高中人教A版 (2019)第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质课文ppt课件

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第三章 函数的概念与性质
3.2.2　奇偶性
第一课时　函数的奇偶性
课标要求
1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图象特征解决一些简单问题.
素养要求
通过本节内容的学习，让学生结合实例，利用图象抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.
问题导学预习教材必备知识探究
内容索引
互动合作研析题型关键能力提升
拓展延伸分层精练核心素养达成
WEN TI DAO XUE YU XI JIAO CAI BI BEI ZHI SHI TAN JIU
问题导学预习教材 必备知识探究
1
一、奇函数、偶函数的定义及图象特征1.问题　(1)观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？
提示　两个函数的图象关于y轴对称.
(2)如何利用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”呢？不妨取自变量的一些特殊值，观察下表相应函数值的情况.
提示　当自变量任取一对相反数时，相应的两个函数值相等.即任意x∈R，f(－x)＝f(x).
(1)你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？与问题1中两函数图象特征相同吗？提示　两函数的图象都关于原点O(0，0)成中心对称，与问题1中图象特征不同.(2)你能用符号语言精确描述“函数图象关于原点对称”吗？并完成探究结果.提示　当自变量任取一对相反数时，相应的函数值相反.即任意x∈R，f(－x)＝－f(x).
3.填空　(1)偶函数的定义及图象特征 ①偶函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且______________，那么函数f(x)是偶函数. ②偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数. (2)奇函数的定义及图象特征 ①奇函数的定义：设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且________________，那么函数f(x)是奇函数. ②奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函数一定是奇函数.
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
C
4.做一做　(1)下列函数中是奇函数的是(　　)A.f(x)＝x＋1 B.f(x)＝|x3|C.f(x)＝－2x D.f(x)＝x2＋x(2)函数f(x)＝x2＋|x|的图象关于________对称.解析　(1)只有选项C中，x∈R，关于原点对称，且满足f(－x)＝－f(x).(2)∵f(－x)＝(－x)2＋|－x|＝x2＋|x|＝f(x)，且x∈R，定义域关于原点对称，∴y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称.
y轴
二、函数的奇偶性
提示　定义域是{－2，2}，f(x)是奇函数也是偶函数.
2.填空　如果函数f(x)是________或________，那么就说函数f(x)具有奇偶性. 温馨提醒　(1)奇函数与偶函数的定义域都关于原点对称；若一个函数的定义域不关于原点对称，则这个函数是非奇非偶函数. (2)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
奇函数
偶函数
3.思考辨析　正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”. (1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.( ) 提示　反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数. (2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.( )提示　函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.(3)若f(x)是偶函数，则必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)( )
×
×
√
HU DONG HE ZUO YAN XI TI XING GUAN JIAN MENG LI TI SHENG
互动合作研析题型 关键能力提升
2
例1 判断下列函数的奇偶性：
题型一　函数奇偶性的判定
角度1　一般函数奇偶性的判断
解　(1)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数.(2)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f(x)＝0，又f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x)既是奇函数又是偶函数.(3)函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数.
角度2　分段函数奇偶性的判定
解　∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝1－(－x)＝1＋x＝f(x)；当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝1＋(－x)＝1－x＝f(x).综上可知，对于x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝f(x)，f(x)为偶函数.
判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数的定义域关于原点对称，则应进一步判断f(－x)是否等于±f(x)，或判断f(－x)±f(x)是否等于0，从而确定奇偶性. (2)图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
训练1 判断下列函数的奇偶性.
∴函数f(x)的定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故函数f(x)是非奇非偶函数.
当x>0时， －x<0，则f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x＝f(x).当x<0时，－x>0，则f(－x)＝(－x)2＋3(－x)＝x2－3x＝f(x).且f(0)＝0，
例3 已知函数y＝f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象，如图所示.
题型二　奇(偶)函数的图象及应用
解　由题意补全函数图象，如图所示.
(1)请补全函数y＝f(x)的图象；
(2)根据图象写出函数y＝f(x)的增区间；(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.解　(2)由图象可知，函数f(x)的增区间为(－1，0)，(1，＋∞).(3)由图象可知，使f(x)<0的x的取值集合为{x|－21.利用奇偶性作函数的图象的步骤：(1)确定函数的奇偶性；(2)根据奇(偶)函数的图象关于原点(y轴)对称作出函数在(－∞，0]或[0，＋∞)上的图象.2.奇(偶)函数图象的应用(1)应用类型：利用奇、偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.(2)处理策略：利用函数的奇偶性作出相应函数的图象，根据图象直接观察.
训练2 (1)如图①，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并求出f(3)的值；
解　奇函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于原点的对称点为P′(x，－f(－x))，图③为图①补充后的图象，易知f(3)＝－2.
(2)如图②，给出偶函数y＝f(x)的局部图象，试作出y轴右侧的图象并比较f(1)与f(3)的大小.解　偶函数y＝f(x)在y轴左侧图象上任一点P(－x，f(－x))关于y轴的对称点为P′(x，f(－x))，图④为图②补充后的图象，易知f(1)>f(3).
C
题型三　利用奇偶性求函数值
例4 (1)已知函数f(x)＝ax3－bx－3，若f(－1)＝7，则f(1)＝(　　) A.－7 B.7 C.－13 D.13解析　设g(x)＝f(x)＋3＝ax3－bx，则g(－x)＝－g(x)，又g(x)的定义域为R，关于原点对称，∴g(x)为奇函数，由f(－1)＝7，得g(－1)＝10，∴g(1)＝－10，从而f(1)＝g(1)－3＝－13.
(2)已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 022x3－5x＋b＋2，则f(a)＋f(b)的值为________.解析　∵f(x)＝2 022x3－5x＋b＋2定义在[a－4，2a－2]上的奇函数.∴a－4＋(2a－2)＝0，且f(0)＝b＋2＝0.解得a＝2且b＝－2.所以f(a)＋f(b)＝f(2)＋f(－2)＝f(2)－f(2)＝0.
0
1.利用奇偶性求值，若自变量的取值不在已知的范围内，可利用奇偶性将未知的值(区间)转化为已知的值(区间)，必要时需构造奇函数或偶函数便于求值.2.若解析式含参数，则根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点和为0求参数.
训练3 (1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________. (2)已知函数f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.
0
7
解析　(1)因为偶函数的定义域关于原点对称，
(2)令g(x)＝f(x)－2＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)是奇函数，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.∴f(3)＝g(3)＋2＝5＋2＝7.
课堂小结
1.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f(x)±f(－x)＝0.2.(1)若f(x)＝0且f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)f(x)为奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称，f(x)为偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称.3.函数奇偶性的几个结论：(1)若奇函数y＝f(x)在原点有定义，则f(0)＝0.(2)若函数y＝f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|).
TUO ZHAN YAN SHEN FEN CENG JING LIAN HE XING SU YANG DA CHENG
拓展延伸分层精练 核心素养达成
3
1.若f(x)＝3x3＋5x＋a－1为奇函数，则a的值为(　　)A.0 B.－1 C.1 D.2解析　∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝0，得a＝1.
C
2.下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是(　　) A.y＝x3 B.y＝|x|＋1 C.y＝－x2＋1 D.y＝2x＋1 解析　排除法.偶函数只有B，C，而函数y＝|x|＋1在(0，＋∞)上为增函数，函数y＝－x2＋1在(0，＋∞)上为减函数.故选B.
B
3.(多选)下列命题正确的是(　　)A.偶函数的图象一定与y轴相交B.奇函数的图象一定通过原点C.若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则恒有f(0)＝0D.若函数f(x)为偶函数，则有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)
CD
由奇偶性的定义知C，D正确.
A.x轴 B.y轴C.直线y＝x D.不能确定
B
∴其图象的对称轴为y轴.
5.如图，给出奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)＋f(－1)的值为(　　)
A
A.－2 B.2 C.1 D.0
6.设f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.解析　∵f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x2＋1，∴f(－2)＝－f(2)＝－(4＋1)＝－5.又f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5＋0＝－5.
－5
7.已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________.解析　在f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1中，令x＝－1，得f(－1)－g(－1)＝1，又f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，∴f(1)＋g(1)＝1.
1
8.如图，已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0，x∈R}，且f(3)＝0，则不等式f(x)<0的解集为________________.
(－3，0)∪(0，3)
解析　由条件利用偶函数的性质，画出函数f(x)在R上的简图：
数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(－3，0)∪(0，3).
9.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)＝x4－3x2；
解　f(x)＝x4－3x2的定义域是R，关于原点对称.又f(－x)＝(－x)4－3(－x)2＝x4－3x2＝f(x)，∴f(x)＝x4－3x2是偶函数.
∴f(x)的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，
10.已知函数f(x)是正比例函数，函数g(x)是反比例函数，且f(1)＝1，g(1)＝2. (1)求函数f(x)和g(x)；
(2)判断f(x)＋g(x)的奇偶性；
则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
∴f(x)＋g(x)为奇函数.
(3)求函数f(x)＋g(x)在(0，2)上的最小值.
11.已知函数f(x)＝ax3＋bx－2，f(2 022)＝3，则f(－2 022)＝(　　)A.－7 B.－5 C.－3 D.3解析　∵f(2 022)＝a×2 0223＋b×2 022－2＝3，∴a×2 0223＋b×2 022＝5，∴f(－2 022)＝－a×2 0223－b×2 022－2＝－5－2＝－7.
A
12.已知函数y＝f(x)为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程f(x)＝0的所有实根之和是________. 解析　由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点中，有两个在y轴左侧，另两个在y右侧，所以四个实根的和为0.
0
13.已知函数f(x)对一切实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y).(1)求证：f(x)是奇函数；(2)若f(－3)＝a，试用a表示f(12).(1)证明　由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，又x∈R，故f(x)是奇函数.(2)解　由(1)知f(x)为奇函数.所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.
D
当x<0时，－x>0，
又f(x)是定义在R上的奇函数.