【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件限时小练9　充要条件的判断与证明

限时小练9　充要条件的判断与证明

1.已知集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x≤a}，则“A⊆B”是“a＞5”的(　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为|x|≤4⇔－4≤x≤4，

所以A＝{x|－4≤x≤4}.

又A⊆B，所以a≥4，故选B.

2.《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”，这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在.则“有毛”是“有皮”的________.(将正确的序号填在横线上)

①充分条件；②必要条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件.

答案　①

解析　由题意知，“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”，即“有毛”是“有皮”的充分条件，故填①.

3.已知ab≠0，求证：a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.

证明　先证充分性：∵a＋b＝1，

∴a＋b－1＝0，∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2＋b2－ab)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

再证必要性：∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，

∴(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.

又ab≠0，∴a≠0且b≠0，

∴a2－ab＋b2＝＋b2>0，

∴a＋b－1＝0，即a＋b＝1.

综上可知，当ab≠0时，a3＋b3＋ab－a2－b2＝0成立的充要条件是a＋b＝1.