还剩9页未读，
继续阅读
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质公开课第2课时教案
展开
这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.4 三角函数的图象与性质公开课第2课时教案，共12页。
第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1正弦、余弦函数的最值
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R，__值域___都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，
取得最小值－1.
思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．
(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．
知识点2正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦函数y＝sinx的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cosx的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
思考2：(1)正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：(1)观察图象可知：
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.
基础自测
1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( C )
A．[0，π] B．[，]
C．[－，] D．[π，2π]
2．下列函数中在上是增函数的是( D )
A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
【解析】y＝sinx在上是减函数，不满足条件．y＝cosx在上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在上不单调，不满足条件．y＝cos2x的周期是π，在上是增函数，满足条件．
3．函数y＝3sin的一个单调递减区间为( B )
A． B．
C． D．
【解析】y＝3sin＝－3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B．
4．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为___________________.
【解析】∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－(k∈Z)．
5．函数y＝sinx(≤x≤)的值域为_______________.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝cos(2x＋)；
(2)y＝3sin－3x)．
【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
【解析】(1)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)y＝3sin(－3x)＝－3sin(3x－)．
令z＝3x－，则y＝－3sinz，由y＝－3sinz的单调递减区间，即为y＝sinz的单调递增区间．
∴－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.即－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以原函数的单调减区间为[－＋，＋]，k∈Z.
【归纳提升】
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
【变式训练1】求下列函数的单调区间：
(1)函数y＝sin(x＋)的单调增区间；
(2)函数y＝3sin(－2x)的单调减区间．
【解析】(1)∵函数y＝sinx在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ时，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴函数y＝sin(x＋)的单调增区间为：[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
(2)令u＝－2x，则u是x的减函数．
∵y＝sinu在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减，
∴－＋2kπ≤－2x≤＋2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴原函数y＝3sin(－2x)的单调减区间为：[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
题型二 三角函数单调性的应用
【例2】比较下列各组值的大小：
(1)sin与sin；(2)sin与cos5.
【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．
【解析】(1)sin＝sin(4π＋)＝sin，
sin＝sin(8π＋)＝sin.
∵y＝sinx在[0，]上单调递增，
又0<<<，
∴sin
∵y＝cosx在[0，]上递减，
又∵0<2π－5<－<，
∴cos(2π－5)>cos(－)，
∴cos5>sin.
【归纳提升】
比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．
【变式训练2】比较下列各组数的大小：
(1)sin194°与cos160°；
(2)sin与sin.
【解析】(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°
(2)∵cos＝sin，∴0
忽略函数的定义域而致错
【例3】已知定义在[0，π]上的函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，求f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
【错解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间是[－＋2kπ，－＋2kπ]，k∈Z.
【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．
【正解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，
∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是[，π]．
【方法点拨】
解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．
学科素养
与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
② y＝2sinx－1；
②y＝－sin2x＋sinx＋.
(2)求下列函数的值域：
①y＝2sin(2x－)，x∈[，]；
②y＝.
【分析】(1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．
(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．
【解析】(1)①由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.
②y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋，因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
(2)①∵x∈[，]，∴2x∈[，]，
∴2x－∈[，]，
由y＝sint的图象(如图所示)可得sin(2x－)∈[－，1]，
则2sin(2x－)∈[－1,2]，
即y＝2sin(2x－)，x∈[，]的值域为[－1,2]．
②方法一：y＝＝＝1－.
当sinx＝1时，ymax＝－，
由题易得该函数的值域为(－∞，－]．
方法二：由y＝，得(sinx＋1)y＝sinx－2，
即(1－y)sinx＝y＋2，显然y≠1，∴sinx＝.
∵－1
A组 素养自测
一、选择题
1．y＝2sinx2的值域是( A )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
【解析】∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
2．函数y＝4sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( D )
A．0 B．－3
C．－2－ D．4－2
【解析】∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin(x－)∈[－，1]，
所以函数的值域为[－2，4]，
故最大值与最小值之和为4－2，故选D．
3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是( C )
A． B．
C． D．
【解析】画出y＝|sinx|的图象即可求解．
故选C．
4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是( D )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
【解析】本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D．
5．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( C )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cossin
【解析】sin＝cos(－)，－cos＝cos(π－)．
∵π>>－>π－>0，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，
∴cos
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
【解析】函数y＝－cos的单调递增区间即为函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤－≤π＋2kπ，k∈Z，得π＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.故选D．
二、填空题
7．函数y＝sinx，x∈[－，]的值域为__[－，1]__.
【解析】y＝sinx在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，当x＝－时，y＝sinx有最小值－，当x＝时，y＝sinx有最大值1，所以值域为[－，1]．
8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2 015)＝7，则f(－2 015)＝__－5__.
【解析】由f(2 015)＝2 015a＋bsin2 015＋1＝7，得2 015a＋bsin2 015＝6，∴f(－2 015)＝－2 015a－bsin2 015＋1＝－(2 015a＋bsin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.
9．函数y＝的最大值为__3__.
【解析】由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin.
【解析】(1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为
y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)．
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sinx＋；
(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－，]．
【解析】(1)y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.
(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋)2＋.因为－≤x≤，所以－≤sinx≤，所以当sinx＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sinx＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
B组 素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( A )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
【解析】C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【解析】因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
3．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(φx＋φ)，则下列命题正确的是( BD )
A．∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)
B．∃φ∈R，f(x＋1)＝f(x)
C．∀φ∈R，f(x)都不是偶函数
D．∃φ∈R，f(x)是奇函数
【解析】A错误，若命题f(x＋2π)＝sin[φ·(x＋2π)＋φ]＝sin(φx＋φ)成立，则φ必须为整数，所以A是假命题；B正确，当φ＝2π时，函数f(x)＝sin(φx＋φ)满足f(x＋1)＝sin(2πx＋2π＋φ)＝sin(2πx＋φ)＝f(x)，所以B是真命题；C错误，当φ＝时，f(x)＝cosx满足f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C是假命题；D正确，当φ＝2π时，f(x)＝·sin2πx满足f(－x)＝sin(－2πx)＝－·sin2πx＝－f(x)，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D是真命题，故选BD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(2x－)，下列结论正确的是( CD )
A．函数f(x)是周期为π的偶函数
B．函数f(x)在区间[，]上是增函数
C．若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为(－，1]
D．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin(2x－)的图象重合
【解析】A错，函数f(x)是周期为π的函数，但不是偶函数；B错，x∈[，]时，2x－∈[0，]⊆[0，π]，所以函数f(x)在区间[，]上是减函数；C正确，若函数f(x)的定义域为(0，)，则2x－∈(－，)，其值域为(－，1]；D正确，g(x)＝－sin(2x－)＝－sin(－＋2x－)＝sin[－(2x－)]＝cos(2x－)，故D正确，故选CD．
二、填空题
5．y＝的定义域为__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋]，k∈Z__.
【解析】∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z.
6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－，]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为__[－3,3]__.
【解析】由x∈[－，]得sinx∈[－，]．
当k≥0时，－k＋3≤2ksinx＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．
7．(2019·湖北高三调研)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[，]__.
【解析】由函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，
得≥，即≥，解得ω≤.当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，又函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤ωπ<π，≤ω<.综上，≤ω≤.
三、解答题
8．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
【解析】y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
9．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
【解析】∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴a>0时，解得
a<0时，解得
综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
第五章 三角函数
5.4 三角函数图象与性质
5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)
必备知识·探新知
基础知识
知识点1正弦、余弦函数的最值
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的__定义域_都是实数集R，__值域___都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sinx，x∈R有：当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cosx，x∈R有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，
取得最小值－1.
思考1：(1)正、余弦函数的定义域、值域各是什么？
(2)从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？
提示：(1)正弦、余弦函数的定义域为R，值域为[－1,1]．
(2)正弦、余弦函数的最大值、最小值均处于图形拐弯的地方．
知识点2正弦、余弦函数的单调性
(1)正弦函数y＝sinx的增区间为[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)；减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)余弦函数y＝cosx的增区间为[2kπ－π，2kπ](k∈Z)；减区间为[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
思考2：(1)正弦函数在[－，]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
(2)余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
提示：(1)观察图象可知：
当x∈[－，]时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由－1增大到1；
当x∈[，]时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)时，正弦函数y＝sinx是减函数，函数值由1减小到－1.
(2)观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，是增函数，cosx的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，是减函数，cosx的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是增函数，函数值由－1增大到1；当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cosx是减函数，函数值由1减小到－1.
基础自测
1．在下列区间中，使函数y＝sinx为增函数的是( C )
A．[0，π] B．[，]
C．[－，] D．[π，2π]
2．下列函数中在上是增函数的是( D )
A．y＝sinx B．y＝cosx
C．y＝sin2x D．y＝cos2x
【解析】y＝sinx在上是减函数，不满足条件．y＝cosx在上是减函数，不满足条件．y＝sin2x的周期是π，在上不单调，不满足条件．y＝cos2x的周期是π，在上是增函数，满足条件．
3．函数y＝3sin的一个单调递减区间为( B )
A． B．
C． D．
【解析】y＝3sin＝－3sin，检验各选项可知，只有B项所给区间是单调递减区间，故选B．
4．函数y＝2－sinx取得最大值时x的值为___________________.
【解析】∵y＝2－sinx，∴当sinx＝－1时，ymax＝3，此时x＝2kπ－(k∈Z)．
5．函数y＝sinx(≤x≤)的值域为_______________.
关键能力·攻重难
题型探究
题型一三角函数的单调区间
【例1】 求下列函数的单调递减区间：
(1)y＝cos(2x＋)；
(2)y＝3sin－3x)．
【分析】(1)可采用整体换元法并结合正弦函数、余弦函数的单调区间求解；(2)可先将自变量x的系数转化为正数再求单调区间．
【解析】(1)令z＝2x＋，而函数y＝cosz的单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．
∴当原函数单调递减时，可得2kπ≤2x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)y＝3sin(－3x)＝－3sin(3x－)．
令z＝3x－，则y＝－3sinz，由y＝－3sinz的单调递减区间，即为y＝sinz的单调递增区间．
∴－＋2kπ≤z≤＋2kπ，k∈Z.即－＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z.
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
所以原函数的单调减区间为[－＋，＋]，k∈Z.
【归纳提升】
与正弦、余弦函数有关的单调区间的求解技巧：
(1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
【变式训练1】求下列函数的单调区间：
(1)函数y＝sin(x＋)的单调增区间；
(2)函数y＝3sin(－2x)的单调减区间．
【解析】(1)∵函数y＝sinx在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函数，
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ时，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
∴函数y＝sin(x＋)的单调增区间为：[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)．
(2)令u＝－2x，则u是x的减函数．
∵y＝sinu在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递减，
∴－＋2kπ≤－2x≤＋2kπ，即－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．
∴原函数y＝3sin(－2x)的单调减区间为：[－＋kπ，＋kπ](k∈Z)．
题型二 三角函数单调性的应用
【例2】比较下列各组值的大小：
(1)sin与sin；(2)sin与cos5.
【分析】比较三角函数值大小的一般思路是先判断三角函数值的正负，若同号，再利用诱导公式转化到同一单调区间内的同名函数值进行比较．
【解析】(1)sin＝sin(4π＋)＝sin，
sin＝sin(8π＋)＝sin.
∵y＝sinx在[0，]上单调递增，
又0<<<，
∴sin
∵y＝cosx在[0，]上递减，
又∵0<2π－5<－<，
∴cos(2π－5)>cos(－)，
∴cos5>sin.
【归纳提升】
比较三角函数值大小的步骤：(1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上．(3)利用函数的单调性比较大小．
【变式训练2】比较下列各组数的大小：
(1)sin194°与cos160°；
(2)sin与sin.
【解析】(1)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°<14°<70°<90°，∴sin14°
(2)∵cos＝sin，∴0
忽略函数的定义域而致错
【例3】已知定义在[0，π]上的函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，求f(x)在[0，π]上的单调递增区间．
【错解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.∴f(x)的单调递增区间是[－＋2kπ，－＋2kπ]，k∈Z.
【错因分析】造成错解的原因是忽略了函数定义域的限制，从而扩大了单调区间．
【正解】∵函数f(x)＝cos(x＋θ)(0<θ<π)在x＝时取得最小值，
∴cos(＋θ)＝－1，∴＋θ＝π＋2kπ，k∈Z.
又∵0<θ<π，∴θ＝，故f(x)＝cos(x＋)．
令－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，k∈Z，得－＋2kπ≤x≤－＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间是[，π]．
【方法点拨】
解决与三角函数有关的函数问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义域内思考问题．
学科素养
与三角函数有关的函数的值域(或最值)的求解问题
1．求形如y＝asinx＋b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(－1≤sinx≤1)求解．
2．对于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A，ω≠0)的函数，当定义域为R时，值域为[－|A|＋k，|A|＋k]；当定义域为某个给定的区间时，需确定ωx＋φ的范围，结合函数的单调性确定值域．
3．求形如y＝asin2x＋bsinx＋c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t＝sinx，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦函数的有界性．
4．求形如y＝，ac≠0的函数的值域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函数的有界性建立关于y的不等式反解出y.
【例4】(1)求使下列函数取得最大值和最小值时的x值，并求出函数的最大值和最小值：
② y＝2sinx－1；
②y＝－sin2x＋sinx＋.
(2)求下列函数的值域：
①y＝2sin(2x－)，x∈[，]；
②y＝.
【分析】(1)①先确定sinx的最值再求y的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确定新元的范围，求y的最值．
(2)①利用y＝sinx的图象求解；②利用分离常数法或|sinx|≤1求解．
【解析】(1)①由－1≤sinx≤1知，当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最大值，ymax＝1；
当x＝2kπ＋，k∈Z时，函数y＝2sinx－1取得最小值，ymin＝－3.
②y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋，因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝；
当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－－.
(2)①∵x∈[，]，∴2x∈[，]，
∴2x－∈[，]，
由y＝sint的图象(如图所示)可得sin(2x－)∈[－，1]，
则2sin(2x－)∈[－1,2]，
即y＝2sin(2x－)，x∈[，]的值域为[－1,2]．
②方法一：y＝＝＝1－.
当sinx＝1时，ymax＝－，
由题易得该函数的值域为(－∞，－]．
方法二：由y＝，得(sinx＋1)y＝sinx－2，
即(1－y)sinx＝y＋2，显然y≠1，∴sinx＝.
∵－1
A组 素养自测
一、选择题
1．y＝2sinx2的值域是( A )
A．[－2,2] B．[0,2]
C．[－2,0] D．R
【解析】∵x2≥0，∴sinx2∈[－1,1]，
∴y＝2sinx2∈[－2,2]．
2．函数y＝4sin(x－)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( D )
A．0 B．－3
C．－2－ D．4－2
【解析】∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，
∴sin(x－)∈[－，1]，
所以函数的值域为[－2，4]，
故最大值与最小值之和为4－2，故选D．
3．函数y＝|sinx|的一个单调递增区间是( C )
A． B．
C． D．
【解析】画出y＝|sinx|的图象即可求解．
故选C．
4．已知函数f(x)＝－cosx，下列结论错误的是( D )
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
【解析】本题考查余弦函数的性质．∵f(x)＝－cosx的图象即为函数f(x)＝cosx的图象绕x轴翻折而成的，∴A，B，C均正确，函数f(x)应是偶函数，故选D．
5．三个数cos，sin，－cos的大小关系是( C )
A．cos>sin>－cos
B．cos>－cos>sin
C．cos
【解析】sin＝cos(－)，－cos＝cos(π－)．
∵π>>－>π－>0，而y＝cosx在[0，π]上单调递减，
∴cos
A．(k∈Z)
B．(k∈Z)
C．(k∈Z)
D．(k∈Z)
【解析】函数y＝－cos的单调递增区间即为函数y＝cos的单调递减区间．由2kπ≤－≤π＋2kπ，k∈Z，得π＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z.故选D．
二、填空题
7．函数y＝sinx，x∈[－，]的值域为__[－，1]__.
【解析】y＝sinx在[－，]上为增函数，在[，]上为减函数，当x＝－时，y＝sinx有最小值－，当x＝时，y＝sinx有最大值1，所以值域为[－，1]．
8．已知函数f(x)＝ax＋bsinx＋1，若f(2 015)＝7，则f(－2 015)＝__－5__.
【解析】由f(2 015)＝2 015a＋bsin2 015＋1＝7，得2 015a＋bsin2 015＝6，∴f(－2 015)＝－2 015a－bsin2 015＋1＝－(2 015a＋bsin2 015)＋1＝－6＋1＝－5.
9．函数y＝的最大值为__3__.
【解析】由y＝，得y(2－cosx)＝2＋cosx，即cosx＝(y≠－1)，因为－1≤cosx≤1，所以－1≤≤1，解得≤y≤3，所以函数y＝的最大值为3.
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)y＝cos2x；
(2)y＝2sin.
【解析】(1)函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)①
2kπ≤2x≤2kπ＋π(k∈Z)②
解①得，kπ－≤x≤kπ(k∈Z)，
解②得，kπ≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝cos2x的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
(2)y＝2sin化为
y＝－2sin.
∵y＝sinu(u∈R)的单调增、单调减区间分别为
(k∈Z)，
(k∈Z)．
∴函数y＝－2sin的单调增、单调减区间分别由下面的不等式确定
2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)①
2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)②
解①得，2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
解②得，2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)．
故函数y＝2sin的单调增区间、单调减区间分别为(k∈Z)、(k∈Z)．
11．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝－sin2x＋sinx＋；
(2)y＝cos2x－sinx，x∈[－，]．
【解析】(1)y＝－sin2x＋sinx＋＝－(sinx－)2＋2.因为－1≤sinx≤1，所以当sinx＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sinx＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.
(2)y＝cos2x－sinx＝1－sin2x－sinx＝－(sinx＋)2＋.因为－≤x≤，所以－≤sinx≤，所以当sinx＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；当sinx＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
B组 素养提升
一、选择题
1．下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是( A )
A．y＝sin(2x＋) B．y＝cos(2x＋)
C．y＝sin(x＋) D．y＝cos(x＋)
【解析】C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos(2x＋)＝－sin2x，该函数在[，]上为增函数，不合题意；A项中y＝sin(2x＋)＝cos2x，该函数符合题意，选A．
2．已知函数f(x)＝则下列结论正确的是( D )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是增函数
C．f(x)是周期函数 D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
【解析】因为f(π)＝π2＋1，f(－π)＝－1，所以f(－π)≠f(π)，所以函数f(x)不是偶函数，排除A；函数f(x)在(－2π，－π)上单调递减，排除B；函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)不是周期函数，排除C；因为x>0时，f(x)>1，x≤0时，－1≤f(x)≤1，所以函数f(x)的值域为[－1，＋∞)，D正确．
3．(多选题)关于x的函数f(x)＝sin(φx＋φ)，则下列命题正确的是( BD )
A．∀φ∈R，f(x＋2π)＝f(x)
B．∃φ∈R，f(x＋1)＝f(x)
C．∀φ∈R，f(x)都不是偶函数
D．∃φ∈R，f(x)是奇函数
【解析】A错误，若命题f(x＋2π)＝sin[φ·(x＋2π)＋φ]＝sin(φx＋φ)成立，则φ必须为整数，所以A是假命题；B正确，当φ＝2π时，函数f(x)＝sin(φx＋φ)满足f(x＋1)＝sin(2πx＋2π＋φ)＝sin(2πx＋φ)＝f(x)，所以B是真命题；C错误，当φ＝时，f(x)＝cosx满足f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x)，所以存在实数φ使得函数为偶函数，所以C是假命题；D正确，当φ＝2π时，f(x)＝·sin2πx满足f(－x)＝sin(－2πx)＝－·sin2πx＝－f(x)，所以存在实数φ使得函数为奇函数，所以D是真命题，故选BD．
4．(多选题)已知函数f(x)＝cos(2x－)，下列结论正确的是( CD )
A．函数f(x)是周期为π的偶函数
B．函数f(x)在区间[，]上是增函数
C．若函数f(x)的定义域为(0，)，则值域为(－，1]
D．函数f(x)的图象与g(x)＝－sin(2x－)的图象重合
【解析】A错，函数f(x)是周期为π的函数，但不是偶函数；B错，x∈[，]时，2x－∈[0，]⊆[0，π]，所以函数f(x)在区间[，]上是减函数；C正确，若函数f(x)的定义域为(0，)，则2x－∈(－，)，其值域为(－，1]；D正确，g(x)＝－sin(2x－)＝－sin(－＋2x－)＝sin[－(2x－)]＝cos(2x－)，故D正确，故选CD．
二、填空题
5．y＝的定义域为__[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)__，单调递增区间为__[2kπ，2kπ＋]，k∈Z__.
【解析】∵sinx≥0，∴2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z；当x∈[0，π]时，y＝在[0，]上单调递增．
∴其递增区间为：[2kπ，2kπ＋]，k∈Z.
6．(2019·江苏镇江高一期末)已知函数f(x)＝2ksinx＋3，若对任意x∈[－，]都有f(x)≥0恒成立，则实数k的取值范围为__[－3,3]__.
【解析】由x∈[－，]得sinx∈[－，]．
当k≥0时，－k＋3≤2ksinx＋3≤k＋3，由f(x)≥0得－k＋3≥0，解得0≤k≤3；当k<0时，k＋3≤2ksinx＋3≤－k＋3，由f(x)≥0得k＋3≥0，解得－3≤k<0.综上所述，k的取值范围是[－3,3]．
7．(2019·湖北高三调研)已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，其在区间[0，π]上恰好取得一次最大值2，则ω的取值范围是__[，]__.
【解析】由函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间[－，]上是增函数，
得≥，即≥，解得ω≤.当x∈[0，π]时，ωx∈[0，ωπ]，又函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，所以≤ωπ<π，≤ω<.综上，≤ω≤.
三、解答题
8．已知函数y＝sin(－2x)．
(1)求函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
【解析】y＝sin(－2x)可化为y＝－sin(2x－)．
(1)周期T＝＝＝π.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
所以x∈R时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z.
从而x∈[－π，0]时，y＝sin(－2x)的单调递减区间为[－π，－]，[－，0]．
9．已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b的定义域为[0，]，值域是[－5,1]，求a、b的值．
【解析】∵0≤x≤，∴≤2x＋≤.
∴－≤sin(2x＋)≤1.
∴a>0时，解得
a<0时，解得
综上，a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
相关教案
人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教学设计： 这是一份人教A版 (2019)必修 第一册<a href="/sx/tb_c4000283_t8/?tag_id=27" target="_blank">第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教学设计</a>，共4页。
高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教案设计： 这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质教案设计，共5页。教案主要包含了教学内容分析，教学目标，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）（课时教学设计）： 这是一份【小单元教案】高中数学人教A版(2019)必修第一册--5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）（课时教学设计），共10页。教案主要包含了教学内容，教学目标，教学重点及难点，教学过程设计，课堂小结，目标检测设计等内容，欢迎下载使用。
