数学必修 第二册6.2.1 向量基本定理教案设计

平面向量基本定理

一、内容分析

（一） 课标要求：了解平面向量的基本定理及其意义。这部分教学侧重于帮助学生在现有的向量线性运算的基础上逐步导入平面向量基本定理，引导学生在直观感知的基础上，认识平面向量基本定理的形成和意义；通过直观感知、操作确认、思辨论证，初步了解平面向量基本定理及其意义。

本节课要求：在学生已经初步学会平面向量的线性运算（加法、减法和数乘）的基础上帮助学生自主导入平面向量的基本定理及其几何意义，并学会应用所学知识去解决问题

（二）教材分析

本节内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学4·必修（人教A版）》第二章2.3.1平面向量基本定理。学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。

（三）学情分析

知识结构：通过前面几节课的学习，学生已经学会了如何应用三角形法则和平行四边形法则去处理向量之间的线性关系，对于加法、减法和数乘运算的学习使学生已经具备了一定的推理能力，并通过观察图形和归纳，总结的常用的方法的两种方法：三角形法则和平行四边形法则。

心理特征：通过前面几节课的学习，学生已经学会了向量的线性运算，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

（四）设计理念

本节课结合课标的要求有效利用几何画板辅助教学，针对学生的实际学习背景，平面向量基本定理的导入教学首先要贴近学生实际让学生学会由现有的知识引发思考，合理质疑，进一步激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。

二、教学目标

知识技能：了解平面向量基本定理及其意义，会用基底表示某一向量；掌握两个向量夹角的定义及会初步求解简单的向量夹角问题。

数学能力：通过本节学习，让学生体会用基底表示平面内一个向量的方法，会把问题转化为应用三角形法则和平行四边形法则求解问题，会求一些比较简单向量夹角。

数学思想：经历平面向量基本定理的探究过程，让学生体会由特殊到一般的思维方法；渗透数形结合和归纳类比的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯。

【设计意图】

1.让学生在原有的知识基础上对所学的知识进行拓展和延伸，初步体会平面向量基本定理的形成，有利于知识的网络化

2.从根本上点出本节课教学的主要方向和侧重于平面向量基本定理的导入和应用

3.学生通过体会自主探究活动，有效提升解决问题的能力，从更高层次上去看待数学问题。

三、教学重点与难点

教学重点：平面向量基本定理及其意义；两个向量夹角的简单计算

（通过一个典型例题归纳出常见方法，由此突破）

教学难点：平面向量基本定理的探究；向量夹角的判断。

（借助几何画板辅助教学，有效直面学生常见的问题，并解决问题由此突破）

【设计意图】本节课的主要侧重于学生自主参与教学有效建构平面向量基本定理，因此设置了这样的教学重点，同时在这过程中尤其是学生数学意识的培养更是重中之重，这体现了学生的数学素质，由此设置了这样的教学难点。

四、教学策略

本节课为新授课。根据班级的实际情况，学生思维想象能力还有所欠缺，在教学中利用班班通平台整合几何画板动态展示知识的形成过程；注重学生自主探究能力；在教学活动中始终以学生为主体，采用几何画板的动画演示，直观的让学生感知到，平面向量基本定理的形成和应用，并从中去找寻规律，使得本节课有更好的效果。

五、教学过程

（一）温故知新

1.平面向量的加法：三角形法则、平行四边形法则

2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

3． 向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

【设计意图】结合幻灯片及学生的反馈进行知识的再现，为新课的开展奠定基础。

（二）情境引入

1、导入：给定两向量、 ，作出，

【设计意图】通过学生所熟知的知识进行知识的过度引入，符合学生的认知规律。

问题1：此时的形式是什么？

预设：

问题2：我们能否作出其它的类似向量呢？如果是，又怎么做？

【设计意图】合理引导学生进行归纳汇总，逐步引入课题。

2、初步体会：

（1）利用三角形法则作出

（2）利用平行四边形法则作出（学生在导学案上作图，教师演示课件）

【设计意图】让学生先自行体会如何做，有一定的意识，方便于进一步探究。

3、以问题为导向，进行探究

提出问题：（1）能否做出所有形如的向量？（演示课件）

教学活动1：追踪合向量，让学生观察图象直观感知

【设计意图】借助于几何画板的追踪功能，让学生直观动态感知，自行得出结论 。

（2）任意一个向量能否表示成？

几何画板动态演示，直观感知

探究1：如图，设、是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究与、之间的关系.

问题3：如果改变，上述是否还有这样的结论呢？如果改变、，情况又如何呢？

【设计意图】借助于几何画板的动态功能，让学生直观动态感知，自行得出结论 。

自主小结：  平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示

问题4：如果、共线的情况呢（演示课件）

【设计意图】为引出定理的应用条件设立探究的基础。

问题5：如果给定、、 我们所得到的 λ1、λ2,是确定的，还是变化的？

【设计意图】更进一步完善定理的结论。

（三）得出结论

1、平面向量基本定理:如果、是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使=λ1+λ2.

说明:(1)我们把不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;

(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条件下进行分解;

(4)基底给定时,分解形式唯一.

判断1：已知平行四边形ABCD中，那些向量能够作为基底？

【设计意图】通过学生的反馈，进一步确定基底的基本概念，并得出判断标准。

辨析1：已知向量、不共线，则下列向量可以作为平面的一组基底的是（     ）

A. 与            B. 与

C. 与       D. 与

【设计意图】进一步辨析基底的判断要求，加深学生的印象。

（四）例题讲解

1、例题：已知三角形ABC，,D为BC上一点，试用a,b表示下列情况下的AD

（1）当D为BC中点时

（2）当DB=2DC时

（3）当2DB=DC时

教学活动：学生调板，反馈情况

【设计意图】通过学生的反馈，进一步明确如何应用平面向量的基本定理的方法：利用三角形法则和平行四边形法则。

预设：学生可能应用三角形法则，也可能应用平行四边形法则，要做好相应的补充。

2、结合课件进行探究

探究1：此时相应的系数有何关系？

探究2：当D为BC上的任意一点时，是否也有这种关系？

探究3：当 D为BC延长线上的任意一点时，是否也有这种关系？

【设计意图】把复杂的问题通过学生的直观感知，自主归纳出结论。

学生自主归纳结论：

预留课后作业：先自行证明结论，下节课在交流。

3、夹角问题

 已知两个非零向量和 (如图),作=,=,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量与的夹角.

 显然,当θ=0°时, 与同向;当θ=180°时, 与反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.

如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作⊥.

辨析2：已知等边三角形ABC，则与、与的夹角是否为60？

【设计意图】通过课件进一步明确夹角的概念，为下一节数量积打下基础。

五、课时小结：

（1）平面向量的基本定理

（2）基底的判断与要求

（3）对应系数的唯一性和存在性

（4）向量的夹角概念以及注意事项

（5）重要推论

【设计意图】总结本节学习的知识，完善知识框架。

六、课后练习

1、已知向量、不共线，则下列向量可以作为平面的一组基底的是（     ）

A. 与            B. 与

C. 与          D. 与

2、在平行四边形ABCD中，试用表示

3

4、课后思考：教材93页图2.3-2中,如是使会出现什么情况？

5、、课后预习：教材2.3.2节的内容。

七、教学反思：

本课以问题为载体，以学生为主体，教师与学生以课堂为主渠道进行交流，培养学生的自主探究活动。课堂本着“让学生充分经历知识的形成、发展和应用过程”,“充分体验数学的发展和创造历程”为学生的智慧成长而教，使学生在探究中“转知为智，化识为慧”。学生通过这节课的学习能很好的掌握平面向量的基本定理和如何应用，树立自主探究意识，为今后的自主学习做好了准备。

特别是在当前倡导“减负增效”背景下，要明确教学方式和学习方式的转变是课堂改革的核心，让学生体会知识的形成过程是严谨的和实用的，了解数学的价值，增进对数学的理解；学生学会同伴合作，学会用数学方法思考、交流，培养初步的创新精神和实践能力，达到协调。

本节课教学教师不牵着学生朝着心目中的一个方向去寻找一个答案，而是放手让学生充分思考的基础上，逐步引导学生通过知识的回顾和复习，利用导学案自然的从上节课过度而来，让学生在“引入与思考”中能熟练的应用三角形法则和平行四边形法则来解决问题，逐步导入到本节课的内容上来，并在不知不觉中完成了自主探究。让学生通过自己的思考，充分引导参与问题解决的全过程，并最终明确平面向量基本定理的应用条件和基底的概念，为下一步引入探究打下伏笔，树立了学生学习的自信心，提高了学生学习数学的兴趣。

同时本节课也注重学生在课堂上的反馈，真正把握学生课堂参与程度。通过对学生的提问和调板充分反馈学生的课堂接受度。在例题的处理上，先让学生亲自去体会一下，充分展示学生的求法——应用三角形法则，并指出学生所犯错误加以强调，进而为本节课的有效深入奠定基础。并在此基础上让学生探究一般情况——D为直线上的动点，结合学生所求的特例和应用的方法得出结论，再进行总结，符合学生的认知规律。