湘教版（2019）必修 第一册4.4 函数与方程优秀教案及反思

4．4　函数与方程

4．4.1　方程的根与函数的零点

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

路边有一条河，小明从A点走到了B点．观察下列两幅图．

[问题]　推断哪一幅能说明小明一定曾渡过河？

三、合作探究

知识点　函数零点存在定理

当x从a到b逐渐增加时，如果f(x)连续变化且有f(a)·f(b)<0，则存在点x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0，这个x0也就是方程f(x)＝0在(a，b)内的一个解．

特别的，当f(x)在[a，b]上单调递增或单调递减且f(a)·f(b)<0，f(x)在(a，b)内恰有个零点．

四、精讲点拨

[例1]　(1)求函数f(x)＝的零点；

(2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点．

[例2]　(链接教科书第126页例1)求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

[例3]　已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)   B．(－∞，0)  C．(－1，0)   D．[－1，0)

[例4]　(链接教科书第127页例2、例3)f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)    B．(－1，0)   C．(0，1)    D．(1，2)

五、达标检测

1．若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　　)

A.     B．－      C．2        D．－2

2．函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　)

A．2      B．－2      C．±2      D．3

3．(多选)下列说法中正确的是(　　)

A．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为(－1，0)

B．函数f(x)＝x＋1，x∈[－2，0]的零点为－1

C．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点

D．函数f(x)的零点，即函数f(x)的图象与x轴的交点的横坐标

4．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：

则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有(　　)

A．2个     B．3个    C．4个     D．5个

5．方程2x＋2x＝0在下列区间内一定有解的是(　　)

A．[－1，0]       B．[－3，－2]       C．[1，2]     D．[3，4]

六、课堂小结

1.零点存在性定理；

2.利用零点存在性判断函数的零点个数。

课后作业

教后反思

4．4.2　计算函数零点的二分法

教学设计

一、目标展示

二、情境导入

电视台某栏目中有一个猜商品价格的游戏，规则如下：给出一种商品让参赛者猜价格，主持人给出提示语“高了”或“低了”．例如参赛者猜某种商品的价格为100元，主持人说“高了”．参赛者又猜50元，主持人说“低了”．参赛者再猜80元，主持人说“低了”．这样一直猜下去，直到猜中为止．

[问题]　(1)我们怎么猜才能尽快猜中价格呢？

(2)这种思路能不能运用到求方程的近似解中呢？

三、合作探究

知识点一　二分法

不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法称作二分法．

知识点二　二分法求函数零点近似值的步骤

设函数f(x)的定义在区间D上，且误差不超过ε.

二分法求函数零点近似值口诀

定区间，找中点，中值计算两边看；

同号去，异号算，零点落在异号间；

周而复始怎么办？误差值上来判断　　　　

四、精讲点拨

[例1]　(1)下列函数图象中，不能用二分法求函数零点的是(　　)

(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1，3)内的根，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

[例2]　(链接教科书第128页例4)用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解．(误差不超过0.1)

[母题探究]

(变条件)若本例中的“误差不超过0.1”换为“误差不超过0.05”结论又如何？

五．达标检测

1．下列函数不宜用二分法求零点的是(　　)

A．f(x)＝x3－1　　　　　 B．f(x)＝ln x＋3

C．f(x)＝x2＋2x＋2  D．f(x)＝－x2＋4x－1

2．用二分法求如图所示的图象对应的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A．x1     B．x2           C．x3  D．x4

3．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2，3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0，f(2.75)＞0，f(2.5)＜0，f(3)＞0，则方程的根落在区间(　　)

A．(2，2.25)   B．(2.25，2.5)    C．(2.5，2.75)    D．(2.75，3)

4．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：

求方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(误差不超过0.04)．

六、课堂小结

1.二分法；

2.二分法求近似零点的步骤。

课后作业

教后反思