高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.5 增长速度的比较课堂检测

十　增长速度的比较

基础练习

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.有一组实验数据如表所示:

下列所给函数模型较适合的是 (　　)

A.y=logax(a>1)

B.y=ax+b(a>1)

C.y=ax2+b(a>0)

D.y=logax+b(a>1)

解析:选C.通过所给数据可知s随t的增大而增大,其增长速度越来越快,而A,D中的函数增长速度越来越慢,而B中的函数增长速度保持不变.

2.函数f(x)=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率为k1,在x0-Δx到x0之间的平均变化率为k2,则k1,k2的大小关系是              (　　)

A.k1<k2　 B.k1>k2

C.k1=k2　 D.无法确定

解析:选D.因为k1=

=2x0+Δx,k2=

=2x0-Δx,

又Δx可正可负且不为零,所以k1,k2的大小关系不确定.

3.下列函数中,增长速度最快的是 (　　)

A.y=5x B.y=x5

C.y=log5x D.y=5x

解析:选D.选项A,B,C,D分别为正比例函数,幂函数,对数函数,指数函数;指数函数的增长速度最快.

4.如图,阴影部分的面积S是h(0≤h≤H)的函数,则该函数的图象是图中的 (　　)

解析:选C.由题可知,h∈[0,H]是,S是减函数,故A,B错;

由图形阴影面积的变化趋势来看,函数减小的趋势是变慢的.

5.已知三个变量y1,y2,y3随变量x变化数据如表:

则反映y1,y2,y3随x变化情况拟合较好的一组函数模型是 (　　)

A.y1=x2,y2=2x,y3=log2x

B.y1=2x,y2=x2,y3=log2x

C.y1=log2x,y2=x2,y3=2x

D.y1=2x,y2=log2x,y3=x2

解析:选B.从题中表格可以看出,三个变量y1,y2,y3都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y1的增长速度最快,呈指数函数变化,变量y3的增长速度最慢,呈对数型函数变化.

6.(多选题)假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案每天的回报如图所示.

横轴为投资时间,纵轴为每天的回报,根据以上信息,若使回报最多,下列说法正确的是              (　　)

A.投资3天以内(含3天),采用方案一

B.投资4天,不采用方案三

C.投资6天,采用方案一

D.投资12天,采用方案二

解析:选ABC.由图可知,投资3天以内(含3天),方案一的回报最高,A正确;

投资4天,方案一的回报约为40×4=160(元),方案二的回报约为10+20+30+40=100(元),都高于方案三的回报,B正确;

投资6天,方案一的回报约为40×6=240(元),方案二的回报约为10+20+30+40+50+60=210(元),都高于方案三的回报,C正确;

投资12天,明显方案三的回报最高,所以此时采用方案三,D错误.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知函数y1=x2,y2=2x,y3=x,则下列关于这三个函数的描述中,正确的是　　　.(把正确的序号填写在横线上) 

①随着x的逐渐增大,y1增长速度越来越快于y2

②随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1

③当x∈(0,+∞)时,y1增长速度一直快于y3

④当x∈(0,+∞)时,y2增长速度有时快于y1

解析:如图,

对于y1=x2,y2=2x,

从负无穷开始,y1大于y2,然后y2大于y1,再然后y1再次大于y2,最后y2大于y1,y1再也追不上y2,故随着x的逐渐增大,y2增长速度越来越快于y1,①错误,②④正确;

对于y1=x2,y3=x,

由于y3=x的增长速度是不变的,当x∈(0,1)时,y3大于y1,当x∈(1,+∞)时,y1大于y3,y3再也追不上y1,y1增长速度有时快于y3,③错误.

答案:②④

8.某种病菌经30分钟繁殖为原来的两倍,且知病菌的繁殖规律为y=ekt,其中k为常数,t表示时间(小时),y表示病菌个数,则k=　　　　,经过5小时,1个病菌能繁殖为　　　　个. 

解析:,2代入y=ekt得2=,所以k=ln 2,k=2ln 2,所以函数解析式为y=e2tln 2==22t,令t=5,则1个病菌经5小时繁殖为y=210=1 024(个).

答案:2ln 2　1 024

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.试比较函数y=x200,y=ex,y=lg x的增长差异.

解析:根据幂函数、指数函数、对数函数的图象特征,增长最慢的是y=lg x,可知随着x的增大,它几乎平行于x轴;当x较小时,y=x200要比y=ex增长得快;当x较大时,y=ex要比y=x200增长得快.

10.函数f(x)=2x和g(x)=x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1<x2.

(1)请指出图中曲线C1,C2分别对应的函数.

(2)结合函数图象,判断f(6),g(6),f(2 023),g(2 023)的大小.

解析:(1)C1对应的函数为g(x)=x3,C2对应的函数为f(x)=2x.

(2)因为f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10),

所以1<x1<2,9<x2<10,

所以x1<6<x2,2 023>x2.

从图象上可以看出,当x1<x<x2时,f(x)<g(x),所以f(6)<g(6).

当x>x2时,f(x)>g(x),所以f(2 023)>g(2 023).又g(2 023)>g(6),

所以f(2 023)>g(2 023)>g(6)>f(6).

提升练习

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:万元)对年销售量y(单位:t)的影响,对近6年的年宣传费和年销售量进行整理,得到数据如表所示:

根据表中数据,下列函数中,最适合作为年销售量y关于年宣传费x的拟合函数的是              (　　)

A.y=0.5(x+1) B.y=2x-1

C.y=log3x+1.5 D.y=x2-2

解析:选C.由题表知,当自变量增加1个单位时,函数值依次增加0.55,0.40,0.16,0.14,0.20,因此A,B不符合题意,当x取1,4时,y=x2-2的值分别为-1,14,与表中数据相差较大,排除D选项,故选C.

2.三个变量y1,y2,y3随着变量x的变化情况如表:

则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是 (　　)

A.y1,y2,y3　 B.y2,y1,y3

C.y3,y2,y1　 D.y3,y1,y2

解析:选C.由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较,指数函数增长最快,对数函数增长最慢,由题中表格可知,y1是幂函数,y2是指数函数,y3是对数函数.

3.在y=2x,y=log2x,y=x这三个函数中,当0<x1<x2<1时,使f>恒成立的函数的个数是(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:选B.作出图象,图象分三种:直线型,例如一次函数y=x的图象;向上弯曲型,例如指数函数y=2x的图象;向下弯曲型,例如对数函数y=log2x的图象,可知只有y=log2x符合要求.

4.(多选题)如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系,有人根据函数图象,提出了关于这两个旅行者的如下信息,正确的是(　　)

A.骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h,晚到1 h

B.骑自行车者是变速运动,骑摩托车者是匀速运动

C.骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者

D.骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样

解析:选ABC.看时间轴易知A正确;骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线,所以是匀速运动,而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线,所以是变速运动,因此B正确;两条曲线的交点的横坐标对应着4.5,故C正确;D错误.

二、填空题(每小题5分,共10分)

5.四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表:

　则关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　. 

解析:以“爆炸式”增长的变量呈指数型函数变化.从题表中数据可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化的,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,所以变量y2关于x呈指数型函数变化.

答案:y2

6.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,则婴儿体重在第　　　　年增长较快. 

解析:因为==0.625,

==0.25,所以>,故第一年婴儿体重的平均变化率大,婴儿体重增长较快.

答案:一

三、解答题(每小题10分,共20分)

7.某人对东北一种松树的生长进行了研究,收集了其高度h(米)与生长时间t(年)的相关数据,选择h=mt+b与h=loga(t+1)来刻画h与t的关系,你认为哪个符合?并预测第8年的松树高度.

解析:根据表中数据作出散点图如图:

由图可以看出用一次函数模型不吻合,选用对数型函数比较合理.

不妨将(2,1)代入h=loga(t+1)中,得1=loga3,解得:a=3.故可用函数h=log3(t+1)来拟合这个实际问题.当t=8时,求得h=log3(8+1)=2,故可预测第8年松树的高度为2米.

8.函数f(x)=1.1x,g(x)=ln x+1,h(x)=的图象如图所示,试分别指出各曲线对应的函数,并比较三个函数的增长差异(以1,a,b,c,d,e为分界点).

解析:由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)=1.1x,曲线C2对应的函数是h(x)=,曲线C3对应的函数是g(x)=ln x+1.由题图知当x<1时,f (x)>h(x)>g(x);

当1<x<e时,f (x)>g(x)>h(x);

当e<x<a时,g(x)>f (x)>h(x);

当a<x<b时,g(x)>h(x)>f (x);

当b<x<c时,h(x)>g(x)>f (x);

当c<x<d时,h(x)>f (x)>g(x);

当x>d时,f (x)>h(x)>g(x).