【精品同步】九年级上册数学专题 23.2 中心对称(带答案)试卷

23.2  中心对称

23.2.1  中心对称与中心对称图形

1.中心对称：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．

要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；

     （2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另

一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .

2.中心对称图形：　把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

要点诠释：（1）中心对称图形指的是一个图形；

（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.

3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：

4.   中心对称图形与轴对称图形的区别

中心对称图形是关于某一点对称的图形，中心对称图形绕定点旋转180°后，与原来的图形重合

轴对称图形是关于某一条直线对称的图形，轴对称图形沿对称轴翻折后，对称轴两旁的部分互相重合，

23.2.2  与原点对称的点的坐标

1、关于原点对称的点的坐标特征

关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.

类型一、中心对称

例1、下列图形中，与成中心对称的是（     ）

解析：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．
 

练习：下列四张扑克牌图案，属于中心对称的是（     ）

类型二、中心对称图形与轴对称图形

例2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

解析：中心对称图形是关于某一点对称的图形，中心对称图形绕定点旋转180°后，与原来的图形重合，轴对称图形是关于某一条直线对称的图形，轴对称图形沿对称轴翻折后，对称轴两旁的部分互相重合，

练习：下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

类型三、关于原点对称的点的坐标

例3、在平面直角坐标系中，点A（2，5）与点B关于原点对称，则点B的坐标是________

解析：关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为

练习1：已知点P（m-1,2）与点Q（1,n）关于原点对称，那么m+n的值是________

2、若点P（m,-2）与点Q（3，n）关于原点对称，则________

类型四、作图

例4. 已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解析：　　

总结：解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件.

练习1、如图①， ，，，为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是            ；如图②，，，，，为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是             ．

练习2、如图，矩形ABCD在平面直角坐标系的位置如图，A（0，0）、B（6，0）、D（0，4）．

（1）根据图形直接写出点C的坐标：　      　；

（2）已知直线m经过点P（0，6）且把矩形ABCD分成面积相等的两部分，请只用直尺准确地画出直线m，并求该直线m的解析式．

类型五、利用图形变换的性质进行计算或证明

例5.已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．

（1）求证：AC=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

分析：（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．

解析：（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，

∴△ABM≌△ACM，   ∴AB=AC，

又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，

∴△ABE≌△DCE，

∴AB=CD，   ∴AC=CD；

（2）解：∠F=∠MCD．

理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，

∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，

∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，

设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，

∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，

∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，

∴∠F=∠MCD．

总结：此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．

练习：阅读下面材料：

小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．

小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．

请你回答：AP的最大值是　 　．

参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：

如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是          ．（结果可以不化简）（提示：作△BPC逆时针旋转60°）

一. 选择题

1. 选出下列图形中的中心对称图形(   )
　
　　A.①②　　　 B.①③ 　　　C.②③ 　　　D.③④

2. 下列说法中错误的是（　　）

A．成中心对称的两个图形全等

B．成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分

C．中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心

D．中心对称图形绕对称中心旋转180°后，都能与自身重合

3. 在线段、等腰梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形、等边三角形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的图形有(　 )
　A.3个 　　　B.4个 　　　C.5个　　　 D.6个

4.下列说法正确的是(　 )
　A.两个会重合的三角形一定成轴对称
　B.两个会重合的三角形一定成中心对称
　C.成轴对称的两个图形中，对称线段平行且相等
　D.成中心对称的两个图形中，对称线段平行(或在同一条直线上)且相等

5.如图所示，已知△ABC与△CDA关于点O对称，过点O任作直线EF分别交AD、BC于点E、F，下面的结论：(1)点E和点F；点B和点D是关于中心O的对称点；(2)直线BD必经过点O；(3)四边形ABCD是中心对称图形；(4)四边形DEOC与四边形BFOA的面积必相等；(5)△AOE与△COF成中心对称，其中正确的个数为(　  )
　　　　
  A. 1个 　　　B. 2个 　　　C. 3个 　　　D. 5个

6．在下列四种图形变换中，本题图案不包含的变换是(    )

①中心对称　②旋转　③轴对称　 ④平移

A．①②  B．②③　C．③④　D．①④

二. 填空题

7、如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转180°后得到，则A点的对应点点的坐标是________.
　　　　

8、绕一定点旋转180°后与原来图形重合的图形是中心对称图形，正六边形就是这样的图形．小明发现将正六边形绕着它的中心旋转一个小于180°的角，也可以使它与原来的正六边形重合，请你写出小明发现的一个旋转角的度数：_____________________.

9、如图所示，△ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°，AB＝AC，△AEC绕点A旋转到△AFB的位置；∠FAD＝__________，∠FBD＝__________．
　　　　　　　　

10、如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2015的坐标为　    　．

11、点P（4，-3）关于原点对称的点所在的象限是________

12、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a,3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=________

13、在平面直角坐标系中，把点A（2，3）向左平移一个单位得到点，则点关于原点对称的点的坐标为________

三、解答题

14、如图，△ABC中，∠BAC=90°，AC=2，AB=，△ACD是等边三角形．
（1）求∠ABC的度数．
（2）以点A为中心，把△ABD顺时针旋转60°，画出旋转后的图形．
（3）求BD的长度．

23.2  中心对称

例1.A  练习、A  例2、D 练习、C 例3、（-2，-5）练习1、-2  练习2、-1

例4-练习1：【答案】

图①：或或AC或BD;图②：或

练习2、（1）（6,4） （2）

例2-练习、6， 

课后巩固

1-6：BBBCDD 7.【答案】(3，-2)  8.【答案】60°或120°.

9.【答案】60°；60°.　10.【答案】（﹣2，0）；11.二象限  12.12  13.（-1，-3） 

14.【答案】

（1）Rt△ABC中，AC=2，AB=,

∴BC=4，

∴∠ABC=30°
（2）如图所示：

（3）连接BE．
由（2）知：△ACE≌△ADB，
∴AE=AB，∠BAE=60°，BD=EC，
∴BE=AE=AB=，∠EBA=60°，
∴∠EBC=90°，
又BC=2AC=4，
∴Rt△EBC中，EC=