【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练9　用空间向量证明平行

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限时小练9　用空间向量证明平行如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点.求证：四边形AEC1F是平行四边形.证明　如图，以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，E，C1(0，1，1)，F，∴＝，＝，＝，＝，∴＝，＝，∴∥，∥，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形.2.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：(1)FC1∥平面ADE；(2)平面ADE∥平面B1C1F.证明　如图所示建立空间直角坐标系Dxyz，则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1).(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，即得令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1，2).因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n1.又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.(2)因为＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由n2⊥，n2⊥，得得令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，因为n1＝n2，平面ADE与平面B1C1F不重合，所以平面ADE∥平面B1C1F.