高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算习题ppt课件

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| 自 学 导 引 |
〈a，b〉＝〈b，a〉吗？〈a，b〉与〈－a，b〉有什么关系？
【答案】提示：〈a，b〉＝〈b，a〉，〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉．
1．定义：已知两个非零向量a，b，则__________________叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝________________.2．数量积的运算律：
|a||b|cs〈a，b〉
|a||b|cs〈a，b〉　
3．空间两向量的数量积的性质：
|a||a|cs〈a，a〉　
【答案】(1)×　(2)×　(3)×
【解析】(1)不一定．可能是α，也可能是π－α.(2)向量a在b方向上的投影是|a|cs〈a，b〉，而cs〈a，b〉∈[－1，1]，所以投影可正可负也可以是零．(3)a·b＝a·c⇔a·(b－c)＝0，所以可能只是a与(b－c)垂直．
已知向量a，b，对于|a·b|＝|a||b|成立吗？
【答案】提示：|a·b|＝||a||b|cs〈a，b〉|≤|a||b|，所以当a与b共线时，|a·b|＝|a||b|，否则不成立．
根据实数运算的结合律a·(b·c)＝(a·b)·c，数量积运算a·(b·c)＝(a·b)·c成立吗？
【答案】提示：a·(b·c)表示与a共线的向量，而(a·b)·c表示与c共线的向量，一般二者是不等的.
| 课 堂 互 动 |
题型1　空间向量的数量积运算
素养点睛：考查数学运算的核心素养．【答案】(1)C　(2)4
求数量积的两种情况及方法(1)已知向量的模和夹角利用a·b＝|a||b|cs〈a，b〉并结合运算律进行计算．(2)在几何体中求空间向量的数量积先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．再利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积．
【答案】(1)A　(2)a2
题型2　利用数量积求夹角和模
(2)在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝1，AA1＝1，又∠BAD＝∠A1AD＝∠A1AB＝60°，则∠C1AB的余弦值是________．素养点睛：考查直观想象、数学运算的核心素养．
(2)利用数量积求夹角的余弦值：
提醒：求异面直线所成的角(或余弦值)时，易忽视向量的夹角与异面直线所成角的区别．
素养点睛：考查数学运算的核心素养．
利用空间向量解决垂直问题的方法(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积判断是否垂直．
4．已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
5．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
规范解答　利用空间向量数量积求向量的模和夹角
| 素 养 达 成 |
1．空间向量夹角定义的三个关注点(1)任意两个空间向量都是共面的，故空间向量夹角的定义与平面向量夹角的定义一样．(2)作空间两个向量夹角时要把两个向量的起点放在一起．(3)两个空间向量的夹角是唯一的，且〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．已知非零向量a，b不共线，且其模相等，则a＋b与a－b的关系是(　　)A．垂直B．共线C．不垂直D．以上都可能【答案】A【解析】因为(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，所以a＋b与a－b垂直．
4．设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60°，且|a|＝5，|b|＝3，|c|＝8，则(a＋3c)·(3b－2a)＝________.【答案】－62【解析】(a＋3c)·(3b－2a)＝3a·b－2|a|2＋9b·c－6a·c＝－62.