高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算课堂教学ppt课件

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.1 空间向量及其运算课堂教学ppt课件，共30页。PPT课件主要包含了复习回顾，向量a的投影，求向量的夹角和模，巩固练习，课堂小结等内容，欢迎下载使用。

1、平面向量数量积的定义:
4、向量数量积的运算律
由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义．
一、空间向量数量积及其计算
规定：零向量与任何向量的数量积都为0
思考1　向量的数量积运算是否满足结合律？
答案　不能，向量没有除法.
答案 不满足结合律，(a·b)·c＝a·(b·c)是错误的.
＝cs 600－cs 600＝0.
【练1】(1)已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b等于（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
解（1）∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.
＝4－0＋0－2＝2.
二、利用数量积证明垂直问题
由于空间向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，空间图形的许多性质可以由向量的线性运算及数量积运算表示出来,因此，立体几何中的许多问题可以用向量运算的方法加以解决．
例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点， 求证：A1O⊥平面GBD.
则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
又∵OG∩BD＝O，OG⊂平面GBD，BD⊂平面GBD，∴A1O⊥平面GBD.
用向量法证明几何中垂直关系问题的思路
(1)证直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，证明这两个向量的数量积为0即可.
(2)证线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.
证:在△ADB中，∠DAB＝60°，AB＝2AD，
所以AD2＋BD2＝AB2，
三、用数量积求解夹角和模
例6 如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7， AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长.
解　由AC⊥α,可知AC⊥AB,
则∠DBD1为BD与α所成的角,即∠DBD1＝300，
过点D作DD1⊥α,D1为垂足,连接BD1，
所以∠BDD1＝600，
因为AC⊥α，DD1⊥α，所以AC∥DD1，
因为BD⊥AB，AC⊥AB，
＝242＋72＋242＋2×24×24×cs 120°＝625，
所以异面直线CA1与AB的夹角为60°.
1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－ b)·a等于( )
解 (2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|cs 120°
所以θ＝1200,则两个方向向量对应的直线的夹角为1800－1200＝60°.
4.已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝____.
解 |a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，
|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.
5.已知a＋3b与7a－5b垂直，且a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉＝_____.
解　由条件知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，
代入上面两个式子中的任意一个，得|a|＝|b|，
所以〈a，b〉＝60°.
(a－4b)·(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，两式相减得46a·b＝23|b|2，
解 不妨设正方体的棱长为1，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
∴异面直线A1B与AC所成的角为60°.
＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cs 600＋2a2cs 600＝5a2，
课本P8-9 练习1,2,3,4