初中人教版12.2 三角形全等的判定第4课时精练

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12．2　三角形全等的判定第4课时 必备知识·基础练  (打“√”或“×”)1．斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等．(√) 2．如果两个直角三角形的两条边分别相等，那么这两个直角三角形全等．(×)3．证明两个直角三角形全等的方法只有HL.(×)知识点1　用“HL”证明两个三角形全等1．如图，BE＝CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌Rt△DCF，则还需要添加一个条件是(　D　)A．AE＝DF    B．∠A＝∠DC．∠B＝∠C    D．AB＝DC【解析】条件是AB＝CD，理由是：∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠CFD＝∠AEB＝90°，在Rt△ABE和Rt△DCF中，∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).2．如图，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠1＝40°，则∠2＝(　B　)A.40°    B．50°    C．60°    D．75°【解析】∵∠B＝∠D＝90°，在Rt△ABC和Rt△ADC中，∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，∴∠2＝∠ACB＝90°－∠1＝50°.3．(2021·常德期中)如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，若利用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是__AB＝DC(答案不唯一)__．(不添加字母和辅助线)【解析】∵斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等，∴在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，使Rt△ABC≌Rt△DCB，添加的条件是：AB＝DC.4．(2021·泰安期中)已知：如图AC，BD相交于点O，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°.求证：OC＝OD.【证明】在Rt△ABD与Rt△BAC中， ∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，∴BC＝AD，在△AOD与△BOC中，∴△AOD≌△BOC(AAS)，∴OC＝OD.知识点2　直角三角形全等的判定方法的综合运用5．(2021·广州期中)如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC.判定Rt△ABD和Rt△CDB全等的依据是(　D　)A.AAS　    B．SAS　    C．ASA 　    D．HL【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，在Rt△ABD和Rt△CDB中，∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL).6．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是(　D　)A．一锐角对应相等　    B．两锐角对应相等C．一条边对应相等     D．两条直角边对应相等【解析】两直角三角形隐含一个条件是两直角相等，要判定两直角三角形全等，起码还要两个条件，故可排除A，C；而B构成了AAA，不能判定全等；D构成了SAS，可以判定两个直角三角形全等．7．如图，AC⊥BC，AD⊥DB，要使△ABC≌△BAD，还需添加条件是__AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA__．(只需写出符合条件的一种情况)【解析】∵AC⊥BC，AD⊥DB，∴∠C＝∠D＝90°，∵AB为公共边，要使△ABC≌△BAD，∴添加AC＝BD或BC＝AD或∠DAB＝∠CBA或∠CAB＝∠DBA后可分别根据HL，HL，AAS，AAS判定△ABC≌△BAD.8．(一题多解)如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE＝CD.求证：AB＝AC.【证明】(方法1：用AAS证明)∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ADC＝∠AEB，又∵∠A＝∠A，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC.(方法2：用HL，AAS证明)∵BC＝CB，BE＝CD，∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)，∴∠CBD＝∠BCE，∠BCD＝∠CBE，∴∠ABE＝∠ACD.∵∠A＝∠A，BE＝CD，∴△ABE≌△ACD(AAS)，∴AB＝AC.知识点3　直角三角形全等的判定方法的实际应用9．(2021·重庆期中)为了测量池塘两侧A，B两点间的距离，在地面上找一点C，连接AC，BC，使∠ACB＝90°，然后在BC的延长线上确定点D，使CD＝BC，得到△ABC≌△ADC，通过测量AD的长，得AB的长．那么△ABC≌△ADC的理由是(　A　)A.SAS　    B．AAS　    C．ASA 　    D．HL【解析】在△ACB和△ACD中，∴△ABC≌△ADC(SAS)，∴AB＝AD(全等三角形的对应边相等).10．(2021·郑州期中)如图，有两个长度相等的滑梯BC和EF，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，判断两滑梯倾斜角∠ABC和∠DFE之间的数量关系？请说明理由．【解析】∠ABC与∠DFE互余．理由如下：由题意得∠BAC＝∠EDF＝90°，BC＝EF，AC＝DF，∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)，∴∠ABC＝∠DEF，又∵∠DEF＋∠DFE＝90°，∴∠ABC＋∠DFE＝90°.即两滑梯的倾斜角∠ABC与∠DFE互余． 关键能力·综合练 11．(2021·陕西期中)如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝(　B　)A.28°　    B．59°　    C．60°　    D．62°【解析】∵在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，∴∠ADE ＝90°，又∵AE＝AE，∴△CAE≌△DAE，∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B＋∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°－28°＝62°，∴∠AEC＝90°－∠CAB＝90°－31°＝59°.12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M是AD的中点，且MB＝MC，若AD＝4，AB＝6，BC＝8，则四边形ABCD的周长为(　B　)A．22　　    B．24　　    C．26　　    D．28【解析】过点M作MN⊥BC于点N，可由HL证得Rt△MBN≌Rt△MCN，推出∠MBC＝∠MCB，利用AD∥BC，可知∠AMB＝∠DMC，再利用SAS证得△AMB≌△DMC，因此DC＝AB＝6，从而求出四边形ABCD的周长为24.13．(易错警示题)如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，OA＝OB，则图中有__3__对全等三角形．【解析】∵OP平分∠MON，∴∠AOP＝∠BOP，∵OA＝OB，OP＝OP，∴△OAP≌△OBP(SAS)，∴AP＝BP，∵PE⊥OM，PF⊥ON，∴∠OEP＝∠OFP＝90°，又∵∠AOP＝∠BOP，OP＝OP，∴△OEP≌△OFP(AAS).∴PE＝PF.∴Rt△AEP≌Rt△BFP(HL).所以图中有3对全等三角形．14．(2021·镇江质检)如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≌△CDA.(1)若以“SAS”为依据，需添加条件为__AB＝CD__；(2)若以“HL”为依据，需添加条件为__AD＝CB__．【解析】(1)若以“SAS”为依据，需添加条件：AB＝CD；∵AC⊥AB，AC⊥CD，∴∠BAC＝90°，∠DCA＝90°，∴∠BAC＝∠DCA，在△ABC和△CDA中，∵∴△ABC≌△CDA(SAS)；(2)若以“HL”为依据，需添加条件：AD＝CB；在Rt△ABC和Rt△CDA中，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).15．(2021·七台河期中)如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点，当BP＝__2__时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．【解析】当BP＝2时，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC＝8，BP＝2，∴PC＝6，∵AB⊥BC，DC⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD(SAS).16．如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗？并说明理由．(2)△CDE是不是直角三角形？并说明理由．【解析】(1)全等．理由是：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，∴Rt△ADE≌Rt△BEC.(2)是直角三角形．理由是：∵Rt△ADE≌Rt△BEC，∴∠3＝∠4，∵∠3＋∠5＝90°，∴∠4＋∠5＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．17．(素养提升题)在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，求证：DE＝AD－BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE，AD，BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．【解析】(1) ① ∵∠ADC＝∠ACB＝90°，∴∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠BCE＋∠ACD＝90°，∴∠CAD＝∠BCE，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB.②∵△ADC≌△CEB，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE.(2)∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE，∴CE＝AD，CD＝BE，∴DE＝CE－CD＝AD－BE.(3)当MN旋转到题图3的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是DE＝BE－AD(或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等).∵∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，又∵AC＝BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD＝CE，CD＝BE，∴DE＝CD－CE＝BE－AD.模型　利用“HL”证明三角形全等的书写模式　如图，已知AD⊥BE，垂足C是BE的中点，AB＝DE.求证：Rt△ABC≌Rt△DEC.【证明】∵AD⊥BE，∴△ABC和△DEC为直角三角形，∵C为BE的中点，∴BC＝EC，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL).书写模式：如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).关闭Word文档返回原板块