高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）一课一练

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.4 函数的应用（一）一课一练

一、选择题1．下列函数是偶函数的是(　　)A．y＝2x2－3　　　 B．y＝x3C．y＝x2，x∈[0,1] D．y＝x解析：对于A，f(－x)＝2(－x)2－3＝2x2－3＝f(x)，∴f(x)是偶函数，B，D都为奇函数，C中定义域不关于原点对称，函数不具备奇偶性，故选A.答案：A2．函数f(x)＝eq \f(1,x)－x的图象(　　)A．关于y轴对称 B．关于直线y＝x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y＝－x对称解析：∵f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－eq \f(1,x)－(－x)＝x－eq \f(1,x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，图象关于原点对称．答案：C3．如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)A．－2 B．2C．1 D．0解析：由图知f(1)＝eq \f(1,2)，f(2)＝eq \f(3,2)，又f(x)为奇函数，所以f(－2)＋f(－1)＝－f(2)－f(1)＝－eq \f(3,2)－eq \f(1,2)＝－2.故选A.答案：A4．已知f(x)＝ax3＋bx＋1(ab≠0)，若f(2 019)＝k，则f(－2 019)＝(　　)A．k B．－kC．1－k D．2－k解析：∵f(2 019)＝a·2 0193＋b·2 019＋1＝k，∴a·2 0193＋b·2 019＝k－1，则f(－2 019)＝a(－2 019)3＋b·(－2 019)＋1＝－[a·2 0193＋b·2 019]＋1＝2－k.答案：D二、填空题5．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3).又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝eq \f(1,3).答案：eq \f(1,3)6．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则a的值为________．解析：因为f(x)是奇函数，所以f(－3)＝－f(3)＝－6，所以(－3)2＋a(－3)＝－6，解得a＝5.答案：57．定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，则满足f(x)>0的x的集合为____________．解析：由奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上递增，且feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0，∴x>eq \f(1,2)或－eq \f(1,2)\f(1,2)))三、解答题8．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)；(2)f(x)＝x2－x3；(3)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(4)f(x)＝x2＋eq \f(a,x)(x≠0，a∈R)．解析：(1)∵函数f(x)＝eq \f(x3－x2,x－1)的定义域为{x|x∈R且x≠1}，定义域不关于原点对称，∴该函数既不是奇函数也不是偶函数．(2)f(x)的定义域为R，是关于原点对称的．∵f(－x)＝(－x)2－(－x)3＝x2＋x3，又－f(x)＝－x2＋x3，∴f(－x)既不等于f(x)，也不等于－f(x)．故f(x)＝x2－x3既不是奇函数也不是偶函数．(3)方法一(定义法)　函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|的定义域为R，关于原点对称．∵f(－x)＝|－x－2|－|－x＋2|＝|x＋2|－|x－2|＝－(|x－2|－|x＋2|)＝－f(x)，∴函数f(x)＝|x－2|－|x＋2|是奇函数．方法二(根据图象进行判断)f(x)＝|x－2|－|x＋2|＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－4，x≥2，,－2x，－20，从而eq \f(2x1－x2,x1x2)<0，即f(x1)0时，f(x)＝x2－2x.(1)求出函数f(x)在R上的解析式；(2)画出函数f(x)的图象．解析：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)＝0；②当x<0时，－x>0，∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x，综上，f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－2x，　　x>0,0， x＝0,－x2－2x， x<0))(2)图象如图：