【最新版】高中数学（新人教B版）习题+同步课件培优课　函数性质的综合应用

培优课　函数性质的综合应用

函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要性质，高考对函数的单调性、最值、奇偶性的考查常常与其它数学知识交汇在一起，判断函数的奇偶性，单调性以及利用奇偶性和单调性去求函数值，参数值，比较大小，解函数不等式，分析抽象函数的性质等是常考查的方面.

类型一　利用函数的奇偶性、单调性比较大小

例1 已知函数f(x)在[－5，5]上是偶函数，且在[0，5]上是单调函数，若f(－4)<f(－2)，则下列不等式一定成立的是(　　)

A.f(－1)<f(3)  B.f(2)<f(3)

C.f(－3)<f(5)  D.f(1)<f(0)

答案　D

解析　由题意可得，函数f(x)在[－5，0]上也是单调函数，再根据f(－4)<f(－2)，

可得函数f(x)在[－5，0]上是单调增函数，结合函数f(x)是偶函数，

故函数f(x)在[0，5]上是单调减函数，

故f(0)>f(1).

类型二　利用函数的奇偶性、单调性解不等式

例2 已知奇函数f(x)是定义在(－1，1)上的减函数，若f(m－1)＋f(3－2m)<0，求实数m的取值范围.

解　原不等式化为f(m－1)<－f(3－2m).

因为f(x)是奇函数，所以f(m－1)<f(2m－3).又f(x)是减函数，

所以m－1>2m－3，所以m<2.

又f(x)的定义域为(－1，1)，

所以－1<m－1<1且－1<3－2m<1，

所以0<m<2且1<m<2，

所以1<m<2.

综上得1<m<2.

故实数m的取值范围是(1，2).

类型三　利用函数的奇偶性、单调性求最值

例3 已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a<b<0)上的值域为[－3，4]，则在区间[－b，－a]上(　　)

A.有最大值4  B.有最小值－4

C.有最大值－3  D.有最小值－3

答案　B

解析　法一　根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知选B.

法二　当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，

即－3≤－f(x)≤4，

∴－4≤f(x)≤3，

即在区间[－b，－a]上f(x)的最小值为－4，f(x)的最大值为3.

类型四　抽象函数的性质应用

例4 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，当x>1时，f(x)>0，且f(x·y)＝f(x)＋f(y).

(1)求f(1)；

(2)证明：f(x)在定义域上是增函数；

(3)如果f＝－1，求满足不等式f(x)－f(x－2)≥2的x的取值范围.

(1)解　令x＝y＝1，得f(1)＝2f(1)，

故f(1)＝0.

(2)证明　令y＝，

得f(1)＝f(x)＋f＝0，

故f＝－f(x).

任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f＝f.

由于>1，故f>0，

∴f(x2)>f(x1).

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数.

(3)解　由于f＝－1，

而f＝－f(3)，

故f(3)＝1.

在f(x·y)＝f(x)＋f(y)中，令x＝y＝3，

得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2.

故所给不等式可化为f(x)－f(x－2)≥f(9)，

∴f(x)≥f[9(x－2)]，∴x≥9x－18，

∴x≤.

又

∴2<x≤.

∴x的取值范围是.

类型五　奇偶性、单调性、最值的交汇

例5 已知函数f(x)＝，f(x)为R上的奇函数且f(1)＝.

(1)求a，b；

(2)判断f(x)在[1，＋∞)上单调性并证明；

(3)当x∈[－4，－1]时，求f(x)的最大值和最小值.

解　(1)f(x)为R上奇函数，

∴f(0)＝0，得b＝0，

又f(1)＝＝，∴a＝1，

∴f(x)＝.

(2)f(x)在[1，＋∞)上为减函数，证明如下：

设x2>x1≥1，

∴f(x2)－f(x1)＝－＝

＝＝.

∵x2>x1≥1，∴x1x2－1>0，x1－x2<0，

∴f(x2)－f(x1)<0，即f(x2)<f(x1)，

∴f(x)在[1，＋∞)上为减函数.

(3)∵f(x)为奇函数且f(x)在[1，＋∞)上是减函数，

∴f(x)在(－∞，－1]上为减函数，

又x∈[－4，－1]，

∴f(x)的最大值为f(－4)＝－，

f(x)的最小值为f(－1)＝－.