培优课　圆锥曲线中的几个常用结论

类型一　垂径定理及其应用

(1)椭圆＋＝1中.如图(1)，已知直线l与椭圆相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOMkAB＝－＝e2－1.

图(1)　　　　　　图(2)

推广：如图(2)，已知点A，B是椭圆上关于原点对称的两点，P是椭圆上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，kPAkPB＝－.

(2)双曲线－＝1中.如图(3)，已知直线l与双曲线相交于A，B两点，点M为AB的中点，O为原点，则kOMkAB＝.

图(3)　　　　　　　　图(4)

(注：直线l与双曲线的渐近线相交于A，B两点，其他条件不变，结论依然成立)

推广：如图(4)，已知点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，P是双曲线上异于A，B的一点，若直线PA，PB的斜率存在且不为零，kPAkPB＝.

例1 (1)椭圆＋＝1的弦被点(2，2)平分，则这条弦所在的直线方程为________.

(2)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为P(－2，1)，则直线l的斜率为________.

答案　(1)x＋4y－10＝0　(2)

解析　(1)由垂径定理，得·k＝－，即k＝－，

则直线方程为y＝－(x－2)＋2，即x＋4y－10＝0.

(2)由kAB·kOP＝－＝e2－1，得e2－1＝－，

∴kAB·＝－，∴kAB＝.

类型二　抛物线中的焦点弦问题

抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过焦点F的直线l与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为原点，直线l的倾斜角为α，则

(1)焦半径：|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|AB|＝x1＋x2＋p；

(2)焦点弦：|AB|＝，且＋＝为定值，|AF|＝，|BF|＝，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

例2 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过F且与C交于A，B两点.若|AF|＝3|BF|，则l的方程为(　　)

A.y＝x－1或y＝－x＋1

B.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

C.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

D.y＝(x－1)或y＝－(x－1)

答案　C

解析　设直线l的倾斜角为θ，

当cos θ>0时，|AF|＝，|BF|＝.

由|AF|＝3|BF|，∴＝，

即cos θ＝，此时tan θ＝，

当cos θ<0时，|AF|＝，|BF|＝，由|AF|＝3|BF|，

∴＝，即cos θ＝－，此时tan θ＝－，故选C.