北师大版八年级上册第二章 实数1 认识无理数教学设计及反思

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1　认识无理数1．通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性．2．借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想．重点：1.让学生经历无理数发现的过程，感知生活中确实存在着不同于有理数的数．2．会判断一个数是否为有理数，并说明理由．难点：1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程．2．判断一个数是否为有理数，并说明理由．一、导入新课古希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理．也正是这个学派认为世界万物都可以用整数或整数的比来表示，你认为这个论断正确吗？下面，让我们通过活动来揭开这个谜底：如教材图2—1是两个边长为1的小正方形，剪一剪，拼一拼，设法得到一个大的正方形．教材图2—1学生活动：实验、合作、交流．教师总结：通过剪拼，得到一个大正方形的方法有多种．如下图所示：二、探究新知探究1　上题所示剪拼后的几个正方形，你知道它们的边长分别是多少吗？学生活动：小组合作探究．师生合作探究：容易知道第一个图形中大正方形的边长是________，小正方形面积是________；第二个图形中的正方形面积是　　　　；第三个图形中大正方形的面积是________．那么对于面积是2的大正方形有如下几个问题：(1)设大正方形的边长为a，a满足什么条件？(2)a可能是整数吗？说说你的理由．(3)a可能是分数吗？说说你的理由．教师总结：第一个图形中大正方形边长是2；小正方形以及后面两个图形中的正方形我们可以知道它们的面积都是2.则可以知道：(1)根据正方形面积等于边长的平方，有a2＝2；(2)因为12＝1,22＝4,32＝9，…整数的平方越来越大，所以a应在1和2之间，故a不可能是整数．(3)×＝，×＝，×＝，…两个相同因数的乘积都为分数，所以a不可能是分数．事实上，我们可以证明在等式a2＝2中，a既不是整数，也不是分数，所以a不是有理数．探究2　(1)如教材图2—2所示，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？　教材图2—2(2)设该正方形的边长为b，b满足什么条件？(3)b是有理数吗？学生活动：先独立完成，再小组交流结果．教师总结：(1)因为三个正方形的面积分别等于直角三角形各边长的平方，再根据勾股定理可得到，以直角三角形的斜边为边的正方形面积等于直角边的平方和，即等于5.(2)b2＝5.(3)同理探究1的(3)，没有一个整数或分数的平方等于5，即没有一个有理数的平方等于5，所以b不是有理数．探究3　面积为2的正方形的边长a究竟是多少呢？学生活动：小组合作探究．师生合作探究：(1)教材如图2—3，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？说说你的理由．教材图2—3(2)边长a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位？……借助计算器进行探索．(3)小明将他的探索过程整理出如下，你的结果呢？边长a面积S1<a<21<S<41.4<a<1.51.96<S<2.251.41<a<1.421.988 1<S<2.016 41.414<a<1.4151.999 396<S<2.002 2251.414 2<a<1.414 31.999 961 64<S<2.000 244 49教师总结：如教材图2—3，因为正方形面积分别是1,2,4，根据正方形面积等于边长的平方，则面积为2的正方形边长应该是大于1而小于2.借助计算器我们逐步精确a的数位，发现a不是有限小数，且它是一个无限不循环小数．探究4　(1)估计面积为5的正方形的边长b的值(结果精确到十分位)，并用计算器验证你的估计；(2)如果结果精确到百分位呢？(3)b是无限不循环小数吗？学生活动：小组合作探究．师生合作探究：我们知道b2＝5，先估计b的整数部分是多少．容易知道22＝4,32＝9，因此b的整数部分应该是大于________且________3，而b的平方数5接近2的平方数4，因此可以估计其十分位是多少．算出十分位后，再估计百分位，并用计算器验证．教师总结：(1)b≈2.2；(2)b≈2.24.(3)事实上，b＝2.236 067 978…，它是一个无限不循环小数．同样，对于体积为2的正方体，借助计算器，可以得到它的棱长c＝1.259 921 05…，它也是一个无限不循环小数．探究5　把下列各数表示成小数，你发现了什么？3，，，－，.学生活动：小组合作探究．师生合作探究：上面这几个数分别是什么类型的数？它们都是有理数吗？看看写成的小数是不是无限不循环．教师总结：3＝3.0；＝0.8；＝0.；－＝－0.1；＝0..从中我们发现前面两个数可以写成有限小数，后面三个数可以写成无限循环小数．三、新知归纳1．有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数都是有理数．2．无限不循环小数称为无理数．四、典例剖析例1　下列说法正确的是(　　)A.0是无理数B.是无理数C．3.141 592 65是无理数D.是无理数思路分析：A.0＝1,1是有理数，故本选项错误；B.是分数，分数是有理数，故本选项错误；C.3.141 592 65是有限小数，可以化成分数，分数是有理数，故本选项错误；D.既不是整数也不是分数，它是无理数，所以也是无理数，故本选项正确，故选D.答案：D例2　下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．14，－，0.，0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．思路分析：弄清有理数与无理数的定义，依据定义做出判断．解：有理数有：3.14，－，0.；无理数有：0.101 000 100 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次加2)．例3　如图所示，下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段．(1)找出两条长度是有理数的线段；(2)找出三条长度不是有理数的线段．思路分析：(1)在找出是有理数的线段时，只要找直接由小正方形的边长组成的线段就是，答案不唯一．在(2)中，突破口在于将所要找的线段放在直角三角形当中，然后根据勾股定理求出未知线段的长度，最后判断它们是否为有理数．解：(1)由图可知，AB＝2，BE＝1，AB，BE是有理数．(2)AD2＝AB2＋BD2＝22＋32＝13，AC2＝1＋1＝2，AE2＝AB2＋BE2＝22＋12＝5，故AC，AD，AE既不是整数，也不是分数，所以不是有理数．五、反馈训练完成《作业与单元评估》随堂演练．六、课堂小测1．下列说法中，错误的是(　B　)A．无理数是无限小数B．有理数都是有限小数C.是无理数D．3.141 592 6是有理数2．若a是一个无理数，则1－a是(　C　)A．正数   B．负数C．无理数   D．有理数3．下列说法正确的是(　C　)A．两个无理数的和一定是无理数B．两个无理数的积一定是无理数C．一个有理数与一个无理数的和一定是无理数D．两个无理数的差一定是无理数4．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是(　D　)A．0  B．1C．2  D．35．如图，是由9个边长为1的小正方形拼成的大正方形，任意连接这些小正方形的若干个顶点，可以得到一些线段，这些线段的长度都是有理数吗？解：过图中的任意两点连线段，可得到多种长度不同的线段，但只有长度为1,2,3的三种线段长度为有理数，其余都不是有理数．七、课堂小结1．有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．2．无限不循环小数称为无理数．除了像b2＝5，a2＝2中的a，b是无理数外，我们十分熟悉的圆周率π＝3.141 592 65…也是一个无限不循环小数，因此它也是一个无理数．再如0.585 885 888 5…(相邻两个5之间8的个数逐次加1)也是一个无限不循环小数，也是无理数．3．注意的问题：(1)在直角三角形中，已知任意两边的长度，都可以求出第三条边；(2)如果一个数既不是整数又不是分数，那它一定是无理数．八、布置作业完成《作业与单元评估》课后作业的相关练习．