数学选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时习题

第四章数列

4.2　等差数列

4.2.2　等差数列的前n项和公式

第1课时　等差数列的前n项和

课后篇巩固提升

基础达标练

1.已知Sn为等差数列{an}的前n项和,a2+a5=4,S7=21,则a7的值为(　　)

A.6 B.7 C.8 D.9

解析设{an}的公差为d,则解得所以a7=a1+6d=-3+6×2=9,故选D.

答案D

2.(多选)(2020山东高三月考)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则下列正确的是(　　)

A.a1=-2 B.a1=2

C.d=4 D.d=-4

解析因为所以

故选AC.

答案AC

3.已知数列{an}的前n项和Sn=n2,则an等于(　　)

A.n B.n2 C.2n+1 D.2n-1

解析当n=1时,a1=S1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,且a1=1适合上式,故an=2n-1(n∈N*).

答案D

4.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去安一千一百二十五里,良马初日行一百零三里,日增十三里;驽马初日行九十七里,日减半里,良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢,问:相逢时良马比驽马多行(　　)

A.1 125里 B.920里 C.820里 D.540里

解析设良马每天所行路程为{an},则{an}是以103为首项,以13为公差的等差数列,其前n项和为An,驽马每天所行路程为{bn},则{bn}是以97为首项,以-为公差的等差数列,其前n项和为Bn,设共用n天二马相逢,则An+Bn=2×1 125,所以103n+×13+97n+=2 250,

化简得n2+31n-360=0,解得n=9.

A9=103×9+×13=1 395,

B9=2 250-1 395=855,A9-B9=1 395-855=540.

答案D

5.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,令bn=(a1+a2+…+an),则数列{bn}的前10项和T10=(　　)

A.70 B.75

C.80 D.85

解析∵an=2n+1,

∴数列{an}是等差数列,首项a1=3,其前n项和Sn==n2+2n,∴bn=Sn=n+2,∴数列{bn}也是等差数列,首项b1=3,公差为1.

∴其前10项和T10=10×3+×1=75,故选B.

答案B

6.已知等差数列{an}中,a10=13,S9=27,则公差d=　　　　　,a100=　　　　　. 

解析S9=9a5=27⇒a5=3,d==2,

∴a100=a10+90d=13+90×2=193.

答案2　193

7.(2019全国Ⅲ,理14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=　　　　　. 

解析设等差数列{an}的公差为d.

∵a1≠0,a2=3a1,

∴a1+d=3a1,即d=2a1.

∴=4.

答案4

8.已知数列{an}的前n项和为Sn=n·2n-1,则a3+a4+a5=　　　　. 

解析a3+a4+a5=S5-S2=(5×25-1)-(2×22-1)=152.

答案152

9.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上,求数列{an}的通项公式.

解依题意,得=3n-2,即Sn=3n2-2n.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1

=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5.

因为a1=S1=1,满足an=6n-5,

所以an=6n-5(n∈N*).

10.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.

(1)设bn=an+1-an,证明{bn}是等差数列;

(2)求{an}的通项公式.

解(1)∵an+2=2an+1-an+2,

∴an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.

又b1=a2-a1=2-1=1,

∴数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.

(2)由(1)可知,an+1-an=1+2(n-1)=2n-1,

∴an-an-1=2(n-1)-1,

an-1-an-2=2(n-2)-1,

……

a2-a1=2×1-1,

累加,得an-a1=2×-(n-1)=n2-2n+1,

∴an=a1+n2-2n+1=n2-2n+2,

∴数列{an}的通项公式为an=n2-2n+2.

能力提升练

1.在等差数列{an}中,2a4+a7=3,则数列{an}的前9项和S9等于(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

解析设等差数列{an}的公差为d,因为2a4+a7=3,

所以2(a1+3d)+a1+6d=3,整理,得a1+4d=1,

即a5=1,

所以S9==9a5=9.

答案C

2.若公差不为0的等差数列{an}的前21项的和等于前8项的和,且a8+ak=0,则正整数k的值为(　　)

A.20 B.21 C.22 D.23

解析设等差数列{an}的前n项和为Sn,由题意,得S21=S8,即a9+a10+…+a21=0.根据等差数列的性质,得13a15=0,即a15=0.故a8+a22=2a15=0,即k=22.故选C.

答案C

3.已知等差数列{an},a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的前5项和等于(　　)

A.30 B.45 C.90 D.186

解析由等差数列{an}易得公差d1=3.又bn=a2n,所以{bn}也是等差数列,公差d2=6.故S5=b1+b2+b3+b4+b5=a2+a4+a6+a8+a10=5×6+×6=90.

答案C

4.(2020河北正定中学高一月考)设等差数列{an}的前n项和是Sn,已知S14>0,S15<0,下列选项正确的是 (　　)

A.a1>0,d<0

B.a7+a8>0

C.S6与S7均为Sn的最大值

D.a8<0

解析根据题意,有S14==7(a1+a14)=7(a7+a8)>0,即a7+a8>0,S15==15a8<0,即a8<0,则a7>0;

故等差数列{an}的前7项为正数,从第8项开始为负数,

则a1>0,d<0.

则有S7为Sn的最大值.故A,B,D正确.

故选ABD.

答案ABD

5.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*),则a5=　　　　. 

解析当n≥2时,由Sn=2an-1,得Sn-1=2an-1-1.两式相减,得an=2an-2an-1,所以an=2an-1.因为a1=2a1-1,所以a1=1,故a5=2a4=22a3=23a2=24a1=16.

答案16

6.(2019北京,理10)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2=-3,S5=-10,则a5=　　　　　,Sn的最小值为　　　　　. 

解析等差数列{an}中,由S5=5a3=-10,得a3=-2,又a2=-3,公差d=a3-a2=1,a5=a3+2d=0,由等差数列{an}的性质得当n≤5时,an≤0,当n≥6时,an大于0,所以Sn的最小值为S4或S5,即为-10.

答案0　-10

7.已知数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+2Sn·Sn-1=0(n≥2),a1=.

(1)求证:是等差数列;

(2)求数列{an}的通项公式.

(1)证明∵-an=2SnSn-1(n≥2),∴-Sn+Sn-1=2SnSn-1(n≥2).又Sn≠0(n=1,2,3,…),

∴=2.

又=2,

∴是以2为首项,2为公差的等差数列.

(2)解由(1)可知=2+(n-1)·2=2n,∴Sn=.

当n≥2时,an=Sn-Sn-1==-或当n≥2时,an=-2SnSn-1=-;

当n=1时,S1=a1=.

故an=

素养培优练

设Sn为数列{an}的前n项和,Sn=λan-1(λ为常数,n=1,2,3,…).

(1)若a3=,求λ的值.

(2)是否存在实数λ,使得数列{an}是等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

解(1)因为Sn=λan-1,

所以a1=λa1-1,a2+a1=λa2-1,a3+a2+a1=λa3-1.

由a1=λa1-1,可知λ≠1,

所以a1=,a2=,a3=.

因为a3=,所以,解得λ=0或λ=2.

(2)假设存在实数λ,使得数列{an}是等差数列,则2a2=a1+a3,

由(1)可得,

所以,即=0,显然不成立,所以不存在实数λ,使得数列{an}是等差数列.