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高中数学第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程集体备课ppt课件
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这是一份高中数学第二章 圆锥曲线2 双曲线2.1 双曲线及其标准方程集体备课ppt课件，文件包含21双曲线及其标准方程pptx、21双曲线及其标准方程doc等2份课件配套教学资源，其中PPT共52页， 欢迎下载使用。
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、双曲线的定义1.思考 椭圆是如何定义的？椭圆的标准方程是什么？
2.思考 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差的绝对值”，那么点的轨迹是什么图形？提示 点的轨迹是双曲线，其中“距离的差”应小于两定点之间的距离.3.思考 在上述过程中，如果“距离的差”等于两定点之间的距离，其轨迹还是上述图形吗？提示 不是，其图形是以两定点为端点的两条射线.
4.填空 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的________等于______ (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离叫作双曲线的______.温馨提醒 在双曲线的定义中(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
5.做一做 (1)判断正误①平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.②平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.③平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )提示 因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.
(2)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4解析 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线.
二、双曲线的标准方程1.思考 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的直角坐标系，求出双曲线的标准方程呢？提示 以两定点F1，F2所在的直线和线段F1F2的垂直平分线分别为坐标轴建立平面直角坐标系，然后利用定义，求出标准方程.2.思考 在双曲线的标准方程中，是否还满足a>b>0呢？a，b，c之间的关系如何？提示 不要求a>b>0，只需满足a>0，b>0；a，b，c之间的关系为a2＋b2＝c2.
温馨提醒 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
4.做一做 (1)若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线
∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
解析 由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，∴双曲线的标准方程为
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线解析 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
训练1 (1)在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是( )A.(0，4) B.(0，4]C.(4，＋∞) D.(0，4)∪(4，＋∞)解析 由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0迁移 若本例(1)中，去掉“焦点在y轴上”这一条件，如何求解？
解 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
训练2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
解 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，又知焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
解 因为焦点在x轴上，
解得a2＝8，b2＝4，
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如题图)，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？
利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解释实际问题(注意实际意义).
训练3 某地发生地震，为了救援灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去.已知|PA|＝100 km，|PB|＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的地方沿道路PA送药较近，而另一侧的地方沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程.
解 灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意，知界线是第三类点的轨迹.设M为界线上任意一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值).
所以界线是以A，B为焦点的双曲线右支的部分图象.
所以b2＝c2－a2＝3 750.
1.牢记两个知识点：(1)双曲线的定义；(2)双曲线的标准方程的求法.2.掌握两种思想方法：转化法和数形结合法.3.辨清一个易错点：在利用双曲线的定义解题时易漏掉绝对值.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线的一支C.不存在 D.一条射线解析 因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.
解析 不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，∴m＝9.
解析 由双曲线定义，知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝2或22.
(－∞，－5)∪(－5，－1)
∴b2＝c2－a2＝6，
将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
13.当0°≤α≤180°时，方程x2cs α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？解 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹与参数A，B是相关的，因此要确定轨迹，需对参数A，B进行讨论.(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行的直线x＝±1.
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行的直线y＝±1.
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线.
14.某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为3 km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多6 km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6 km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
解 ∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多6 km，∴线路AB段所在的曲线是以定点M，N为左、右焦点的双曲线的左支，则其方程为x2－y2＝9(x<0，y≥0)；∵线路BC段上任意一点到O的距离都相等，∴线路BC段所在的曲线是以O为圆心，以OB为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝9(x≤0，y≤0)；∵线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6 km，∴线路CD段所在的曲线是以定点Q，P为上、下焦点的双曲线的下支，则其方程为x2－y2＝－9(x≥0，y<0).故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为x|x|＋y|y|＝－9.
(1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
(2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
解 设G(x0，y0)，则x0<0，y0≥0，
1.了解双曲线的定义，几何图形和标准方程.2.理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题.
通过推导双曲线方程的过程，提升逻辑推理素养；通过求解双曲线的方程，提升数学运算素养.
问题导学预习教材必备知识探究
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
一、双曲线的定义1.思考 椭圆是如何定义的？椭圆的标准方程是什么？
2.思考 把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差的绝对值”，那么点的轨迹是什么图形？提示 点的轨迹是双曲线，其中“距离的差”应小于两定点之间的距离.3.思考 在上述过程中，如果“距离的差”等于两定点之间的距离，其轨迹还是上述图形吗？提示 不是，其图形是以两定点为端点的两条射线.
4.填空 平面内到两个定点F1，F2的距离之差的________等于______ (大于零且小于|F1F2|)的点的集合(或轨迹)叫作双曲线.这两个定点F1，F2叫作双曲线的______，两个焦点之间的距离叫作双曲线的______.温馨提醒 在双曲线的定义中(1)常数要小于两个定点的距离.(2)如果没有绝对值，点的轨迹表示双曲线的一支.(3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点).(4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在.(5)当2a＝0时，动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线.
5.做一做 (1)判断正误①平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线.( )提示 必须是距离的差的绝对值才表示双曲线.②平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )提示 平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹为双曲线的一支.③平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )提示 因为||PF1|－|PF2||＝8＝|F1F2|，故对应的轨迹为两条射线.
(2)已知定点F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点P的轨迹中为双曲线的是( )A.|PF1|－|PF2|＝±3 B.|PF1|－|PF2|＝±4C.|PF1|－|PF2|＝±5 D.|PF1|2－|PF2|2＝±4解析 当|PF1|－|PF2|＝±3时，||PF1|－|PF2||＝3<|F1F2|＝4，满足双曲线的定义，所以P点的轨迹是双曲线.
二、双曲线的标准方程1.思考 类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的直角坐标系，求出双曲线的标准方程呢？提示 以两定点F1，F2所在的直线和线段F1F2的垂直平分线分别为坐标轴建立平面直角坐标系，然后利用定义，求出标准方程.2.思考 在双曲线的标准方程中，是否还满足a>b>0呢？a，b，c之间的关系如何？提示 不要求a>b>0，只需满足a>0，b>0；a，b，c之间的关系为a2＋b2＝c2.
温馨提醒 (1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上.(2)a与b没有大小关系.(3)a，b，c的关系满足c2＝a2＋b2.
4.做一做 (1)若k>1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在x轴上的双曲线
∴已知方程表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.
解析 由焦点坐标，知焦点在y轴上，∴m<0，∴双曲线的标准方程为
∴－m－3m＝4，∴m＝－1.
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
例1 已知A(0，－5)，B(0，5)，|PA|－|PB|＝2a，当a＝3或5时，P点的轨迹为( )A.双曲线或一条直线B.双曲线或两条直线C.双曲线一支或一条直线D.双曲线一支或一条射线解析 当a＝3时，2a＝6，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为双曲线的一支(靠近点B).当a＝5时，2a＝10，此时|AB|＝10，∴点P的轨迹为射线，且是以B为端点的一条射线.
判断点的轨迹是否为双曲线时，要根据双曲线的定义成立的充要条件.
训练1 (1)在平面直角坐标系中，F1(－2，0)，F2(2，0)，||PF1|－|PF2||＝a(a∈R)，若点P的轨迹为双曲线，则a的取值范围是( )A.(0，4) B.(0，4]C.(4，＋∞) D.(0，4)∪(4，＋∞)解析 由题意知||PF1|－|PF2||＝a，又点P的轨迹为双曲线，则根据双曲线的定义，可得||PF1|－|PF2||<|F1F2|＝4，所以0
解 设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
训练2 分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；
解 由双曲线的定义知，2a＝8，所以a＝4，又知焦点在x轴上，且c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－16＝9，
解 因为焦点在x轴上，
解得a2＝8，b2＝4，
(1)以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系(如题图)，根据题设条件求观察员所有可能出现的位置的轨迹方程；
(2)若C点监测点信号失灵，现立即以监测点C为圆心进行“圆形”红外扫描，为保证有救援希望，扫描半径r至少是多少公里？
利用双曲线解决实际问题的基本步骤(1)建立适当的坐标系.(2)求出双曲线的标准方程.(3)根据双曲线的方程及定义解释实际问题(注意实际意义).
训练3 某地发生地震，为了救援灾民，救援队在如图所示的P处收到了一批救灾药品，现要把这批药品沿道路PA，PB运送到矩形灾民区ABCD中去.已知|PA|＝100 km，|PB|＝150 km，BC＝60 km，∠APB＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的地方沿道路PA送药较近，而另一侧的地方沿道路PB送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线，并求出其方程.
解 灾民区ABCD中的点可分为三类，第一类沿道路PA送药较近，第二类沿道路PB送药较近，第三类沿道路PA和PB送药一样近.依题意，知界线是第三类点的轨迹.设M为界线上任意一点，则|PA|＋|MA|＝|PB|＋|MB|，即|MA|－|MB|＝|PB|－|PA|＝50(定值).
所以界线是以A，B为焦点的双曲线右支的部分图象.
所以b2＝c2－a2＝3 750.
1.牢记两个知识点：(1)双曲线的定义；(2)双曲线的标准方程的求法.2.掌握两种思想方法：转化法和数形结合法.3.辨清一个易错点：在利用双曲线的定义解题时易漏掉绝对值.
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
1.已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是( )A.双曲线 B.双曲线的一支C.不存在 D.一条射线解析 因为|PF1|－|PF2|＝4，且4<|F1F2|，由双曲线定义知，P点的轨迹是双曲线的一支.
解析 当k>5时，方程表示双曲线；反之，当方程表示双曲线时，(k－5)(k－2)>0，即k>5或k<2.故选A.
解析 不妨设|AF2|>|AF1|，由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＋|BF2|＝(|AF1|＋|BF1|)＋4a＝m＋4a，于是△ABF2的周长l＝|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＋2m.故选C.
又由a2＋b2＝c2得，16＋m＝25，∴m＝9.
解析 由双曲线定义，知||PF1|－|PF2||＝10，即|12－|PF2||＝10，∴|PF2|＝2或22.
(－∞，－5)∪(－5，－1)
∴b2＝c2－a2＝6，
将||PF2|－|PF1||＝2a＝6两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得
13.当0°≤α≤180°时，方程x2cs α＋y2sin α＝1表示的曲线怎样变化？解 方程Ax2＋By2＝1表示的轨迹与参数A，B是相关的，因此要确定轨迹，需对参数A，B进行讨论.(1)当α＝0°时，方程为x2＝1，它表示两条平行的直线x＝±1.
(3)当α＝90°时，方程为y2＝1，它表示两条平行的直线y＝±1.
(5)当α＝180°时，方程为x2＝－1，它不表示任何曲线.
14.某市为改善市民出行，大力发展轨道交通建设，规划中的轨道交通s号线线路示意图如图所示，已知M、N是东西方向主干道边两个景点，P、Q是南北方向主干道边两个景点，四个景点距离城市中心O均为3 km，线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多6 km，线路BC段上任意一点到O的距离都相等，线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6 km，以O为原点建立平面直角坐标系xOy.
解 ∵线路AB段上的任意一点到景点N的距离比到景点M的距离都多6 km，∴线路AB段所在的曲线是以定点M，N为左、右焦点的双曲线的左支，则其方程为x2－y2＝9(x<0，y≥0)；∵线路BC段上任意一点到O的距离都相等，∴线路BC段所在的曲线是以O为圆心，以OB为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝9(x≤0，y≤0)；∵线路CD段上的任意一点到景点Q的距离比到景点P的距离都多6 km，∴线路CD段所在的曲线是以定点Q，P为上、下焦点的双曲线的下支，则其方程为x2－y2＝－9(x≥0，y<0).故轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程为x|x|＋y|y|＝－9.
(1)求轨道交通s号线线路示意图所在曲线的方程；
(2)规划中的线路AB段上需建一站点G到景点Q的距离最近，问如何设置站点G位置？
解 设G(x0，y0)，则x0<0，y0≥0，
