高中数学5.4 三角函数的图象与性质精品第1课时教案设计

第五章  三角函数

5.4  三角函数图象与性质

【素养目标】
1．理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数y＝sinx、余弦函数y＝cosx的周期．(数学抽象、数学运算)
2．掌握正弦函数y＝sinx，余弦函数y＝cosx的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性．(数学运算)
3．掌握y＝sinx，y＝cosx的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值．(数学运算)
4．掌握y＝sinx，y＝cosx的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间．(数学运算、逻辑推理)
5．让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发学生学习数学的兴趣．(逻辑推理)
【学法解读】
在本节学习中，学生从观察正弦、余弦函数图象，总结它们有哪些特殊性质，从而可给出周期函数的定义，再利用诱导公式进行验证其性质，提升学生的直观想象、数学运算等核心素养．

5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

必备知识·探新知

基础知识

知识点1函数的周期
(1)_____周期函数______：设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有(x＋T)∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么这个函数的周期为T.
(2)_____最小正周期____：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．
思考1：是不是所有的函数都是周期函数？若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？
提示：并不是每一个函数都是周期函数，若函数具有周期性，则其周期也不一定唯一．
知识点2正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

思考2：(1)正弦曲线对称吗？
(2)余弦曲线对称吗？
提示：(1)正弦函数y＝sinx是奇函数，正弦曲线关于原点对称．
(2)余弦函数y＝cosx是偶函数，余弦曲线关于y轴对称．

基础自测

1．下列函数中，周期为的是( D )

A．y＝sin B．y＝sin2x

C．y＝cosD．y＝cos4x

【解析】A项中，，故T＝4π；B项中，sin(2x＋2π)＝sin[2(x＋π)]＝sin2x，故T＝π；

C项中，，故T＝8π；

D项中，cos(4x＋2π)＝cos[4(x＋)]＝cos4x，故T＝，综上，D项正确．

2．函数y＝sin2x的奇偶性为( A )

A．奇函数 B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数

3．函数y＝－sin2x，x∈R是( A )

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为2π的奇函数 D．最小正周期为2π的偶函数

【解析】函数y＝－sin2x为奇函数，周期T＝＝π.

4．若函数f(x)满足f(x＋3)－f(x)＝0，则函数f(x)是周期为___3__的周期函数．
5．若函数f(x)的最小正周期是4，则必有f(x＋8)＝_____f(x)_____.

关键能力·攻重难

题型探究

题型一三角函数的周期
【例1】求下列函数的周期：

(1)y＝sinx；(2)y＝2sin；(3)y＝|cosx|，x∈R.

【分析】可以根据周期函数的定义求解，也可以用公式T＝直接求解．

【解析】(1)解法1：令u＝x，则y＝sinu是周期函数，且周期为2π.

∴sin＝sinx，

即sin＝sinx.

∴y＝sinx的周期是4π.

解法2：(公式法)∵ω＝，∴T＝＝4π.

(2)解法1：∵2sin＝2sin，

∴2sin＝2sin，

∴y＝2sin的周期是6π.

解法2：∵ω＝，∴T＝＝6π.

(3)y＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，

由图象可知，y＝|cosx|的周期为π.

【归纳提升】求三角函数周期的方法

(1)定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定义域内的任意实数x都满足f(x＋T)＝f(x)的非零常数T.该方法主要适用于抽象函数．

(2)公式法：对形如y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，可利用T＝来求．

(3)图象法：可画出函数的图象，借助于图象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函数一般可采用此法．

【变式训练1】求下列函数的最小正周期：

(1)y＝sin；

(2)y＝；

(3)y＝.

【解析】(1)∵ω＝3，T＝.

(2)∵函数y＝cos的最小正周期为π，而函数y＝的图象是将函数y＝cos的图象在x轴下方的部分对折到x轴上方，并且保留在x轴上方图象而得到的，由此可知所求函数的最小正周期为T＝.

(3)∵ω＝，∴T＝.

题型二  三角函数奇偶性的判断

【例2】判断下列函数的奇偶性：

(1)f(x)＝|sinx|＋cosx；

(2)f(x)＝sin；

(3)f(x)＝.

【分析】先求函数的定义域，判断函数定义域是否关于原点对称，再判断f(－x)与f(x)的关系，最终确定奇偶性．
【解析】(1)函数的定义域为R.

∵f(－x)＝|sin(－x)|＋cos(－x)＝|sinx|＋cosx＝f(x)，

∴函数f(x)是偶函数．

(2)f(x)＝sin＝－cos，x∈R.

∵f(－x)＝－cos＝－cos＝f(x)，

∴函数f(x)＝sin是偶函数．

(3)函数应满足1＋sinx≠0，

则函数f(x)＝的定义域为

{x∈R|x≠2kπ＋，k∈Z}．

显然定义域不关于原点对称，

故函数f(x)＝为非奇非偶函数．

【归纳提升】1.判断函数奇偶性的常用方法：

(1)定义法，即从f(－x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再看f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否成立．

(2)图象法，即作出函数的图象，由图象的对称性确定其奇偶性．

(3)验证法，即验证f(－x)＋f(x)＝0或f(－x)－f(x)＝0(或＝±1)是否成立．此法通常用于函数是非奇非偶的情形．

2．判断函数奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称．如果是，再验证f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，进而再判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数是非奇非偶数．

【变式训练2】判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xcos(π＋x)；
(2)f(x)＝sin(cosx)．
【解析】(1)函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝x·cos(π＋x)＝－x·cosx，
∴f(－x)＝－(－x)·cos(－x)＝x·cosx＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)函数f(x)的定义域为R.
∵f(－x)＝sin[cos(－x)]＝sin(cosx)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．

题型三  三角函数奇偶性与周期性的综合运用

【例3】定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，求f()的值．

【分析】利用周期性与奇偶性将化到[0，]内再求值．

【解析】∵f(x)的最小正周期为π，

∴．

又f(x)是偶函数．

∴f(－)＝f()＝sin＝.

【归纳提升】

1.解答此类题目的关键是利用化归的思想，借助于周期函数的定义把待求问题转化到已知区间上，代入求解即可．
2．如果一个函数是周期函数，若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数在一个周期上的特征，加以推广便可以得到该函数在其他区域内的有关性质．
【变式训练3】若f(x)是以为周期的奇函数，且f()＝1，求f(－)的值．

【解析】∵f(x)为以为周期的奇函数，

∴f(－)＝－f()＝－f(＋)＝－f()＝－1.

素养作业·提技能

A组  素养自测

一、选择题

1．下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　D　)

2．函数y＝sin2x是(　A　)

A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数

C．周期为的偶函数 D．周期为的奇函数

3．对于函数y＝cos(－2x)，下列命题正确的是(　D　)

A．函数是周期为2π的偶函数

B．函数是周期为2π的奇函数

C．函数是周期为π的偶函数

D．函数是周期为π的奇函数

【解析】因为函数y＝cos(－2x)＝sin2x，T＝＝π，且y＝sin2x是奇函数，

所以y＝cos(－2x)是周期为π的奇函数．

4．函数y＝4cos(2x＋π)的图象关于(　C　)

A．x轴对称 B．原点对称

C．y轴对称 D．直线x＝对称

【解析】因为y＝4cos(2x＋π)＝－4cos2x，

所以y＝4cos(2x＋π)为偶函数，其图象关于y轴对称．

5．函数y＝sin(2x＋)的一个对称中心是(　B　)

A．(，0) B．(，0)

C．(－，0) D．(，0)

【解析】y＝sin(2x＋)＝cos2x，对称中心是函数图象与x轴的交点，将四个点代入验证，只有(，0)符合要求，故选B．

6．函数f(x)＝的奇偶性是(　A　)

A．奇函数

B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数

D．既不是奇函数也不是偶函数

【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠2kπ＋π，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A．

二、填空题

7．已知函数f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，则f(－1)＝__－1__.

【解析】因为T＝2，则f(x)＝f(x＋2)．又f(－1)＝f(－1＋2)＝f(1)，且x∈[1,3)时，f(x)＝x－2，所以f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.

8．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是__π(答案不唯一)__.

【解析】因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)．

9．函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为4π，当f(x)取得最小值时，x的取值集合为__{x|x＝4kπ－(k∈Z)}__.

【解析】∵T＝＝4π，

∴ω＝，

∴f(x)＝2sin.

由x－＝2kπ－(k∈Z)，得x＝4kπ－(k∈Z)．

三、解答题

10．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)f(x)＝1，求证：f(x)是周期函数．

【解析】∵f(x＋2)＝，

∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝＝f(x)．

∴函数f(x)是周期函数，4是一个周期．

11．定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx.

(1)求当x∈[－π，0]时，f(x)的解析式；

(2)画出函数f(x)在[－π，π]上的简图；

(3)求当f(x)≥时x的取值范围．

【解析】(1)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

∵当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，

∴当x∈[－，0]时，f(x)＝f(－x)＝sin(－x)＝－sinx.

又∵当x∈[－π，－]时，x＋π∈[0，]，

f(x)的周期为π，

∴f(x)＝f(π＋x)＝sin(π＋x)＝－sinx.

∴当x∈[－π，0]时，f(x)＝－sinx.

(2)如图．

(3)∵在[0，π]内，当f(x)＝时，x＝或，

∴在[0，π]内，f(x)≥时，x∈[，]．

又∵f(x)的周期为π，

∴当f(x)≥时，x∈[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.

B组  素养提升

一、选择题

1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是偶函数”是“φ＝”的(　B　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【解析】若f(x)是偶函数，则φ＝kπ＋(k∈Z)，φ＝不一定成立；而φ＝时，f(x)为偶函数，所以“f(x)是偶函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选B．

2．函数：①y＝x2sinx；②y＝sinx，x∈[0,2π]；③y＝sinx，x∈[－π，π]；④y＝xcosx中，奇函数的个数为(　C　)

A．1 B．2

C．3 D．4

【解析】①③④是奇函数，故选C．

3．(多选题)下列函数中，最小正周期为π的偶函数是(　AC　)

A．y＝sin(2x＋)＋1

B．y＝cos(2x＋)

C．f(x)＝＋

D．y＝cos(2x＋)

【解析】由y＝sin(2x＋)＋1＝cos2x＋1知，y＝sin(2x＋)＋1为偶函数，且周期为π，故A满足条件；

由y＝cos(2x＋)＝－sin2x知，y＝cos(2x＋)为奇函数，故B不满足条件；

对任意x∈R，－1≤sin2x≤1，∴1＋sin2x≥0,1－sin2x≥0.

∴f(x)＝＋的定义域是R，关于原点对称．

∵f(－x)＝

＝＋＝f(x)，∴f(x)是偶函数，且周期为π，故C满足条件；

y＝cos(2x＋)是非奇非偶函数，故D不满足条件，故选AC．

4．(多选题)下列关于函数f(x)＝sin(x＋φ)的说法错误的是(　AD　)

A．对任意的φ，f(x)都是非奇非偶函数

B．存在φ，使f(x)是偶函数

C．存在φ，使f(x)是奇函数

D．对任意的φ，f(x)都不是偶函数

【解析】φ＝0时，f(x)＝sinx是奇函数；φ＝时，f(x)＝cosx是偶函数，所以B、C中的说法正确，A、D中的说法错误，故选AD．

二、填空题

5．已知函数f(x)＝sin(ωx＋)(0<ω<2)，若f()＝1，则函数y＝f(x)的最小正周期为__4π__.

【解析】因为f()＝sin(ω·＋)＝1，所以ω·＋＝2kπ＋(k∈Z)，由此可得ω＝3k＋(k∈Z)．又因为0<ω<2，所以令k＝0，得ω＝，所以函数y＝f(x)的最小正周期T＝4π.

6．若函数f(x)是以为周期的偶函数，且f()＝1，则f(－)＝__1__.

【解析】∵f(x)的周期为，且f(x)为偶函数，

∴f(－)＝f(－3π＋)＝f(－6×＋)＝f()＝f(－)＝f(－)＝f()＝1.

7．关于函数f(x)＝4sin(2x＋)(x∈R)有下列命题：

①y＝f(x)的表达式可改写为y＝4cos(2x－)；②y＝f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；③函数y＝f(x－)是奇函数；④y＝f(x＋)的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是__①③④__.

【解析】①正确，f(x)＝4sin(2x＋)＝4cos[－(2x＋)]＝4cos(2x－)；②错误，由题意知T＝＝π；③正确，f(x－)＝4sin[2(x－)＋]＝4sin2x，是奇函数；④正确，f(x＋)＝4sin[2×(x＋)＋]＝4cos2x，是偶函数，其图象关于y轴对称．综上知，①③④正确．

三、解答题

8．已知函数y＝sinx＋|sinx|.

(1)画出函数的简图；

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

【解析】(1)y＝sinx＋|sinx|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.

9．已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，求当x∈[π，3π]时f(x)的解析式．

【解析】x∈[π，3π]时，

3π－x∈[0，]，

因为x∈[0，]时，f(x)＝1－sinx，

所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sinx.

又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sinx，x∈[π，3π]．