人教A版 (2019)必修 第一册5.6 函数 y=Asin（ ωx ＋ φ）第二课时学案

第二课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象与性质的应用(习题课)

[例1]　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求此函数的解析式．

[解]　法一：由图象知A＝3，

T＝－＝π，

∴ω＝＝2，

∴y＝3sin(2x＋φ)．

∵点在函数图象上，

∴0＝3sin.

∴－×2＋φ＝kπ，k∈Z，得φ＝＋kπ(k∈Z)．

∵|φ|<，∴φ＝.

∴y＝3sin.

法二：由法一得A＝3，ω＝2.

将最高点M的坐标代入y＝3sin(2x＋φ)，得3sin＝3.

∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋(k∈Z)．

∵|φ|＜，∴取φ＝.∴y＝3sin.

法三：由图象知A＝3.∵图象过点和，

∴解得

∴y＝3sin.

确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤

(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝；

(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝；

(3)求φ，常用方法有以下2种

[跟踪训练]

已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，则函数的解析式为________．

解析：由题意知A＝5，＝，

所以T＝＝，所以ω＝4，

所以y＝5sin(4x＋φ)．

又因为图象经过点，所以＝5sin φ，

即sin φ＝，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0＜φ＜，所以φ＝，

所以这个函数的解析式为y＝5sin.

答案：y＝5sin

[例2]　在函数y＝2sin的图象的对称中心中，离原点最近的一个中心的坐标是________．

[解析]　由4x＋＝kπ(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)

∴函数y＝2sin的图象的对称中心坐标为(k∈Z)．

取k＝1，得满足条件．

[答案]　

[母题探究]

1．(变条件)将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果如何？

解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，

得x＝－(k∈Z)，

取k＝0时，x＝－.

则所求对称中心为.

2．(变条件，变设问)将本例中对称中心改为对称轴，其他条件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程．

解：由4x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

取k＝0，x＝－满足题意，故离y轴最近的一条对称轴方程为x＝－.

三角函数对称轴、对称中心的求法

[跟踪训练]

函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝－对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

解析：选D　函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，可得y＝cos的图象，

根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝－，∴f(x)＝cos.

令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故排除A；

令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故排除B；

令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故排除C，D满足条件，故选D.

[例3]　(链接教科书第238页例2)如图，一个水轮的半径为4 m，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上一点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．

(1)将点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数；

(2)点P第一次到达最高点需要多长时间？

[解]　(1)如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝.

又水轮的半径为4 m，

圆心O距离水面2 m，

所以z＝4sin＋2.

当t＝0时，z＝0，得sin φ＝－，即φ＝－.

故所求的函数表达式为z＝4sin＋2.

(2)令z＝4sin＋2＝6，

得sin＝1.

取t－＝，得t＝4.

故点P第一次到达最高点需要4 s.

匀速圆周运动的数学模型一般都归结为正弦型或余弦型函数形式．此类问题的切入点是初始位置及其半径、周期的值要明确，半径决定了A，周期能确定ω，初始位置的不同对φ有影响，还要注意最大值、最小值与函数中参数的关系．　　　　

[跟踪训练]

　一个大风车的半径为6 m，每12 min旋转一周，它的最低点P0离地面2 m，风车翼片的一个端点P从P0开始按逆时针方向旋转，则点P离地面的距离h(t)(m)与时间t(min)之间的函数关系式是(　　)

A．h(t)＝－6sin t＋6

B．h(t)＝－6cos t＋6

C．h(t)＝－6sin t＋8

D．h(t)＝－6cos t＋8

解析：选D　设h(t)＝Acos ωt＋B(A<0，ω>0)，∵每12 min旋转一周，∴＝12，∴ω＝.由题意得，h(t)的最大值与最小值分别为14，2，∴

解得∴h(t)＝－6cos t＋8.

1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)

A．关于点对称

B．关于直线x＝对称

C．关于点对称

D．关于直线x＝对称

解析：选A　由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin.该函数图象关于点对称．

2．如图所示的曲线是函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，求函数f(x)的解析式．

解：由函数图象可知A＝2，T＝×＝π，即＝π，∴ω＝2.又是五点作图法中的第五个点，即2×＋φ＝2π，∴φ＝.∴所求函数的解析式为y＝2sin.