【最新版】高中数学（新人教A版）习题+同步课件限时小练8　求平面的法向量

限时小练8　求平面的法向量

1.设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是(　　)

A.(－1，－2，5)   B.(－1，1，－1)

C.(1，1，1)   D.(1，－1，－1)

答案　B

解析　平面α的法向量应当与a，b都垂直，可以检验知B选项适合.

2.已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC的一个法向量为________.(写出一个正确的即可)

答案　(6，3，2)(答案不唯一)

解析　由已知可得＝(0，2，0)－(1，0，0)＝(－1，2，0)，

＝(0，0，3)－(1，0，0)＝(－1，0，3).

设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，

则n·＝(x，y，z)·(－1，2，0)＝－x＋2y＝0，

n·＝(x，y，z)·(－1，0，3)＝－x＋3z＝0.

不妨令x＝6，则y＝3，z＝2.

因此，可取n＝(6，3，2)为平面ABC的一个法向量.

3.如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系.

(1)求平面ABCD的一个法向量；

(2)求平面SAB的一个法向量；

(3)求平面SCD的一个法向量.

解　以点A为原点，AD、AB、AS所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，

D，S(0，0，1).

(1)∵SA⊥平面ABCD，

∴＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量.

(2)∵AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA⊂平面SAB，∴AD⊥平面SAB，

∴＝是平面SAB的一个法向量.

(3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1).

设平面SCD的法向量是n＝(x，y，z)，

则n⊥，n⊥，∴

得方程组∴

令y＝－1，得x＝2，z＝1，

∴n＝(2，－1，1).

即n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量.