人教A版 (2019)必修 第一册第四章 指数函数与对数函数4.3 对数复习练习题

4.3 对数运算

1．对数的概念

若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数，记作x＝logaN.

[知识点拨]　对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．

2．常用对数和自然对数

(1)常用对数：通常我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN.

(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.

3．对数与指数的关系

当a＞0，且a≠1时，ax＝N⇔x＝logaN.

4．对数的基本性质

(1)零和负数没有对数．

(2)loga1＝0(a＞0，且a≠1)．

(3)logaa＝1(a＞0，且a≠1)．

6．对数的运算性质

[知识点拨]　一般情况下，当a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0时，loga(MN)≠(logaM)(logaN)，loga(M＋N)≠logaM＋logaN，loga≠.

7．换底公式

logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0)．

[知识拓展]　(1)可用换底公式证明以下结论：

①logab＝；②logab·logbc·logca＝1；③loganbn＝logab；④loganbm＝logab；⑤logb＝－logab.

(2)对换底公式的理解：

换底公式真神奇，换成新底可任意，

原底加底变分母，真数加底变分子．

题型一 对数的定义

【例1】（全国高一课前预习）在中，实数的取值范围为______.

【题型专练】

1．（全国高一课前预习）（多选）下列选项中错误的是（    ）

A．零和负数没有对数

B．任何一个指数式都可以化成对数式

C．以10为底的对数叫做自然对数

D．以e为底的对数叫做常用对数

2．使对数loga(－2a＋1)有意义的a的取值范围为(　　)

A．a>且a≠1   B．0<a<

C．a>0且a≠1   D．a<

题型二 指数对数的互化

【例2】（全国高一课时练习）指数式和对数式互相转化：

（1）____________．（2）____________．

（3）____________．（4）____________．

【题型专练】

1．（全国高一专题练习）将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

（1）53=125；

（2）4-2=；

（3）log3=-3.

2．（全国高一课前预习）把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式．

（1）；

（2）；

（3）．

题型三 对数的求值

【例3-1】（全国高一课前预习）利用指数式、对数式的互化求下列各式中x的值．

（1）；

（2）；

（3）．

【例3-2】（上海高一专题练习）求下列各式的值：

（1）log28；       

（2）log9；

（3）lne；        

（4）lg1.

【题型专练】

1．（全国高一课时练习）计算：____.

2．（全国高一课前预习）求下列各式中的x的值．

（1）；

（2）．

3．（全国高一专题练习）计算：（1）_________．

（2）_________．

（3）_________．

（4）__________．

（5）__________．

题型四 对数的运算

【例4-1】（全国高一课前预习）求下列式子值．

（1）________；

（2）________．

【例4-2】（全国高一专题练习）计算下列各式的值：

（1）；（2）；

（3）；（4）．

【题型专练】

1．（长沙市明德中学高一开学考试）计算：______

2．（全国高一课时练习）计算:________．

3．（全国高一课时练习）计算：____.

4．（全国高一课时练习）计算:（1）lg 125+lg 2lg 500+(lg 2)2.

（2）

（3）

5．（全国）计算下列各式的值：

（1）lg−lg＋lg；

（2）lg25＋lg8＋lg5×lg20＋(lg 2)2.

题型五 换底公式

【例5】（1）（全国高一专题练习）已知，则（    ）

A． B． C． D．

（2）（全国高一课时练习）设，且，则（    ）

A． B．10 C．20 D．100

【题型专练】

1．（上海高一专题练习）已知，用含的式子表示_________.

2．（上海市川沙中学高一期中）已知：lg2=a，lg3=b，则a，b表示=_____________；

3．（全国）已知a，b，c均为正数，且，求证：；