高中数学人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理习题

6.2向量基本定理与向量的坐标同步练习人教 B版（2019）高中数学必修二

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知向量，若，则

A.  B.  C. 4 D. 1

2. 已知向量，，，则的值是

A.  B.  C.  D.

3. 已知O为正三角形ABC内一点，且满足，若的面积与的面积比值为3，则的值为   

A.  B. 1 C. 2 D. 3

4. 设向量，，若，则实数m的值为 

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

5. 已知点，，向量，则向量 

A.  B.  C.  D.

6. 设x，R，向量，，且， ，则等于

A.  B.  C.  D. 10

7. 在矩形ABCD中，，，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若，则的最大值为

A. 3 B.  C.  D. 2

8. 已知向量，，，则   

A. A，B，C三点共线 B. A，B，D三点共线
C. A，C，D三点共线 D. B，C，D三点共线

9. 已知，，若，则点D的坐标为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若，则

A.
B.
C.
D. 2

11. 已知点，，向量，若，则实数y的值为

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

12. 已知向量，，则

A.  B.  C.  D.

二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）

13. 已知，是两个不共线的向量，，，，若A，B，D三点共线，则实数          
14. 已知向量，，若，则           ．
15. 已知向量，写出一个与向量方向相反的向量          用数字作答

三、多空题（本大题共3小题，共15.0分）

16. 已知正方形ABCD的边长为2，点P满足，则          ；          ．
17. 如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为          ，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为          ．
18. 已知向量，，，且，，则          ，          ．

四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）

19. 已知向量，．

当时，求的值

设函数，已知在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，求的取值范围．






 

20. 已知平面向量，，其中，若，且，求向量的坐标表示；
    已知平面向量，满足，，与的夹角为，且，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知在同一平面内，且．
    若，且，求；
    若，且，求与的夹角的余弦值．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在平面直角坐标系中，已知，．
    Ⅰ若，求实数k的值；
    Ⅱ若，求实数t的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在直角中，点D为斜边BC的靠近点B的三等分点，点E为AD的中点，
     

用表示和；

求向量与夹角的余弦值．

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量坐标的定义，向量平行时的坐标关系，属于基础题．
根据即可得到关于m的方程，解方程即可得出m的值．

【解答】

解：；
；
．
故选B．

2.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算和同角的三角函数的关系，属于中档题．
先根据向量平行可得，则，代值计算即可．

【解答】

解：向量，，，
，
，
，
故选：A．

3.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本小题主要考查向量的加法与减法，及向量共线的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．
如图D，E分别是对应边的中点，对所给的向量等式进行变形，根据变化后的条件得到；由于正三角形ABC，结合题目中的面积关系得到由可得O分DE所成的比，从而得出的值．

【解答】

解：，
，
如图，

D，E分别是对应边的中点，
由平行四边形法则知，
，
在正三角形ABC中，

，
且三角形AOC与三角形ADC同底边AC，
故O点到底边AC的距离等于D到底边AC的距离的三分之一，
故
由得．
故选A．
 

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的坐标运算及共线的性质，属简单题．
由平面向量的坐标运算及共线的性质得：因为，所以，解得，得解．

【解答】

解：因为向量，，
所以，
又，
所以，
解得，
故选：B．

5.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．
设出C的坐标，表示出向量即可．
【解答】
解：设，

，
，
又
，得，
，
，
故选A．

6.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行与垂直的坐标运算及向量的模，属于基础题．
分别根据求得，，根据模长公式求模即可．

【解答】

解：因为，
由可得，解得，所以，
由可得，解得，所以，
所以，
则．
故选C．

7.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查了向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，考查了学生的运算能力和转化能力，属于较难题．
以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立平面直角坐标系，先求出圆的标准方程，再设点P的坐标为，根据，进行求解即可．

【解答】

解：如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴，建立如图所示的坐标系，

则，，，，
动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，
设圆的半径为r，
，，

，
，
圆的方程为，
设点P的坐标为，
，
，
，，
，其中，
，
，
故的最大值为3，
故选A．

8.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的加法、数乘运算，属于基础题．
，即，共线，且有公共点B，则A，B，D三点共线．
 

【解答】解：，
，共线，且有公共点B，
，B，D三点共线．
故选B．  

9.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查根据点的坐标求向量坐标的方法，以及向量坐标的数乘运算．
可设，从而得出，这样根据即可得出，从而可得出x，y的值，得出点D的坐标．

【解答】

解：设，
则，且，，
，
，
，，
点D的坐标为．
故选：D．

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】

考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于基础题．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出的值．

【解答】

解：，，；


；
由平面向量基本定理得：；
解得；
．
故选：B．

11.【答案】D
 

【解析】

【分析】

本题考查实数值的求法，考查平面向量平行关系的坐标表示，考查运算求解能力，是基础题．
已知点，，向量，求出，由，能求出y．

【解答】

解：点，，向量，
，
，
，
解得．
故选：D．

12.【答案】B
 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，是基础题．
直接利用向量的坐标运算解答即可．

【解答】

解：向量，，
．
故选B．

13.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量共线、平面向量的基本定理以及向量的加减运算，A，B，D三点共线，可得存在实数，使得，利用平面向量的基本定理即可得出．

【解答】

解：，，
．
又，且A，B，D三点共线，
一定存在实数，使，
，

．
故答案为．

14.【答案】
 

【解析】

【分析】

本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题．
根据题意，由，可得关于的方程，再求出即可．

【解答】

解：因为，，，
所以，解得．
故答案为：．

15.【答案】写出满足，的一个向量即可
 

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量共线的基本定理的运用，相反向量的定义，属于基础题．
写出满足，的一个向量即可

【解答】

解：因为向量，写出满足，的一个向量即可，
如．

16.【答案】；

【解析】

【分析】

本题考查了向量的模和向量的数量积的运算，建立直角坐标系是解题的关键．根据题意建立直角坐标系，求出点P的坐标，然后利用向量的模的计算公式和向量的数量积公式可求出答案．

【解答】

解：以点A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，
，
则点，
，，
因此，，
．
故答案为：；．

17.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了向量在几何中的应用，考查了向量的共线和向量的数量积，以及二次函数的性质，属于中档题．
以B为原点，以BC为x轴建立直角坐标系，根据向量的平行和向量的数量积即可求出点D的坐标，即可求出的值，再设出点M，N的坐标，根据向量的数量积可得关于x的二次函数，根据二次函数的性质即可求出最小值．

【解答】

解：以B为原点，以BC为x轴建立如图所示的直角坐标系，

，，
，
，
，
，
，
设，
，，
，解得，
，
，，
，
，
，
设，则，其中，
，，
，当时取得最小值，最小值为，
故答案为：； ．

18.【答案】12

6

【解析】

【分析】

本题考査向量平行和向量垂直的判定，考查运算求解能力，是基础题．
利用向量平行的性质和向量垂直的条件列式，直接计算求解即可．

【解答】

解：向量，，，
，解得
，，
解得．
故答案为：12；6．

19.【答案】解：因为
所以，
所以．
所以．

．
由正弦定理，得，
又A为的内角，
所以或，
因为，所以．
，
因为，
所以，

即．
所以所求的取值范围是

【解析】本题考查了向量的数量积，正弦定理，属于中档题．
由求出tanx的值，把化为关于tanx的表达式，从而求出值来；
求出的表达式，由正弦定理求出A的大小，进行求解即可．
 

20.【答案】解：设，由，可得，

由题意可得
解得或．
因此，或；

，
，

化简得，

即，
解得．

【解析】本题考查平面向量平行、垂直、数量积，坐标运算等知识，属于中档题．
设，根据题意可得出关于实数x、y的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量的坐标；

由，可得，进而可求得实数的值．

21.【答案】解：根据题意，设
则，，则有，即，
又由，则有，
解可得：
；
又由，则有，
变形可得，
又，则有，
设与的夹角为，
则有，
故与的夹角的余弦值为．
 

【解析】根据题意，设，由向量平行的坐标表示可得，即，由向量模的公式可得，解可得x、y的值，即可得答案；
根据题意，由向量垂直的判断方法可得，变形可得，又由数量积计算公式，变形分析即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算以及向量平行的坐标表示，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ，
，
，解得；
Ⅱ，
，
，解得．
 

【解析】本题考查了向量坐标的加法、减法、数量积和数乘运算，向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
Ⅰ可以求出，根据即可得出，解出k即可；
Ⅱ可以求出，根据即可得出，进行向量坐标的数量积的运算即可求出t的值．
 

23.【答案】解：因为D为斜边BC的靠近点B的三等分点，

所以，
．

因为E为AD的中点，

所以，

所以；

，
因为为直角三角形，所以，，

所以
，

易知，，

设向量与的夹角为，
则．

【解析】本题考查向量的线性运算，向量的夹角，向量数量积的运算，属于中档题．
由向量的数乘以及加、减运算表示和；
设向量与的夹角为，则，由向量的数量积以及模，代入求值．