八年级上册2.7 探索勾股定理精品习题

2.7探索勾股定理浙教版初中数学八年级上册同步练习

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如图，在中，平分交于点，平分，，交于点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3. 如图，在平行四边形中，对角线，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点和点，作直线，交对角线于点，连接，恰好垂直于边，若，则的长是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形．若，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5. 如图，等腰中，，，交于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 已知的边长分别为，，，则的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，在长方形纸片中，，把长方形纸片沿直线折叠，点落在点处，交于点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 已知点是边长为的等边的中心，点在外，，，，的面积分别记为，，，若，则线段长的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，正方形的边长为，其面积记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为，按此规律继续下去，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图在中，，，，的垂直平分线分别交、于、两点，则的长为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11. 在中，，有一个锐角为，，若点在直线上不与点，重合，且，则的长为______．
12. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为，点，，，，都在格点上，连接，，，则______．

13. 在中，，，，平分交于点，，且交于点，则的长为______．
14. 如图，在中，，，，是斜边上一点．连接，将沿直线折叠，点落在处，当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

15. 如图，在中，，垂足为，，，．
     

求证：；

为边上一点，连接，若为等腰三角形，请直接写出的长．

16. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，点，，均在小正方形的顶点上．
    在图中画出与关于直线成轴对称的；
    在直线上找一点，使得的周长最小；
    求的面积．

17. 如图，中，，是中线．
    过点作，垂足为；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法
    当，时，求的长．

18. 阅读下面的情景对话，然后解答问题：
    老师：我们新定义一种三角形，两边平方和等于第三边平方的倍的三角形叫做奇异三角形．
    小华：等边三角形一定是奇异三角形
    小明：那直角三角形中是否存在奇异三角形呢？
    根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的猜想：“等边三角形一定是奇异三角形”是否正确？
    在中，，，，，且，若是奇异三角形，求：：．
19. 如图是边长为的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点均在格点上．
    直接写出的形状；
    仅用无刻度的直尺画图画图结果用实线，画图过程用虚线：
    在图中的上画点，连接，使；
    在图中的上画点，连接，使；
    在图中的上画点，使．
     

20. 如图，已知，，，，，求四边形的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：平分，平分，
，，即，
为直角三角形，
又，平分，平分，
，，
，，
由勾股定理可知．
故选：．
根据角平分线的定义推出为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得，进而可求出的值．
本题考查角平分线的定义，直角三角形的判定以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出为直角三角形．
 

2.【答案】 

【解析】解：，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

3.【答案】 

【解析】解：由作图可知：是线段的垂直平分线，
，
．
，
，
在中，由勾股定理，得，
．
故选：．
由作法知垂直平分根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据勾股定理即可求解．
本题考查线段垂直平分线的尺规作法，线段垂直平分线的性质，勾股定理，熟练掌握线段垂直平分线的尺规作法、线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理的知识，要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系．
先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积，再根据勾股定理可得：，进而可将阴影部分的面积求出．
【解答】
解：，
，
，
．
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：作于点
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
作于点，根据等腰三角形的性质，推出，再用勾股定理求出，用三角函数求出，先求长，进而求出的值．
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，掌握这两个性质的应用，其中作出辅助线是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：如图，，，，
过作于，
，
，
解得：，
，
的面积，
故选：．
过作于，根据勾股定理列方程得到，然后根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质，利用勾股定理列出方程是本题的关键．
由折叠的性质可得，，，由“”可证≌，可得，由勾股定理可求的长．
【解答】
解：把长方形纸片沿直线折叠，
，，，
，，，
≌
，
，
，
，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：如图，不妨假设点在的左侧，
，
，
，
，
，
是等边三角形，边长为，
，
，
过点作的平行线，连接延长交于点，交于点．
的面积是定值，
点的运动轨迹是直线，
是的中心，
，，
，，，
，
，
，
的最小值为，
故选：．
如图，不妨假设点在的左侧，证明的面积是定值，过点作的平行线，连接延长交于点，交于点因为的面积是定值，推出点的运动轨迹是直线，求出的值，可得结论．
本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是证明的面积是定值．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理以及规律型中图形的变化规律有关知识，根据等腰直角三角形的性质写出部分正方形的面积，得出第个正方形的面积为，依此规律即可得出结论．

【解答】

解：根据题意可知：
；
；
；
；
；
的值是．
故选B．

10.【答案】 

【解析】解：，，，
，
是的垂直平分线，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得．
．
故选：．
先根据线段垂直平分线的性质得出，故AB，设，则，在中根据勾股定理求出的值即可解答．
本题考查的是线段垂直平分线的性质和勾股定理，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
 

11.【答案】，或 

【解析】解：当时，

，，
，，
由勾股定理得，，
点在线段上，
，
，
在中，，
．
在中，由勾股定理得．
点在线段的延长线上，
，
，
，
．

．

当时，
，，
，，
由勾股定理得，，
点在线段上，
，
，
是等边三角形
．
点在线段的延长线上，
，
，
，
．

这与与交于点矛盾，舍去．
综上所得，的长为，或．
故答案为：，或．
题中的锐角，可能是也可能是；可以分为点在在线段上和在线段的延长线上两种情况；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，同时借助勾股定理求得的长度．
本题的考点是直角三角形，本题中涉及到勾股定理、含角的直角三角形的三边关系、等边三角形的判定，用分类讨论思想考虑所有可能的情况．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图所示：连接，，
则≌，
所以，

，
由勾股定理得：，，
，
是等腰直角三角形，
，
即，
故答案为：．
连接，，求出，根据勾股定理求出、、，根据勾股定理的逆定理求出是直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质得出即可．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识点，能正确画出辅助线是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过点作于，
在中，，，，
，
，
，
，
平分，
，
，即，
解得．
故答案为：．
过点作于，根据勾股定理的逆定理，再根据平行线的性质和角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解．
本题考查的是勾股定理的逆定理，角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
当点落在上，如图：

由折叠得：
，
，，
∽，
，
，
，
当点落在上，如图：

过点作，垂足为，
，
由折叠得：
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
当点在的内部不含边界时，长度的取值范围是：，
故答案为：．
先在中，利用勾股定理求出的长，然后分别求出点落在上和点落在上，的长，即可解答．
本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，分别求出点落在上和点落在上，的长是解题的关键．
 

15.【答案】证明：，，，
，
又，，，
，
，
，
，
；
解：分三种情况：
当时，
，
，
；
当时，为中点，
；
当是，；
综上所述：的长为或或． 

【解析】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理的应用以及等腰三角形的性质，分类讨论有关知识．
在中利用勾股定理可求，同理在中利用勾股定理可求，而，易求，从而可知是直角三角形．
分三种情况：当时；当时；当时；分别求出的长即可．
 

16.【答案】解：如图，即为所求；

如图，点即为所求；
的面积． 

【解析】根据轴对称的性质即可在图中画出与关于直线成轴对称的；
连接交直线一点，即可使得的周长最小；
根据网格利用割补法即可求的面积．
本题考查了作图轴对称变换，勾股定理，轴对称最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
 

17.【答案】解：如图，为所求作的的垂线，为垂足；
过点作．
在中，，，，
，
又，
，
是的中线，
，
在中，，
，
． 

【解析】以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧，交于一点，作过这点和点的直线交于点；
根据直角三角形斜边中线的性质和三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查了作图基本作图，勾股定理，直角三角形的性质，以及过一点作已知直线的垂线，难度适中．
 

18.【答案】解：设等边三角形的一边为，则，
符合奇异三角形”的定义．
小华提出的猜想正确；
在中，，
，
，，
若为奇异三角形，一定有，
，
，
，
，
，
：：：：． 

【解析】根据奇异三角形的定义判断即可；
根据勾股定理与奇异三角形的性质，可得与，用表示出与，即可求得答案．
此题考查了新定义的知识，勾股定理等知识．解题的关键是理解题意．
 

19.【答案】解：，，，
，
，
是直角三角形．
如图中，点即为所求；
如图中，点或点即为所求；
如图中，点即为所求．
 

【解析】利用勾股定理的逆定理判断即可；
作线段的垂直平分线交于点，点即为所求；
设的垂直平分线交于点，在或上，截取或，连接，即可；
取格点，漏解几艘于点，点即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

20.【答案】解：如图，连接，
，，，
，
的面积，
在中，，，，
，
即为直角三角形，且，
直角的面积，
四边形的面积． 

【解析】连接，先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，根据即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，勾股定理的逆定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．