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初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试达标测试
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这是一份初中数学人教版八年级上册第十一章 三角形综合与测试达标测试，文件包含专题01三角形重难点题型分类解析版人教版doc、专题01三角形重难点题型分类原卷版人教版doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共30页， 欢迎下载使用。
专题01 高分突破-三角形重难点题型分类（解析版）
题型1：三角形的边长问题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，6 C．3，4，7 D．4，5，10
【解答】解：A、1+2＞2，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、3+4＝7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、5+4＜10，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．已知a，b，c分别为三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．a+b+c B．﹣a+b﹣3c C．a+2b﹣c D．﹣a+b+3c
【解答】解：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣b+c+a+c﹣a+b＝﹣a+b+3c，
故选：D．
3．已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，1，2，
∴x的取值范围是1＜x＜3，
故选：A．
4．已知实数x，y满足|x﹣6|+＝0，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为（ ）
A．27或36 B．27
C．36 D．以上答案都不对
【解答】解：∵实数x，y满足|x﹣6|+＝0，∴x＝6，y＝15．
∵6、6、15不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长分别为6、15、15，
∴等腰三角形周长为6+15+15＝36．故选：C．
题型2：多边形的内角和、对角线
5．正五边形各内角的度数为（ ）
A．72° B．108° C．120° D．144°
【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；
方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．
故选：B．
6．已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．九 B．八 C．七 D．六
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9．即这个正多边形是九边形．故选：A．
7．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ ．
【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．故答案是：32°．
8．一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，
（1）求此正多边形的边数；
（2）它有多少条对角线？
【解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝＝9．
∴多边形的边数为9；
（2）∵n边形的对角线条数为：n（n﹣3），
∴当n＝9时，n（n﹣3）＝×9×6＝27，故有27条对角线．
题型3：三角形的三个角平分线模型
1、 三角形的两内角角平分线模型
9．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
10．如图，△ABC中∠A＝100°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线且相交于O点，则∠BOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【解答】解：∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×80°＝40°，在△BCO中，∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE、CF相交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC＝ 度．
【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ACB+∠ABC）＝×110°＝55°
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
2、 三角形两外角角平分线模型
12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．
3、 三角形一个内角一个外角角平分线模型
13．如图，△ABC中，∠E＝18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
【解答】证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ECD＝（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD＝∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC＝（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，
∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A＝18°，∴∠A＝36°．
故选：A．
14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
15．已知△ABC，
（1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图（2），若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB,则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）,又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠PBC+∠BCP＝90°+∠A，在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选：B．
题型4：三角形的角度计算
16．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（ ）
A．40° B．75° C．85° D．140°
【解答】解：如图，∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA＝45°，∴∠BAE＝∠DBA＝45°，
∵∠EAC＝15°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+15°＝60°，又∵∠DBC＝80°，∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．
故选：C．
17．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝115°，∠ACF＝25°，则∠FEC＝ 度．
【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝180°﹣∠DAC＝180°﹣115°＝65°，∵∠ACF＝25°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝65°﹣25°＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝∠BCF＝×40°＝20°，∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCE＝20°．
故答案为：20．
18．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝ 度．
【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，∴∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，
故答案为：165．
19．如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于 ．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
20．如图，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°．
（1）求∠CAD的度数．
（2）求∠BOA的度数．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，∴∠BAO＝30°，∠ABC＝50°，∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
21．如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，∴△ABF和△ACF的面积相等，∵△AFC的面积为10，∴∠ABF的面积为10，∵AD＝4，∴＝10，∴BF＝5，∴BC＝2BF＝10；
（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵∠C＝30°，∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
题型5：8字模型
22．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：B．
23．（1）如图1我们称之为“8”字形，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°，
故答案为：540．
（3）如图3，由图知，∠1+∠D＝∠P+∠3 ①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
题型6：燕尾模型
24．如图（1），由三角形的内角和或外角和可知：∠ABC＝∠A+∠C+∠O在图（2）中，直接利用上述的结论探究：
①若AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，且∠O＝80°∠B＝120°，求∠ADC的度数
②AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，猜想∠O，∠ABC，∠ADC之间的等量关系，并说明理由．
【解答】解：①根据题意得：∠OAB+∠OCB＝∠B﹣∠O＝120°﹣80°＝40°，
∵AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，∴∠OAD+∠OCD＝×40°＝20°，
∴∠ADC＝∠O+∠OAD+∠OCD＝80°+20°＝100°；
②由题意得：∠ADC＝∠OAD+∠OCD+∠O，∠ABC＝∠OAB+∠OCB+∠O，
∵AD、CD是∠OAB、∠OCB的平分线，∴∠BAD＝∠OAD、∠OCD＝∠BCD，
∴∠ABC＝2∠ADC﹣∠O．
题型7：折叠模型
25．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则∠EFC'的度数为（ ）
A．122.5° B．130° C．135° D．140°
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，∴∠AEB＝65°；由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝115°，∴∠BEF＝57.5°；易知∠EBC′＝∠D＝∠BC′F＝∠C＝90°，
∴BE∥C′F，∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝122.5°．
故选：A．
26．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝66°，则∠AED′等于 度．
【解答】解：∵∠EFB＝66°，∴∠EFC＝180°﹣66°＝114°，∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣114°＝66°，∵沿EF折叠D和D′重合，
∴∠D′EF＝∠DEF＝66°，∴∠AED′＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
故答案为：48．
27．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度．
【解答】解：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．
故答案为：40°．
题型8：角度问题的压轴题
28．在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上运动，点B在y轴正半轴上运动．
（1）如图1：
①已知∠OAB与∠OBA的角平分线相交于点F，则∠F＝ ；
②若AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠E的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值；
（2）如图2，延长BA至C，已知∠ABO，∠CAO的角平分线相交于点D，在△ABD中，如果一个角与另一个角的比值为2：7，求∠ABD的度数．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AF平分∠OAB，BF平分∠ABO，
∴∠FAB+∠FBA＝（∠OAB+∠OBA）＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°．
②结论：∠CED的大小不变．理由：延长AD、BC交于点N．
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠N＝45°，∴∠NDC+∠NCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠E＝67.5°；
（3）如图2中，
∵AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，∴∠DAC＝∠DAO，∠BAD＝∠DBO，设∠DAC＝∠DAO＝x，∠DBA＝∠DBO＝y，则有，可得∠D＝45°，
当∠ADB：∠ABD＝7：2时，∠ABD＝（）°，
当∠DAB：∠ABD＝7：2时，∠ABD＝×135°＝30°，
当∠BAD：∠D＝7：2时，∠BAD＝157.5°（不合题意舍弃），
综上所述，满足条件的∠ABD的值为（）°或30°．
29．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C为y轴右侧一动点．
（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．
（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．
探究：
（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，又∵（a﹣2）2≥0，|a+b+1|≥0，
∴解得．
（2）如图①中，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，MA平分∠BAO，MB平分∠ABO，
∴∠MAB+∠MBA＝∠BAO+∠ABO＝×90°＝45°，
∴∠M＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°．
∵AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，
∴∠CAB+∠CBA＝3（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝45°．
探究：（1）如图②中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，
∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB＝∠M+∠MAO+∠MBO，∠AOB＝∠C+∠CAO+∠CBO，
∴90°＝x+y+∠M①，90°＝2x+2y+∠C②，
∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
（2）如图③中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，
∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB+∠OBM＝∠M+∠MAO，∠AOB+∠OBC＝∠C+∠CAO
∴90°+y＝x+∠M①，90°+2y＝2x+∠C②，
∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
30．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）求A、C点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）．
（2）存在，
理由：如图1中，D（1，2），
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S△DOP＝•OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝•OQ•xD＝×2t×1＝t，
∵S△ODP＝S△ODQ，∴2﹣t＝t，∴t＝1．
（3）结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3＝90°，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，∴∠1＝∠CAO，∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴＝＝2．
31．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；
（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．∵∠A＝∠AOC，∴∠B＝∠BOC；
（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，∴∠DOB＝30°，∴∠A＝30°；
（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，
∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM＝∠AOM＝（90°﹣∠AOC）＝45°﹣∠AOC，∠PCO＝∠BCO＝（∠A+∠AOC）＝∠A+∠AOC．∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）
＝45°﹣∠A＝30°．
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日期：2021/9/18 9:38:41；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.com；学号：3611968
专题01 高分突破-三角形重难点题型分类（解析版）
题型1：三角形的边长问题
1．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，2，2 B．2，3，6 C．3，4，7 D．4，5，10
【解答】解：A、1+2＞2，能组成三角形，故此选项符合题意；
B、2+3＜6，不能组成三角形，故此选项不合题意；
C、3+4＝7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、5+4＜10，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
2．已知a，b，c分别为三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|的结果为（ ）
A．a+b+c B．﹣a+b﹣3c C．a+2b﹣c D．﹣a+b+3c
【解答】解：|a﹣b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a+b|
＝﹣a+b+c﹣b+c+a+c﹣a+b＝﹣a+b+3c，
故选：D．
3．已知三角形三边的长分别为1、2、x，则x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵三角形的三边长分别是x，1，2，
∴x的取值范围是1＜x＜3，
故选：A．
4．已知实数x，y满足|x﹣6|+＝0，则以x，y的值为两边的等腰三角形的周长为（ ）
A．27或36 B．27
C．36 D．以上答案都不对
【解答】解：∵实数x，y满足|x﹣6|+＝0，∴x＝6，y＝15．
∵6、6、15不能组成三角形，∴等腰三角形的三边长分别为6、15、15，
∴等腰三角形周长为6+15+15＝36．故选：C．
题型2：多边形的内角和、对角线
5．正五边形各内角的度数为（ ）
A．72° B．108° C．120° D．144°
【解答】解：方法一：（5﹣2）•180°＝540°，540°÷5＝108°；
方法二：360°÷5＝72°，180°﹣72°＝108°，所以，正五边形每个内角的度数为108°．
故选：B．
6．已知正多边形的一个内角是140°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．九 B．八 C．七 D．六
【解答】解：∵正多边形的一个内角是140°，∴它的外角是：180°﹣140°＝40°，
360°÷40°＝9．即这个正多边形是九边形．故选：A．
7．把正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放，若∠1＝52°，∠2＝18°，则∠3＝ ．
【解答】解：等边三角形的内角的度数是60°，正方形的内角度数是90°，正五边形的内角的度数是：（5﹣2）×180°＝108°，则∠3＝360°﹣60°﹣90°﹣108°﹣∠1﹣∠2＝32°．故答案是：32°．
8．一个正多边形的每个内角都比与它相邻的外角的3倍还多20°，
（1）求此正多边形的边数；
（2）它有多少条对角线？
【解答】解：（1）设多边形的一个外角为α，则与其相邻的内角等于3α+20°，
由题意，得（3α+20）+α＝180°，解得α＝40°．即多边形的每个外角为40°．
又∵多边形的外角和为360°，∴多边形的外角个数＝＝9．
∴多边形的边数为9；
（2）∵n边形的对角线条数为：n（n﹣3），
∴当n＝9时，n（n﹣3）＝×9×6＝27，故有27条对角线．
题型3：三角形的三个角平分线模型
1、 三角形的两内角角平分线模型
9．如图，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝50°，则∠BOC等于（ ）
A．110° B．115° C．120° D．130°
【解答】解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣50°＝130°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×130°＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣65°＝115°．
故选：B．
10．如图，△ABC中∠A＝100°，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线且相交于O点，则∠BOC的度数为（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
【解答】解：∵∠A＝100°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°，
∵BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×80°＝40°，在△BCO中，∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣40°＝140°．
故选：D．
11．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，BE、CF相交于点O，若∠A＝70°，则∠BOC＝ 度．
【解答】解：∵∠A＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝110°，
∵BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ACB+∠ABC）＝×110°＝55°
∴∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣55°＝125°．
故答案为125．
2、 三角形两外角角平分线模型
12．如图，在△ABC中，∠B＝40°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝ ．
【解答】解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF；
又∵∠B＝40°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2）＝110°（外角定理），
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝70°．
故答案为：70°．
3、 三角形一个内角一个外角角平分线模型
13．如图，△ABC中，∠E＝18°，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，则∠A等于（ ）
A．36° B．30° C．20° D．18°
【解答】证明：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∴∠ECD＝（∠A+∠ABC）．又∵∠ECD＝∠E+∠EBC，
∴∠E+∠EBC＝（∠A+∠ABC）．∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABC，
∴∠ABC+∠E＝（∠A+∠ABC），∴∠E＝∠A＝18°，∴∠A＝36°．
故选：A．
14．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠A+∠P＝（ ）
A．70° B．80° C．90° D．100°
【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∵∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，∴∠ABC＝2∠ABP＝40°，∠ACM＝2∠ACP＝100°，
∴∠A＝∠ACM﹣∠ABC＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ACM＝80°，∴∠BCP＝∠ACB+∠ACP＝130°，∵∠PBC＝20°，∴∠P＝180°﹣∠PBC﹣∠BCP＝30°，∴∠A+∠P＝90°，
故选：C．
15．已知△ABC，
（1）如图（1），若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°+∠A；
（2）如图（2），若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A；
（3）如图（3），若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°﹣∠A．
上述说法正确的个数是（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【解答】解：（1）若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB,则∠PBC+∠PCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）
在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
故成立；
（2）当△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°时，结论不成立；
（3）若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，
则∠PBC＝∠FBC＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，∠BCP＝∠BCE＝90°﹣∠ACB
∴∠PBC+∠BCP＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）,又∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A
∴∠PBC+∠BCP＝90°+∠A，在△BCP中利用内角和定理得到：
∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（90°+∠A）＝90°﹣∠A，
故成立．
∴说法正确的个数是2个．
故选：B．
题型4：三角形的角度计算
16．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（ ）
A．40° B．75° C．85° D．140°
【解答】解：如图，∵AE，DB是正南正北方向，∴BD∥AE，∵∠DBA＝45°，∴∠BAE＝∠DBA＝45°，
∵∠EAC＝15°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝45°+15°＝60°，又∵∠DBC＝80°，∴∠ABC＝80°﹣45°＝35°，∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝180°﹣60°﹣35°＝85°．
故选：C．
17．如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝115°，∠ACF＝25°，则∠FEC＝ 度．
【解答】解：∵AD∥BC，∴∠ACB＝180°﹣∠DAC＝180°﹣115°＝65°，∵∠ACF＝25°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝65°﹣25°＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝∠BCF＝×40°＝20°，∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠FEC＝∠BCE＝20°．
故答案为：20．
18．将一副直角三角板如图放置，使两直角重合，则∠1＝ 度．
【解答】解：如图，由题意知，∠CAD＝60°，∠B＝45°，∴∠CAB＝120°，
∴∠1＝∠B+∠CAB＝45°+120°＝165°，
故答案为：165．
19．如图，若∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于 ．
【解答】解：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠DEF＝180°﹣（∠EDF+∠EFD）＝180°﹣120°＝60°．
故答案为：60°．
20．如图，AD是△ABC的高，AE、BF是△ABC的角平分线，它们相交于点O，∠BAC＝60°，∠C＝70°．
（1）求∠CAD的度数．
（2）求∠BOA的度数．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵∠C＝70°，∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
（2）∵∠BAC＝60°，∠C＝70°，∴∠BAO＝30°，∠ABC＝50°，∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠ABO＝25°，∴∠BOA＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝180°﹣30°﹣25°＝125°．
21．如图，在△ABC中AD、AE、AF分别为△ABC的高、角平分线和中线，已知△AFC的面积为10，AD＝4，∠DAE＝20°，∠C＝30°．
（1）求BC的长度；
（2）求∠B的度数．
【解答】解：（1）∵AF是△ABC的中线，∴BC＝2BF＝2CF，BF＝CF，∴△ABF和△ACF的面积相等，∵△AFC的面积为10，∴∠ABF的面积为10，∵AD＝4，∴＝10，∴BF＝5，∴BC＝2BF＝10；
（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADC＝90°，∵∠DAE＝20°，∴∠AED＝180°﹣90°﹣20°＝70°，
∵∠C＝30°，∴∠CAE＝∠AED﹣∠C＝40°，∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAC＝2∠CAE＝80°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣80°﹣30°＝70°．
题型5：8字模型
22．如图，点A、B、C、D、E、F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是（ ）
A．180° B．360° C．540° D．720°
【解答】解：∵∠1是△ABG的外角，∴∠1＝∠A+∠B，∵∠2是△EFH的外角，∴∠2＝∠E+∠F，
∵∠3是△CDI的外角，∴∠3＝∠C+∠D，∵∠1、∠2、∠3是△GIH的外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故选：B．
23．（1）如图1我们称之为“8”字形，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系；
（2）如图2，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝ 度；
（3）如图3所示，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，猜想∠B，∠P，∠D之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）如图1，∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）∵∠6，∠7的和与∠8，∠9的和相等，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8+∠9＝540°，
故答案为：540．
（3）如图3，由图知，∠1+∠D＝∠P+∠3 ①，∠4+∠B＝∠2+∠P②，
∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B．
题型6：燕尾模型
24．如图（1），由三角形的内角和或外角和可知：∠ABC＝∠A+∠C+∠O在图（2）中，直接利用上述的结论探究：
①若AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，且∠O＝80°∠B＝120°，求∠ADC的度数
②AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，猜想∠O，∠ABC，∠ADC之间的等量关系，并说明理由．
【解答】解：①根据题意得：∠OAB+∠OCB＝∠B﹣∠O＝120°﹣80°＝40°，
∵AD、CD分别平分∠OAB，∠OCB，∴∠OAD+∠OCD＝×40°＝20°，
∴∠ADC＝∠O+∠OAD+∠OCD＝80°+20°＝100°；
②由题意得：∠ADC＝∠OAD+∠OCD+∠O，∠ABC＝∠OAB+∠OCB+∠O，
∵AD、CD是∠OAB、∠OCB的平分线，∴∠BAD＝∠OAD、∠OCD＝∠BCD，
∴∠ABC＝2∠ADC﹣∠O．
题型7：折叠模型
25．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C'处，折痕为EF，若∠ABE＝25°，则∠EFC'的度数为（ ）
A．122.5° B．130° C．135° D．140°
【解答】解：Rt△ABE中，∠ABE＝25°，∴∠AEB＝65°；由折叠的性质知：∠BEF＝∠DEF；
而∠BED＝180°﹣∠AEB＝115°，∴∠BEF＝57.5°；易知∠EBC′＝∠D＝∠BC′F＝∠C＝90°，
∴BE∥C′F，∴∠EFC′＝180°﹣∠BEF＝122.5°．
故选：A．
26．如图，小章利用一张左、右两边已经破损的长方形纸片ABCD做折纸游戏，他将纸片沿EF折叠后，D、C两点分别落在D′、C′的位置，并利用量角器量得∠EFB＝66°，则∠AED′等于 度．
【解答】解：∵∠EFB＝66°，∴∠EFC＝180°﹣66°＝114°，∵四边形ABCD是长方形，
∴AD∥BC，∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣114°＝66°，∵沿EF折叠D和D′重合，
∴∠D′EF＝∠DEF＝66°，∴∠AED′＝180°﹣66°﹣66°＝48°，
故答案为：48．
27．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝ 度．
【解答】解：∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，
∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，
∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．
故答案为：40°．
题型8：角度问题的压轴题
28．在平面直角坐标系中，点A在x轴负半轴上运动，点B在y轴正半轴上运动．
（1）如图1：
①已知∠OAB与∠OBA的角平分线相交于点F，则∠F＝ ；
②若AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠E的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，请求出其值；
（2）如图2，延长BA至C，已知∠ABO，∠CAO的角平分线相交于点D，在△ABD中，如果一个角与另一个角的比值为2：7，求∠ABD的度数．
【解答】解：（1）①如图1中，
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∵AF平分∠OAB，BF平分∠ABO，
∴∠FAB+∠FBA＝（∠OAB+∠OBA）＝45°，
∴∠F＝180°﹣（∠FAB+∠FBA）＝180°﹣45°＝135°．
②结论：∠CED的大小不变．理由：延长AD、BC交于点N．
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB+∠OBA＝90°，∴∠PAB+∠MBA＝270°，∵AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，∴∠BAD＝∠BAP，∠ABC＝∠ABM，∴∠BAD+∠ABC＝（∠PAB+∠ABM）＝135°，∴∠N＝45°，∴∠NDC+∠NCD＝135°，∴∠CDA+∠DCB＝225°，∵DE、CE分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，∴∠CDE+∠DCE＝112.5°，∴∠E＝67.5°；
（3）如图2中，
∵AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，∴∠DAC＝∠DAO，∠BAD＝∠DBO，设∠DAC＝∠DAO＝x，∠DBA＝∠DBO＝y，则有，可得∠D＝45°，
当∠ADB：∠ABD＝7：2时，∠ABD＝（）°，
当∠DAB：∠ABD＝7：2时，∠ABD＝×135°＝30°，
当∠BAD：∠D＝7：2时，∠BAD＝157.5°（不合题意舍弃），
综上所述，满足条件的∠ABD的值为（）°或30°．
29．已知△ABC在平面直角坐标系内，满足：点A在y轴正半轴上移动，点B在x轴负半轴上移动，点C为y轴右侧一动点．
（1）若点A（0，a）和点B（b，0）坐标恰好满足：（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，直接写出a、b的值．
（2）如图①，当点C在第四象限时，若AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，在A、B、C的运动过程中，试求出∠C和∠M的大小．
探究：
（1）如图②，当点C在第四象限时，若AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，在A、B、C的运动过程中，∠C和∠M是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）如图③，当点C在第一象限时，且在（1）中的条件不变的前提下，∠C和∠M又有何数量关系？证明你的结论．
【解答】解：（1）∵（a﹣2）2+|a+b+1|＝0，又∵（a﹣2）2≥0，|a+b+1|≥0，
∴解得．
（2）如图①中，
∵∠OAB+∠OBA＝90°，MA平分∠BAO，MB平分∠ABO，
∴∠MAB+∠MBA＝∠BAO+∠ABO＝×90°＝45°，
∴∠M＝180°﹣（∠MAB+∠MBA）＝135°．
∵AM、AO将∠BAC三等分，BM、BO将∠ABC三等分，
∴∠CAB+∠CBA＝3（∠MAB+∠MBA）＝135°，
∴∠C＝180°﹣（∠CAB+∠CBA）＝45°．
探究：（1）如图②中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，
∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB＝∠M+∠MAO+∠MBO，∠AOB＝∠C+∠CAO+∠CBO，
∴90°＝x+y+∠M①，90°＝2x+2y+∠C②，
∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
（2）如图③中，结论：2∠M﹣∠C＝90°．
理由：∵AM平分∠CAO，BM平分∠CBO，
∴可以假设∠CAM＝∠MAO＝x，∠CBM＝∠MBO＝y，
∵∠AOB+∠OBM＝∠M+∠MAO，∠AOB+∠OBC＝∠C+∠CAO
∴90°+y＝x+∠M①，90°+2y＝2x+∠C②，
∴①×2﹣②可得：2∠M﹣∠C＝90°．
30．如图，以直角三角形AOC的直角顶点O为原点，以OC、OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0）满足．
（1）求A、C点的坐标；
（2）如图1，已知坐标轴上有两动点P、Q同时出发，P点从C点出发沿x轴负方向以1个单位长度每秒的速度匀速移动，Q点从O点出发以2个单位长度每秒的速度沿y轴正方向移动，点Q到达A点整个运动随之结束．AC的中点D的坐标是（1，2），设运动时间为t（t＞0）秒．问：是否存在这样的t，使S△ODP＝S△ODQ？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点F是线段AC上一点，满足∠FOC＝∠FCO，点G是第二象限中一点，连OG，使得∠AOG＝∠AOF．点E是线段OA上一动点，连CE交OF于点H，当点E在线段OA上运动的过程中，的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．
【解答】解：（1）∵+|b﹣2|＝0，∴a﹣2b＝0，b﹣2＝0，解得a＝4，b＝2，
∴A（0，4），C（2，0）．
（2）存在，
理由：如图1中，D（1，2），
由条件可知：P点从C点运动到O点时间为2秒，Q点从O点运动到A点时间为2秒，
∴0＜t≤2时，点Q在线段AO上，
即 CP＝t，OP＝2﹣t，OQ＝2t，AQ＝4﹣2t，
∴S△DOP＝•OP•yD＝（2﹣t）×2＝2﹣t，S△DOQ＝•OQ•xD＝×2t×1＝t，
∵S△ODP＝S△ODQ，∴2﹣t＝t，∴t＝1．
（3）结论：的值不变，其值为2．理由如下：如图2中，
∵∠2+∠3＝90°，又∵∠1＝∠2，∠3＝∠FCO，∴∠GOC+∠ACO＝180°，
∴OG∥AC，∴∠1＝∠CAO，∴∠OEC＝∠CAO+∠4＝∠1+∠4，
如图，过H点作AC的平行线，交x轴于P，则∠4＝∠PHC，PH∥OG，
∴∠PHO＝∠GOF＝∠1+∠2，
∴∠OHC＝∠OHP+∠PHC＝∠GOF+∠4＝∠1+∠2+∠4，
∴＝＝2．
31．如图，在平面直角坐标系中，△AOB是直角三角形，∠AOB＝90°，斜边AB与y轴交于点C．
（1）若∠A＝∠AOC，求证：∠B＝∠BOC；
（2）延长AB交x轴于点E，过O作OD⊥AB，且∠DOB＝∠EOB，∠OAE＝∠OEA，求∠A度数；
（3）如图，OF平分∠AOM，∠BCO的平分线交FO的延长线于点P，当△ABO绕O点旋转时（斜边AB与y轴正半轴始终相交于点C），在（2）的条件下，试问∠P的度数是否发生改变？若不变，请求其度数；若改变，请说明理由．
【解答】解：（1）∵△AOB是直角三角形，
∴∠A+∠B＝90°，∠AOC+∠BOC＝90°．∵∠A＝∠AOC，∴∠B＝∠BOC；
（2）∵∠A+∠ABO＝90°，∠DOB+∠ABO＝90°，∴∠A＝∠DOB，即∠DOB＝∠EOB＝∠OAE＝∠OEA．∵∠DOB+∠EOB+∠OEA＝90°，∴∠DOB＝30°，∴∠A＝30°；
（3）∠P的度数不变，∠P＝30°，∵∠AOM＝90°﹣∠AOC，∠BCO＝∠A+∠AOC，
∵OF平分∠AOM，CP平分∠BCO，∴∠FOM＝∠AOM＝（90°﹣∠AOC）＝45°﹣∠AOC，∠PCO＝∠BCO＝（∠A+∠AOC）＝∠A+∠AOC．∴∠P＝180°﹣（∠PCO+∠FOM+90°）
＝45°﹣∠A＝30°．
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日期：2021/9/18 9:38:41；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.com；学号：3611968
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