人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第2课时学案，文件包含542正弦余弦函数的性质第2课时导学案原卷版docx、542正弦余弦函数的性质第2课时导学案答案版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共15页， 欢迎下载使用。

新课导学
（一）新知导入
【探究】(1)单调性. (2)最值，波峰，波谷.
（二）正弦、余弦函数的单调性与最值
【探究1】 y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值y由－1增大到1；在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值y由1减小到－1；
y＝cs x在[0，π]上，曲线逐渐下降，是减函数，函数值由1减小到－1；在[π，2π]上，曲线逐渐上升，是增函数，函数值由－1增大到1.
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
【思考】不正确．正弦函数在每个闭区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上是增函数，并不是在整个定义域上是增函数，同样的，余弦函数在每个闭区间[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是减函数，并不是在整个定义域上是减函数．
（三）典型例题
例1.
【变式探究】 【解】 y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4))).
令z＝x－eq \f(π,4)，而函数y＝－2sin z的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))(k∈Z)．
∴原函数递减时，得－eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
得－eq \f(π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(3π,4)＋2kπ(k∈Z)．
∴原函数的单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)＋2kπ，\f(3π,4)＋2kπ))(k∈Z)．
【巩固练习1】 【解】 (1)由2kπ－π≤2x≤2kπ(k∈Z)，所以kπ－eq \f(π,2)≤x≤kπ(k∈Z)，
所以函数y＝cs 2x的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)．
(2)因为y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))，
所以函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－x))的单调递增区间就是函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))的单调递减区间，
由2kπ＋eq \f(π,2)≤x－eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，得2kπ＋eq \f(2π,3)≤x≤2kπ＋eq \f(5π,3)，k∈Z.
因为x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，2π))，所以所求函数的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(5π,3))).
例2. 【解】（1）cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(7π,5)))＝cseq \f(7π,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6π＋\f(7π,4)))＝cseq \f(7π,4)，
∵π＜eq \f(7π,5)＜eq \f(7π,4)＜2π，且函数y＝cs x在[π，2π]上单调递增，∴cseq \f(7π,5)＜cseq \f(7π,4)，即cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23π,5)))＜cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(17π,4))).
(2)sin 194°＝sin(180°＋14°)＝－sin 14°，
cs 160°＝cs(180°－20°)＝－cs 20°＝－sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 14°＜sin 70°.
从而－sin 14°＞－sin 70°，即sin 194°＞cs 160°.
【巩固练习2】【解】 (1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))＝cs eq \f(7π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,8)))＝－cs eq \f(π,8)，而cs eq \f(7π,6)＝－cs eq \f(π,6)，
∵0cs eq \f(π,6).∴－cs eq \f(π,8)<－cs eq \f(π,6)，∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,8)))(2)∵cs eq \f(5,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))，eq \f(π,2)又y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上是减函数，∴sin eq \f(7,4)>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋\f(5,3)))＝cs eq \f(5,3)，即sin eq \f(7,4)>cs eq \f(5,3).
例3.【解】(1)由x∈[0, QUOTE π2 ]可得x+ QUOTE π6 ∈[ QUOTE π6 , QUOTE 2π3 ],
函数y=cs x在区间[ QUOTE π6 , QUOTE 2π3 ]上单调递减,所以函数的值域为[- QUOTE 12 , QUOTE 32 ].
(2)y=cs2x-4cs x+5,令t=cs x,则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1,
当t=-1时,函数取得最大值10;
当t=1时,函数取得最小值2,所以函数的值域为[2,10].
【巩固练习3】1.【答案】[-9,1].
【解析】y=2cs2x+5sin x-4=2(1-sin2x)+5sin x-4=-2sin2x+5sin x-2=-2(sin x- QUOTE 54 )2+ QUOTE 98 .
故当sin x=1时,ymax=1;当sin x=-1时,ymin=-9,故y=2cs2x+5sin x-4的值域为[-9,1].
2.【答案】1.
【解析】由题意a≠0,当a>0时, QUOTE a+b=1,-a+b=-3, 所以 QUOTE a=2,b=-1,
此时g(x)=-sin(2x+ QUOTE π3 ),其最大值为1.当a<0时, QUOTE a+b=-3,-a+b=1, 所以 QUOTE a=-2,b=-1,
此时g(x)=-sin(-2x+ QUOTE π3 ),其最大值为1.综上知,g(x)的最大值为1.
例4. 【答案】 x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π－\f(π,6)，0))(k∈Z)
【解析】 根据正弦函数的周期性知，过函数图象的最高点或最低点且与x轴垂直的直线均是对称轴，而图象与x轴的交点均为对称中心．
要使sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝±1，必有2x＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，所以x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
即对称轴方程为x＝eq \f(k,2)π＋eq \f(π,12)(k∈Z)，
而函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象与x轴的交点即为对称中心，
所以令y＝0，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝0，
所以2x＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，即x＝eq \f(k,2)π－eq \f(π,6)(k∈Z)，
故函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))的图象的对称中心的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k,2)π－\f(π,6)，0))(k∈Z)．
【巩固练习4】【答案】A
【解析】令，解得.
当时，.故选A.
（四）操作演练 素养提升
【答案】1.C 2.C 3.D 4.1 －eq \f(5,4)
正弦函数
余弦函数
图象
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
单调性
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上单调递增，
在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3,2)π))(k∈Z)上单调递减
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上单调递增，
在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上单调递减
最值
x＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝－eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1
x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；
x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1