高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.2 两角和与差的正弦、正切课文配套课件ppt
展开课后素养落实(十九)
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一、选择题
1.已知tan (α+β)=,tan =,那么tan 等于( )
A. B.
C. D.
C [tan =tan ==.]
2.设向量a=(cos α,-1),b=(2,sin α),若a⊥b,则tan 等于( )
A.- B.
C.-3 D.3
B [a·b=2cos α-sin α=0,得tan α=2.
tan ===.]
3.若tan 28°tan 32°=m,则tan 28°+tan 32°等于( )
A.m B.(1-m)
C.(m-1) D.(m+1)
B [由公式变形tan α+tan β=tan (α+β)(1-tan αtan β)
可得,tan 28°+tan 32°=tan 60°(1-tan 28°tan 32°)
=(1-m).]
4.已知A,B,C是△ABC的三个内角,且tan A,tan B是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则△ABC是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.无法确定
A [因为tan A,tan B 是方程3x2-5x+1=0的两个实数根,则tan A+tan B=,tan A tan B=,
所以tan (A+B)==,
所以0<A+B<,得<C<π,
所以△ABC是钝角三角形.]
5.(多选题)下列结果为的是( )
A.tan 25°+tan 35°+tan 25°·tan 35°
B.(1+tan 20°)(1+tan 40°)
C.
D.
AC [对选项A,因为tan25°+tan 35°=tan (25°+35°)(1-tan 25°·tan 35°)=-tan 25°tan 35°,所以原式=-tan 25°tan 35°+tan 25°tan 35°=.对选项B,(1+tan 20°)(1+tan 40°)=1+tan 20°+tan 40°+tan 20°·tan 40°=1+(1-tan 20°tan 40°)+tan 20°·tan 40°=1+-(-1)tan 20°tan 40°≠.对选项C,原式==tan 60°=.对选项D,原式==.]
二、填空题
6.=________.
[原式=tan (75°-15°)=tan 60°=.]
7.若tan =-,则tan =________,tan α=________.
-4 [tan ===-,解得tan α=-4,
tan ===.]
8.已知α,β均为锐角,且tan β=,则tan (α+β)=________.
1 [因为tan β==,
所以tan β+tan αtan β=1-tan α.
所以tan α+tan β+tan αtan β=1.
所以tan α+tan β=1-tan αtan β.
所以=1,所以tan (α+β)=1.]
三、解答题
9.已知tan =2,tan β=,
(1)求tan α的值;
(2)求的值.
[解] (1)因为tan =2,所以=2,
所以=2,解得tan α=.
(2)原式=
==
=tan (β-α)===.
10.已知α,β∈,且tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,求α+β.
[解] 因为tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两个根,
所以tan α+tan β=-3,tan αtan β=4,
所以tan (α+β)===.
因为两根之和小于0,两根之积大于0,故两根同时为负数.
又α,β∈,
所以α,β∈,
所以α+β∈(-π,0),故α+β=-.
11.(多选题)已知tan α=lg (10a),tan β=lg ,且α+β=,则实数a的值可以为( )
A. B.1
C. D.
BD [因为α+β=,所以tan (α+β)==1,tan α+tan β=1-tan αtan β,
即lg (10a)+lg =1-lg (10a)lg ,
即1=1-lg (10a)lg ,
所以lg (10a)lg =0.
lg (10a)=0或lg =0,得a=或a=1.]
12.在△ABC中,tan A+tan B+tan C=3,tan2B=tanA·tan C,则B等于( )
A.30° B.45°
C.120° D.60°
D [由公式变形得:tan A+tan B=tan (A+B)(1-tan A tan B)
=tan (180°-C)(1-tan A tan B)=-tan C(1-tan A tan B)
=-tan C+tan A tan B tan C.
所以tan A+tan B+tan C=-tan C+tan A tan B tan C+tan C=tan A tan B tan C=3.
因为tan2B=tanA tan C,
所以tan3B=3.
所以tanB=,B=60°.]
13.已知tan =2,则的值为________.
[因为tan=2,
所以=2,
解得tan α=.
所以=
===.]
14.已知tan (α-β)=,tan β=-,且α,β∈(0,π),则tan α=________,2α-β=________.
- [tan α=tan [(α-β)+β]
===.
tan (2α-β)=tan [(α-β)+α]
==1.
因为tan β=-<0,所以<β<π.
又因为tan α=>0,所以0<α<.
所以-π<α-β<0.
而tan (α-β)=>0,
所以-π<α-β<-.
所以2α-β∈(-π,0).
所以2α-β=-.]
15.是否存在锐角α和β,使得①α+2β=和②tan tan β=2-同时成立?若存在,求出α和β的值;若不存在,请说明理由.
[解] 由①得+β=,则tan =tan ,
即=.
把条件②代入上式,得
tan +tan β=×(1-2+)=3-. ③
由②③知,tan ,tan β是一元二次方程x2-(3-)x+2-=0的两个实数根.
解这个方程,得或
因为α是锐角,所以0<<,所以tan ≠1.
故tan =2-,tan β=1.
因为0<β<,由tan β=1,得β=,
代入①,得α=.
所以存在锐角α,β使两个条件同时成立.
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