心及对称轴．
[C级 拓展探究]
15．如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道．休闲大道的前一段OD是函数y＝keq \r(x)(k＞0)的图象的一部分，后一段DBC是函数y＝Asin(ωx＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)，x∈[4，8]))的图象，图象的最高点为Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(8\r(3),3)))，且DF⊥OC，垂足为点F.
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE，点P在曲线OD上，其横坐标为eq \f(4,3)，点E在OC上，求儿童乐园的面积．
解：(1)由图象，可知A＝eq \f(8\r(3),3)，ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(2π,4×（8－5）)＝eq \f(π,6)，
将Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(8\r(3),3)))代入y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))中，得eq \f(5π,6)＋φ＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即φ＝2kπ－eq \f(π,3)(k∈Z)．
因为|φ|＜eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,3)，故y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))，x∈[4，8]．
(2)在y＝eq \f(8\r(3),3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))中，令x＝4，得D(4，4)，从而得曲线OD的方程为y＝2eq \r(x)(0≤x≤4)，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)，\f(4\r(3),3)))，
所以矩形PMFE的面积为S＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(4,3)))×eq \f(4\r(3),3)＝eq \f(32\r(3),9)，
即儿童乐园的面积为eq \f(32\r(3),9).x
1
2
y
10 000
9 500
t
－eq \f(π,8)
eq \f(π,8)
eq \f(3π,8)
eq \f(5π,8)
eq \f(7π,8)
2t＋eq \f(π,4)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(3,2)π
2π
2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,4)))
0
2
0
－2
0