初中数学2.3 等腰三角形的性质定理学案

这是一份初中数学2.3 等腰三角形的性质定理学案，共11页。

课题
等腰三角形的性质定理（1）
单元
第二章
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.了解等腰三角形的有关概念；
2.掌握等腰三角形的性质定理；
3.能运用等腰三角形的性质定理进行简单的计算和证明
重点
掌握和应用等腰三角形的性质。
难点
1.等腰三角形性质的符号表示；
2.能灵活运用等腰三角形的性质
学法
探究法
教法
讲授法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回忆旧知
等腰三角形的定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形的对称轴是：
顶角平分线所在的直线是它的对称轴
等边三角形的定义：
三条边都相等的三角形叫做等边三角形。
回忆听课
回忆上节课所学，进入学习状态
做一做
任意画一个等腰三角形，通过折叠、测量等方式，探索它的内角之间有什么关系。你发现了什么？
∠B=∠C,∠BAD=∠CAD,
∠ADB=∠ADC.
动手操作
让学生通过自己动手得出结论
讲授新知
等腰三角形性质定理1
等腰三角形的两个底角相等
可以说成 “在同一个三角形中,等边对等角”
你能证明上面的结论吗？
已知：如图，在△ABC中，AB=AC.
求证：∠B=∠C
证明：如图，作△ABC的角平分线AD。
在△ABD和△ACD，
∵AB=AC（已知）
∠BAD=∠CAD（角平分线的定义）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△ACD（SAS）
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
你能根据等腰三角形的轴对称性证明上述定理吗？
证明：等腰三角形的对称轴为顶角的角平分线，根据轴对称图形的定义，对称轴两边的图形可以完全重合，所以∠B=∠C
听课
讲解等腰三角形的性质定理1
即时演练
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为__________（75°,30°）
⒉等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 ______________（70°,40°或55°,55°）
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为___（35°,35°）
结论:在等腰三角形中,
①顶角+2×底角=180°
②顶角=180°－2×底角
③底角=（180°－顶角）÷2
④0°＜顶角＜180°
⑤0°＜底角＜90°
做练习
及时巩固所学
例题讲解
例1.求等边三角形ABC三个内角的度数.
解：如图，在△ABC中，
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等腰三角形的两个底角相等）
同理，∠A=∠B
∵∠A+∠B+∠C=180°
∴∠A=∠B=∠C=×180°=60°
由“等腰三角形的两个底角相等”，可以得到以下推论：
等边三角形的各个内角都等于60°
听课思考
讲解例题，明白题型
即时演练
如图，等边△ABC中，D为AC的中点，E是BC延长线上一点，且CE=CD，求证：DB=DE。
证明：∵△ABC是等边三角形，D为AC的中点
∴∠ACB=60°
∠CBD= ∠ABC=30°
∵CE=CD ∴∠E=∠CDE
又∵∠E+∠CDE=∠ACB=60°
∴∠E=30°
∴∠CBD=∠E
∴DB=DE
做练习
及时巩固所学
例题讲解
例2：求证：等腰三角形两底角的平分线相等.
已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的两条角平分线。
求证：BD=CE.
证明：如图
∵AB=AC（已知）
∴∠ABC=∠ACB（等腰三角形的两个底角相等）
∵BD,CE分别是∠ABC，∠ACB的平分线
∴∠CBD=∠ABC，∠BCE=∠ACB（角平分线的定义）
∴∠CBD=∠BCE
又∵BC=CB（公共边）
∴△BCE≌△CBD（ASA）
∴BD=CE（全等三角形的对应边相等）
听课思考
讲解例题，明白题型
即时演练
已知：如图，在△ABC中，BP、CP分别平分∠ABC和∠ACB，DE过点P交AB于D，交AC于E，且DE∥BC．
求证：DE﹣DB=EC．
证明：∵BP平分∠ABC，
∴∠DBP=∠CBP．
∴DE∥BC，
∴∠CBP=∠DPB．
∴∠DPB=∠DBP．即DP=DB．
同理可得PE=CE．
∴DE=BD+CE，即DE﹣DB=EC．
做练习
及时巩固所学
达标测评
1.如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，BE平分∠ABC交AC于E，AD⊥BE于D，下列结论：
①AC-BE=AE；②∠BAD-∠C=∠DAE；③∠DAE=∠C；④AC=2BD，其中正确的是（ ）
A．①②③B．①③④
C．①②④D．②③④
【解析】∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠ABC=2∠C，
∴∠2=∠C，
∴BE=CE，
∵AC-CE=AE，
∴AC-BE=AE，故①正确；
延长AD交BC与F，
∵AD⊥BE，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
∵在△ABD和△FBD中，
∠ADB=∠FDB=90°
BD=BD
∠1=∠2
∴△ABD≌△FBD（ASA），
∴∠BAD=∠AFB，
在△ACF中，∠DAE=∠AFB-∠C，
∴∠BAD-∠C=∠DAE，故②正确；
在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠1=90°-∠C，
∴90°-∠C-∠C=∠DAE，
∴∠DAE=90°-2∠C，故③错误；
取CF的中点G，连接DG，则DG是△ACF的中位线，
∴DG∥AC，AC=2DG，
∴∠C=∠3，
∴∠2=∠3，
∴BD=DG，
∴AC=2BD，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故选C．
2.已知：如图，AB=AC，DB=DC，问：AD与BC有什么关系？
猜想：AD垂直平分BC
证明:
∵AB=AC,BD=CD,AD=DA
∴△ABD≌△ACD(SSS)
∴∠BAD=∠CAD
∴AD垂直平分BC
3.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，则∠DCE的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【解析】设∠ACE=x度，∠ECD=y度，∠DCB=z度，
∵BC=BE，
∴∠CED=∠ECB=（y+z）度，
又AC=AD，
∠ADC=∠ACD=（x+y）度，
在△CDB中，∠B=x+y-z；
在△ACE中，∠A=y+z-x；
在△ABC中，∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°，即x+y-z+y+z-x=90°，
∴2y=90°，解得y=45度．于是∠DCE=45°．
4.如图，等边△ABC的三条角平分线相交于点O，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于点E，那么这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A．5个B．6个C．7个D．8个
①∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形；
②∵BO，CO，AO分别是三个角的角平分线，
∴∠ABO=∠CBO=∠BAO=∠CAO=∠ACO=∠BCO，
∴AO=BO，AO=CO，BO=CO，
∴△AOB为等腰三角形；
③△AOC为等腰三角形；
④△BOC为等腰三角形；
⑤∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠B=∠ODE，∠C=∠OED，
∵∠B=∠C，
∴∠ODE=∠OED，
∴△DOE为等腰三角形；
⑥∵OD∥AB，OE∥AC，
∴∠BOD=∠ABO，∠COE=∠ACO，
∵∠DBO=∠ABO，∠ECO=∠ACO，
∴∠BOD=∠DBO，∠COE=∠ECO，
∴△BOD为等腰三角形；
⑦△COE为等腰三角形．
故选C
5.在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE=CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，
①求证：△APF是等腰三角形；
②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．
①证明：∵EF∥AD，
∴∠1=∠4，∠2=∠P，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∴∠4=∠P，
∴AF=AP，
即△APF是等腰三角形；
②AB=PC．理由如下：
证明：∵CH∥AB，
∴∠5=∠B，∠H=∠1，
∵EF∥AD，
∴∠1=∠3，
∴∠H=∠3，
在△BEF和△CDH中，
∵∠5=∠B
∠H=∠3
BE=CD
，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF=CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠H，∴AC=CH，∴AC=BF，∵AB=AF+BF，PC=AP+AC，∴AB=PC．
做题
通过做对应的题目，来让学生更深刻理解本节知识
应用拓展
在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB，△PBC，△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有（ ）个
A．1
B．4
C．7
D．10
【解析】（1）点P在三角形内部时，点P是边的垂直平分线的交点，是三角形的外心；
（2）分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故具有这种性质的点P共有10个．
故选D．
思考练习
拓展学生思维
课堂小结
这节课我们学习了：
等腰三角形的性质定理：
1.等腰三角形的两个底角相等
2.等边三角形的各个内角都等于60°
回忆总结
带领学生回忆本课所学