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高中人教B版 (2019)第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切一等奖ppt课件
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这是一份高中人教B版 (2019)第八章 向量的数量积与三角恒等变换8.2 三角恒等变换8.2.2 两角和与差的正弦、正切一等奖ppt课件，共42页。PPT课件主要包含了两角和的正弦公式，两角差的正弦公式，公式的证明，辅助角公式，归纳总结，两角和的正切公式，两角差的正切公式，给值求值，给值求角，训练题等内容，欢迎下载使用。
1.会推导出两角和与差的正弦公式、正切公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明.3.会利用辅助角公式化asin α+bcs α为一个角的三角函数的形式.重点：两角和与差的正弦、正切公式的应用.难点：利用两角和的正弦公式变asin α+bcs α为一个角的三角函数的形式.
Sα+β：sin（α+β）＝sin αcs β+cs αsin β；Sα-β：sin（α-β）＝sin αcs β-cs αsin β.
你发现这两组公式有何结构特征？ 正余余正，符号相同.
1.两角和与差的正弦公式及其推导
根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的 两角和与差的正弦公式.
而且 sin（α-β）＝sin［α+（-β）］ ＝sin αcs（-β）+cs αsin（-β） ＝sin αcs β-cs αsin β.
辅助角公式实质上就是两角和与差的余弦、正弦公式的逆用.
二、两角和与差的正切公式
思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？其中α，β应该满足什么条件？
公式的结构特征：（1）公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.（2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题.
想一想：对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？
提示：tan αtan β，tan α±tan β，tan（α±β）三者知二求一.
【解题提示】（1）利用诱导公式将角变形后再拆分成特殊角；（2）由式子联想到两角和的正弦公式，先利用诱导公式把sin 76°cs 74°变形，使待求的式子转化为符合两角和的正弦公式形式，逆用公式；（3）把1变为tan 45°逆用两角和的正切公式；（4）根据10°与35°的和是45°变形使用两角和的正切公式.
【解题提示】将7°转化为15°与8°的差，利用两角差的正、余弦公式展开化简，最后再把15°转化为特殊角45°与30°的差，得三角函数值.
◆三角函数式的化简思路1.一看“角”：通过看角之间的差别和联系，合理拆分或合成，再正确使用公式；2.二看“函数名”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”等；3.三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形方向，如：通分、辅助角公式等.
◆给值求值问题的解法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法如下：（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.（3）常见的变角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.
◆给值求角问题的解答步骤第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.
【方法技巧】至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使得求得的角唯一，而不需要讨论解的情况.
三、两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例5 ［2019·贵州遵义四中高一检测］在△ABC中，tan Atan B>1，判断△ABC的形状.
【解题提示】 由三角形内角和为π以及诱导公式、两角和的正切公式进行化简，判断三个角正切值的符号即可得到三角形形状.
四、辅助角公式的应用
例6 函数f（x）＝sin x+cs x-3的最大值为 .【解题提示】 运用辅助角公式统一三角函数的名称，再根据正弦型（或余弦型）函数的性质求得最大值.
五、和（差）角公式与平面向量的综合问题
【解题归纳】1.与三角函数联系比较紧密的向量运算（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的坐标表示；（3）向量模的坐标表示；（4）向量数量积运算.2.解决途径（1）转化：利用向量定义、性质、坐标运算等转化为三角函数运算，结合三角恒等变换公式、辅助角公式等化简；（2）数形结合：利用三角函数的图像和性质求解.
1.会推导出两角和与差的正弦公式、正切公式.2.会用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行简单的三角函数的求值、化简、证明.3.会利用辅助角公式化asin α+bcs α为一个角的三角函数的形式.重点：两角和与差的正弦、正切公式的应用.难点：利用两角和的正弦公式变asin α+bcs α为一个角的三角函数的形式.
Sα+β：sin（α+β）＝sin αcs β+cs αsin β；Sα-β：sin（α-β）＝sin αcs β-cs αsin β.
你发现这两组公式有何结构特征？ 正余余正，符号相同.
1.两角和与差的正弦公式及其推导
根据两角和与差的余弦公式（即Cα+β与Cα-β）可以证明如下的 两角和与差的正弦公式.
而且 sin（α-β）＝sin［α+（-β）］ ＝sin αcs（-β）+cs αsin（-β） ＝sin αcs β-cs αsin β.
辅助角公式实质上就是两角和与差的余弦、正弦公式的逆用.
二、两角和与差的正切公式
思考：在两角和与两角差的正弦、余弦公式的基础上，你能用tan α，tan β表示tan（α+β）和tan（α-β）吗？其中α，β应该满足什么条件？
公式的结构特征：（1）公式的右边为分式形式，其中分子为tan α，tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和.（2）公式中左边的加减号与右边分子上的加减号相同，与分母上的加减号相反.符号变化规律可简记为“分子同，分母反”.
注意：当α，β，α±β角的正切值不存在时，不能使用上述公式，但可以用诱导公式或其他方法解题.
想一想：对于两角和与差的正切公式，你能写出它的几种变形吗？
提示：tan αtan β，tan α±tan β，tan（α±β）三者知二求一.
【解题提示】（1）利用诱导公式将角变形后再拆分成特殊角；（2）由式子联想到两角和的正弦公式，先利用诱导公式把sin 76°cs 74°变形，使待求的式子转化为符合两角和的正弦公式形式，逆用公式；（3）把1变为tan 45°逆用两角和的正切公式；（4）根据10°与35°的和是45°变形使用两角和的正切公式.
【解题提示】将7°转化为15°与8°的差，利用两角差的正、余弦公式展开化简，最后再把15°转化为特殊角45°与30°的差，得三角函数值.
◆三角函数式的化简思路1.一看“角”：通过看角之间的差别和联系，合理拆分或合成，再正确使用公式；2.二看“函数名”：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”等；3.三看“结构特征”：分析结构特征，找到变形方向，如：通分、辅助角公式等.
◆给值求值问题的解法在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角.具体做法如下：（1）当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.（2）当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.（3）常见的变角技巧有2α＝（α+β）+（α-β），2β＝（α+β）-（α-β），α＝（α+β）-β，β＝（α+β）-α等.
◆给值求角问题的解答步骤第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的取值范围写出所求的角.
【方法技巧】至于选取角的哪一个三角函数值，应根据所求角的取值范围确定，最好是角的取值范围在该函数的单调区间内，这样可以使得求得的角唯一，而不需要讨论解的情况.
三、两角和与差的三角函数在三角形中的应用
例5 ［2019·贵州遵义四中高一检测］在△ABC中，tan Atan B>1，判断△ABC的形状.
【解题提示】 由三角形内角和为π以及诱导公式、两角和的正切公式进行化简，判断三个角正切值的符号即可得到三角形形状.
四、辅助角公式的应用
例6 函数f（x）＝sin x+cs x-3的最大值为 .【解题提示】 运用辅助角公式统一三角函数的名称，再根据正弦型（或余弦型）函数的性质求得最大值.
五、和（差）角公式与平面向量的综合问题
【解题归纳】1.与三角函数联系比较紧密的向量运算（1）向量的坐标运算；（2）向量共线的坐标表示；（3）向量模的坐标表示；（4）向量数量积运算.2.解决途径（1）转化：利用向量定义、性质、坐标运算等转化为三角函数运算，结合三角恒等变换公式、辅助角公式等化简；（2）数形结合：利用三角函数的图像和性质求解.
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