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2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）期中数学试卷
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这是一份2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）期中数学试卷，共26页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算|﹣2+1|的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
2．（3分）数0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5
4．（3分）某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（ ）
A．53，56 B．53，63 C．56，56 D．56，63
5．（3分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
A．48cm3 B．72cm3 C．144cm3 D．288cm3
6．（3分）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（3分）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（3分）如图，四边形ABCD中∠ABC＝90，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD′，连接DD′，当DD′的长取得最大值时，AB长为（ ）
A．3 B． C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分共24分）
9．（3分）函数中自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题“今有三人共车，两车空：两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人需步行．问人数和车数分别为多少？设人数为x，由题意可列出的一元一次方程是 ．
11．（3分）已知4x2+x﹣5＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2的值为 ．
12．（3分）若圆锥的母线长为12cm，侧面积为60πcm2，则该圆锥的底面半径为 cm．
13．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为 ．
15．（3分）已知α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，且α2﹣α+β＝5，则k的值为 ．
16．（3分）如图，已知直线y＝kx+b与函数y（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）先化简，再求值：其中x＝3．
20．（8分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（酵素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
m
16
n
4
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；n＝ ；p＝ ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
21．（10分）将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．
（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，6）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
24．（10分）如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC＝6，OD＝8．按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；
③作射线OG；
④分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；
⑤作直线HI，交射线OG于点P．
回答下列问题：
（1）连接PC、PD，填空：
由作法可知，点P在∠AOB的 上，∴点P到OA、OB的 相等．
由作法可知，点P在线段CD的 上，∴PC＝ ．
（2）若OP＝5，求PC的长．
25．（12分）如图1，矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关如图2所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．
（1）直接写出AD的长是 ，AB的长是 ．
（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+2a过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤1时，y的最小值为4，求抛物线的顶点坐标；
（3）若点B（n﹣3，y1）、C（n，y2）、D（n+2，y3）都在该抛物线上，且总有y1＜y3＜y2，求n的取值范围．
27．（13分）对于平面直角坐标系xOy中的点T和线段PQ（PQ≥2），给出如下定义：如果线段PQ上存在两个点A、B，使△TAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB长不大于2，则称点T为线段PQ的“美妙点”．
（1）已知点P（﹣2，0），Q（2，0），在点T1（，1），T2（﹣1，），T3（，﹣1），T4（，）中，是线段PQ的“美妙点”有点 ；
（2）已知点P（﹣3，0），Q（0，4），当点T（x，y）既是线段OP的“美妙点”，又是线段OQ的“美妙点”时，请结合图象写出y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，当点T（t，2t+b）是线段PQ的“美妙点”时，直接写出b的取值范围．
2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算|﹣2+1|的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【解答】解：|﹣2+1|＝|﹣1|＝1．
故选：D．
2．（3分）数0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：数0.002021用科学记数法表示为2.021×10﹣3，则m的值为﹣3．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5
【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；
B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；
C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；
D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；
故选：B．
4．（3分）某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（ ）
A．53，56 B．53，63 C．56，56 D．56，63
【解答】解：由题意可知：这组数据从小到大排列为：38，40，50，56，56，63，63，63，
∴处在中间的两个数分别为56，56，
∴这组数的中位数是56；
∵63出现的次数最多，
∴这组数的众数是63，
故选：D．
5．（3分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
A．48cm3 B．72cm3 C．144cm3 D．288cm3
【解答】解：∵俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为6cm，长方体的高为8cm，
∴长方体的体积为：6×6÷2×8＝144（cm3）．
故选：C．
6．（3分）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BMAB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故选：A．
7．（3分）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，
甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟），
乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确；
甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确；
A、C两地之间的距离为60×30＝1800（米），
乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确．
即正确的说法有3个．
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD中∠ABC＝90，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD′，连接DD′，当DD′的长取得最大值时，AB长为（ ）
A．3 B． C． D．2
【解答】解：连接AD'，AC，
由题意得：∠DBD'＝90°＝∠DBA+∠ABD'，
∵∠ABC＝90°＝∠ABD+DBC，
∴∠ABD'＝∠DBC，
在△D'BA和△DBC中，
，
∴△D'BA≌△DBC（SAS），
∴AD'＝CD＝4，
在△ADD'中，AD'+AD＞DD'，当A点在DD'上时，DD'最大为6，
此时∠ADB＝45°，
∵△D'BA≌△DBC，
∴∠BDC＝45°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，
AC，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2＝AC2＝20，
∴2AB2＝20，
∴AB，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分共24分）
9．（3分）函数中自变量x的取值范围是 x ．
【解答】解：由题意得：2x+1≥0，
解得：x，
故答案为：x．
10．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题“今有三人共车，两车空：两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人需步行．问人数和车数分别为多少？设人数为x，由题意可列出的一元一次方程是 2 ．
【解答】解：设人数为x，根据题意得：2．
故答案是：2．
11．（3分）已知4x2+x﹣5＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2的值为 5 ．
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2
＝9x2﹣4﹣（x2﹣2x+1）
＝9x2﹣4﹣x2+2x﹣1
＝8x2+2x﹣5
＝2（4x2+x）﹣5，
∵4x2+x﹣5＝0，
∴4x2+x＝5，
∴原式＝2×5﹣5
＝5．
故答案为：5．
12．（3分）若圆锥的母线长为12cm，侧面积为60πcm2，则该圆锥的底面半径为 5 cm．
【解答】解：设底面圆半径rcm，
因为母线长为12cm，侧面积＝π×12×r＝60π，
解得r＝5，
故答案为：5．
13．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 0＜a≤1 ．
【解答】解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，
∵不等式组的整数解有2个，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为 ．
【解答】解：∵四边形DGFE为正方形，
∴DG∥EF∥BC，DG＝EF，
∴△ADG∽△ABC，△AEF∽△AHC，
∴，，
设DG＝EF＝x，
∴，，
∴AG＝2x，
∴，
∴CH．
故答案为．
15．（3分）已知α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，且α2﹣α+β＝5，则k的值为 ﹣3 ．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，
解得k≤1，
∵α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴α2﹣2α+k＝0，α+β＝2，
∴α2﹣2α＝﹣k，
∵α2﹣α+β＝5，
∴α2﹣2α+α+β＝5，
∴﹣k+2＝5，
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．（3分）如图，已知直线y＝kx+b与函数y（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为 27 ．
【解答】解：连接AE，
∵点D为AB中点，
∴S△ACD＝S△BCD，S△BDE＝S△ADE，
∴S△BCE＝S△ACE，
∵△BEC的面积为，
∴S△ACE，
∵A点在反比例函数y上，
∴m＝27，
故答案为：27．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：
1+32
1+3
．
18．（6分）解方程组：．
【解答】解：，
由①得：x＝4﹣2y，代入②得：3（4﹣2y）﹣4y＝2，
解得：y＝1，
把y＝1代入x＝4﹣2y得：x＝2，
则方程组的解是：．
19．（6分）先化简，再求值：其中x＝3．
【解答】解：
•
，
当x＝3时，原式．
20．（8分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（酵素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
m
16
n
4
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ；n＝ 4 ；p＝ 10 ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 36 度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
【解答】解：（1）m＝40×30%＝12（人），
n＝40﹣4﹣12﹣16﹣4＝4（人），
p%100%＝10%，即p＝10，
扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角是：360°×10%＝36°，
故答案为：12，4，10，36；
（2）补全条形统计图：
2400×10%＝240（名），
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团；
（3）画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中两名同学选择环保类同一社团项目的结果有5种，
∴该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率为：．
21．（10分）将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．
（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的数字之和大于5的结果有6种，
∴两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率为；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的结果有8种，
∴两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率为．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，6）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝2x平移得到，
∴k＝2，
将点（2，6）代入y＝2x+b，
得4+b＝6，解得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）把点（2，6）代入y＝mx，
解得m＝3，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝2x+2的值，
∴m≥3．
23．（10分）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
【解答】解：过P作PB⊥AM于B，
在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，
∴PBAP32＝16海里，
∵16＜16，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，
由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，
∵sin∠PAC，
∴在Rt△PAD中，∠PAC＝60°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°．
答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始沿南偏东至多60°度方向航行才能安全通过这一海域．
24．（10分）如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC＝6，OD＝8．按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；
③作射线OG；
④分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；
⑤作直线HI，交射线OG于点P．
回答下列问题：
（1）连接PC、PD，填空：
由作法可知，点P在∠AOB的 平分线 上，∴点P到OA、OB的 距离 相等．
由作法可知，点P在线段CD的 垂直平分线 上，∴PC＝ PD ．
（2）若OP＝5，求PC的长．
【解答】解：（1）由作法可知，点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到OA、OB的距离相等．
由作法可知，点P在线段CD的垂直平分线上，
∴PC＝PD．
故答案为：平分线，距离；垂直平分线，PD；
（2）如图，过点P作PM⊥OD，PN⊥OA于点M，N，
∴PN＝PM，
在Rt△PCN和Rt△PDM中，
，
∴Rt△PCN≌Rt△PDM（HL），
∴CN＝DM，ON＝OM，
∴ON＝OC+CN＝6+CN，OM＝OD﹣DM＝8﹣DM＝8﹣CN，
∴6+CN＝8﹣CN，
∴CN＝1，
∴ON＝7，
∵OP＝5，
∴PN1，
∴PC，
∴PC的长为．
25．（12分）如图1，矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关如图2所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．
（1）直接写出AD的长是 4 ，AB的长是 3 ．
（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．
【解答】解：（1）由图象可知x的最大值为4，
∴AD＝4，
当AD＝4时，
y的值为6，
∴AB×4＝6，
解得A：B＝3，
故答案为：4，3；
（2）如图，若点Q在对角线AC上，BP交AQ于点H，
则，
∴PHx，
AH，
由勾股定理得：x2＝（）2+（x）2，
解得x，
当Q在对角线BD上时，如图，
由勾股定理得：x2+（5﹣3）2＝（4﹣x）2，
解得x，
∴x的值为或．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+2a过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤1时，y的最小值为4，求抛物线的顶点坐标；
（3）若点B（n﹣3，y1）、C（n，y2）、D（n+2，y3）都在该抛物线上，且总有y1＜y3＜y2，求n的取值范围．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣bx+2a得：
4a+2b+2a＝0，
∴b＝﹣3a，
∴抛物线对称轴为：直线x；
（2）当a＞0时，
∵抛物线对称轴为：直线x，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
∵y的最小值为4，
∴抛物线经过（0，4），
∴2a＝4，
解得：a＝2，
∴y＝2x2+6x+4，
当x时，y＝26×（）+4，
∴抛物线顶点坐标为（，），
当a＜0时，
∵抛物线对称轴为：直线x，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∵y的最小值为4，
∴抛物线经过（1，4），
∴a﹣b+2a＝4，
即a+3a+2a＝4，
解得：a0（舍去），
综上所述，抛物线的顶点坐标为（，）；
（3）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣bx+2a＝ax2+3ax+2a，
∴顶点坐标为（，），
∵总有y1＜y3＜y2，
∴抛物线开口向下，
当点C在对称轴上或左边，点D在对称轴右边时，
，
解得：n，
当点C在对称右边，点B在对称轴左边时，
，
解得：n＜﹣1，
综上所述，n＜﹣1．
27．（13分）对于平面直角坐标系xOy中的点T和线段PQ（PQ≥2），给出如下定义：如果线段PQ上存在两个点A、B，使△TAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB长不大于2，则称点T为线段PQ的“美妙点”．
（1）已知点P（﹣2，0），Q（2，0），在点T1（，1），T2（﹣1，），T3（，﹣1），T4（，）中，是线段PQ的“美妙点”有点 T1，T3 ；
（2）已知点P（﹣3，0），Q（0，4），当点T（x，y）既是线段OP的“美妙点”，又是线段OQ的“美妙点”时，请结合图象写出y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，当点T（t，2t+b）是线段PQ的“美妙点”时，直接写出b的取值范围．
【解答】（1）①∵P（﹣2，0），Q（2，0），T1（，1），
∴线段PQ在x轴线上，
∴△ABT1在AB为底上的高为1，
∴AB＝2×1＝2．（“美妙点”中的AB≤2），
AB边上的中线为x，
∴A为1，B为1，
即A（，0），B（，0）在线段PQ上，（点AB在线段PQ上时，才存在“美妙点”），
∴T1是线段PQ的“美妙点”；
②当T2（﹣1，）时，
同理可得AB2，
∴T2不是线段PQ的“美妙点”；
③当T3（，﹣1）时，
同理可得AB＝2，
A（，0），B（，0），
∴T3是线段PQ的“美妙点”；
④当T4（，）时，
A的橫坐标为，B的橫坐标为，
∴A（，0），B（，0），A（，0）不在线段PQ上，
∴T4不是线段PQ的“美妙点”；
综上所述，是线段PQ的“美妙点”有点T1，T3．
故答案为：T1，T3；
（2）∵点P（﹣3，0），Q（0，4），
∴OP＝3，OQ＝4，
OP的“美妙点”，必定在以OP为对角线的正方形内①，
OQ的“美妙点”必定在以OQ为对角线的正方形内②，
过点O作∠POQ的角平分线OD交PQ于点D，
∵∠POD＝45°，∠QOD＝45°，
∴①中正方形的边与②中正方形的边必定包含边OD，
∵AB≤2，
∴当A为（0，0）时，B点的坐标最远可为（0，2）或（﹣2，0），
此时，T1为（﹣1，1），
∴T可在线段T1O中，
∴T（x，y）中，
∴线段T1O的k值为﹣1，
∴y＝﹣x（﹣1≤x＜0）；
（3）∵直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，
∴P（﹣3，0），Q（0，3），
由题意可得点T在直线y＝2x+b上，如图可得（﹣3，）、（0，3）为符合题意的两个极端点，
代入y＝2x+b可得3b≤6．
∴3b≤6．
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2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）期中数学试卷
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算|﹣2+1|的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
2．（3分）数0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5
4．（3分）某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（ ）
A．53，56 B．53，63 C．56，56 D．56，63
5．（3分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
A．48cm3 B．72cm3 C．144cm3 D．288cm3
6．（3分）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．（3分）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．（3分）如图，四边形ABCD中∠ABC＝90，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD′，连接DD′，当DD′的长取得最大值时，AB长为（ ）
A．3 B． C． D．2
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分共24分）
9．（3分）函数中自变量x的取值范围是 ．
10．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题“今有三人共车，两车空：两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人需步行．问人数和车数分别为多少？设人数为x，由题意可列出的一元一次方程是 ．
11．（3分）已知4x2+x﹣5＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2的值为 ．
12．（3分）若圆锥的母线长为12cm，侧面积为60πcm2，则该圆锥的底面半径为 cm．
13．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 ．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为 ．
15．（3分）已知α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，且α2﹣α+β＝5，则k的值为 ．
16．（3分）如图，已知直线y＝kx+b与函数y（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解方程组：．
19．（6分）先化简，再求值：其中x＝3．
20．（8分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（酵素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
m
16
n
4
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ ；n＝ ；p＝ ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
21．（10分）将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．
（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，6）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
23．（10分）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
24．（10分）如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC＝6，OD＝8．按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；
③作射线OG；
④分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；
⑤作直线HI，交射线OG于点P．
回答下列问题：
（1）连接PC、PD，填空：
由作法可知，点P在∠AOB的 上，∴点P到OA、OB的 相等．
由作法可知，点P在线段CD的 上，∴PC＝ ．
（2）若OP＝5，求PC的长．
25．（12分）如图1，矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关如图2所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．
（1）直接写出AD的长是 ，AB的长是 ．
（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+2a过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤1时，y的最小值为4，求抛物线的顶点坐标；
（3）若点B（n﹣3，y1）、C（n，y2）、D（n+2，y3）都在该抛物线上，且总有y1＜y3＜y2，求n的取值范围．
27．（13分）对于平面直角坐标系xOy中的点T和线段PQ（PQ≥2），给出如下定义：如果线段PQ上存在两个点A、B，使△TAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB长不大于2，则称点T为线段PQ的“美妙点”．
（1）已知点P（﹣2，0），Q（2，0），在点T1（，1），T2（﹣1，），T3（，﹣1），T4（，）中，是线段PQ的“美妙点”有点 ；
（2）已知点P（﹣3，0），Q（0，4），当点T（x，y）既是线段OP的“美妙点”，又是线段OQ的“美妙点”时，请结合图象写出y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，当点T（t，2t+b）是线段PQ的“美妙点”时，直接写出b的取值范围．
2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海实验中学九年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）计算|﹣2+1|的结果是（ ）
A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1
【解答】解：|﹣2+1|＝|﹣1|＝1．
故选：D．
2．（3分）数0.002021用科学记数法表示为2.021×10m，则m的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．2 D．3
【解答】解：数0.002021用科学记数法表示为2.021×10﹣3，则m的值为﹣3．
故选：B．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．a2•a3＝a5 C．a3÷a2＝a5 D．（a2）3＝a5
【解答】解：A．a2+a3≠a5，所以A选项错误；
B．a2•a3＝a5，所以B选项正确；
C．a3÷a2＝a，所以C选项错误；
D．（a2）3＝a6，所以D选项错误；
故选：B．
4．（3分）某校九（1）班语文课代表统计了去年1～8月“我爱读书”活动中全班同学的课外阅读数量（单位：本），绘制了如图折线统计图，在这组课外阅读数量的数据中，中位数和众数分别是（ ）
A．53，56 B．53，63 C．56，56 D．56，63
【解答】解：由题意可知：这组数据从小到大排列为：38，40，50，56，56，63，63，63，
∴处在中间的两个数分别为56，56，
∴这组数的中位数是56；
∵63出现的次数最多，
∴这组数的众数是63，
故选：D．
5．（3分）一个长方体的三视图如图所示，若其俯视图为正方形，则这个长方体的体积为（ ）
A．48cm3 B．72cm3 C．144cm3 D．288cm3
【解答】解：∵俯视图为正方形，根据主视图可得：正方形对角线为6cm，长方体的高为8cm，
∴长方体的体积为：6×6÷2×8＝144（cm3）．
故选：C．
6．（3分）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：连接OA，如图，设⊙O的半径为r，则OA＝r，OM＝16﹣r，
∵AB⊥CD，
∴AM＝BMAB＝8，
在Rt△AOM中，82+（16﹣r）2＝r2，解得r＝10，
∴MD＝CD﹣CM＝20﹣16＝4．
故选：A．
7．（3分）甲、乙两人分别从笔直道路上的A、B两地出发相向匀速而行，已知甲比乙先出发6分钟，两人在C地相遇，相遇后甲立即按原速原路返回A地，乙继续向A地前行，约定先到A地者停止运动就地休息．若甲、乙两人相距的路程y（米）与甲行走的时间x（分钟）之间的关系如图所示，有下列说法：①甲的速度是60米/分钟，乙的速度是80米/分钟；②甲出发30分钟时，两人在C地相遇；③乙到达A地时，甲与A地相距450米，其中正确的说法有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解答】解：由图象可知，A、B两地相距3720米，
甲的速度为（3720﹣3360）÷6＝60（米/分钟），
乙的速度为（3360﹣1260）÷（21﹣6）﹣60＝80（米/分钟），故①说法正确；
甲、乙相遇的时间为6+3360÷（60+80）＝30（分钟），故②说法正确；
A、C两地之间的距离为60×30＝1800（米），
乙到达A地时，甲与A地相距的路程为1800﹣1800÷80×60＝450（米）．故③说法正确．
即正确的说法有3个．
故选：D．
8．（3分）如图，四边形ABCD中∠ABC＝90，AB＝CB，AD＝2，CD＝4，将BD绕点B逆时针旋转90°得BD′，连接DD′，当DD′的长取得最大值时，AB长为（ ）
A．3 B． C． D．2
【解答】解：连接AD'，AC，
由题意得：∠DBD'＝90°＝∠DBA+∠ABD'，
∵∠ABC＝90°＝∠ABD+DBC，
∴∠ABD'＝∠DBC，
在△D'BA和△DBC中，
，
∴△D'BA≌△DBC（SAS），
∴AD'＝CD＝4，
在△ADD'中，AD'+AD＞DD'，当A点在DD'上时，DD'最大为6，
此时∠ADB＝45°，
∵△D'BA≌△DBC，
∴∠BDC＝45°，
∴∠ADC＝90°，
在Rt△ADC中，
AC，
在Rt△ABC中，
AB2+BC2＝AC2＝20，
∴2AB2＝20，
∴AB，
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分共24分）
9．（3分）函数中自变量x的取值范围是 x ．
【解答】解：由题意得：2x+1≥0，
解得：x，
故答案为：x．
10．（3分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题“今有三人共车，两车空：两人共车，九人步．问人与车各几何？”其大意是每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人需步行．问人数和车数分别为多少？设人数为x，由题意可列出的一元一次方程是 2 ．
【解答】解：设人数为x，根据题意得：2．
故答案是：2．
11．（3分）已知4x2+x﹣5＝0，则代数式（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2的值为 5 ．
【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）﹣（x﹣1）2
＝9x2﹣4﹣（x2﹣2x+1）
＝9x2﹣4﹣x2+2x﹣1
＝8x2+2x﹣5
＝2（4x2+x）﹣5，
∵4x2+x﹣5＝0，
∴4x2+x＝5，
∴原式＝2×5﹣5
＝5．
故答案为：5．
12．（3分）若圆锥的母线长为12cm，侧面积为60πcm2，则该圆锥的底面半径为 5 cm．
【解答】解：设底面圆半径rcm，
因为母线长为12cm，侧面积＝π×12×r＝60π，
解得r＝5，
故答案为：5．
13．（3分）若关于x的不等式组，恰有2个整数解，则a的取值范围为 0＜a≤1 ．
【解答】解：解不等式3x≤4x+1，得：x≥﹣1，
解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
则不等式组的解集为﹣1≤x＜a，
∵不等式组的整数解有2个，
∴0＜a≤1，
故答案为：0＜a≤1．
14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AC＝4，若正方形DEFG的顶点D在AB上，顶点F、G都在AC上，射线AE交BC边于点H，则CH长为 ．
【解答】解：∵四边形DGFE为正方形，
∴DG∥EF∥BC，DG＝EF，
∴△ADG∽△ABC，△AEF∽△AHC，
∴，，
设DG＝EF＝x，
∴，，
∴AG＝2x，
∴，
∴CH．
故答案为．
15．（3分）已知α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，且α2﹣α+β＝5，则k的值为 ﹣3 ．
【解答】解：∵方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k≥0，
解得k≤1，
∵α，β是方程x2﹣2x+k＝0的两个实数根，
∴α2﹣2α+k＝0，α+β＝2，
∴α2﹣2α＝﹣k，
∵α2﹣α+β＝5，
∴α2﹣2α+α+β＝5，
∴﹣k+2＝5，
∴k＝﹣3，
故答案为﹣3．
16．（3分）如图，已知直线y＝kx+b与函数y（x＞0）的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，点D为AB中点，线段CD交y轴于点E，连接BE．若△BEC的面积为，则m的值为 27 ．
【解答】解：连接AE，
∵点D为AB中点，
∴S△ACD＝S△BCD，S△BDE＝S△ADE，
∴S△BCE＝S△ACE，
∵△BEC的面积为，
∴S△ACE，
∵A点在反比例函数y上，
∴m＝27，
故答案为：27．
三、解答题（本大题共11小题，共102分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：
1+32
1+3
．
18．（6分）解方程组：．
【解答】解：，
由①得：x＝4﹣2y，代入②得：3（4﹣2y）﹣4y＝2，
解得：y＝1，
把y＝1代入x＝4﹣2y得：x＝2，
则方程组的解是：．
19．（6分）先化简，再求值：其中x＝3．
【解答】解：
•
，
当x＝3时，原式．
20．（8分）“保护生存环境建设美好家园”是学校开展环保类社团活动之宗旨，为了解某校全体学生参加该学校五个环保类社团项目的意愿，随机抽取了40名学生进行问卷调查，每人只能从中选择一个项目，现将问卷调查结果绘制成不完整的统计图表．
社团名称
A（环保义工）
B（绿植养护）
C（酵素制作）
D（回收材料）
E（垃圾分类）
人数
4
m
16
n
4
请你根据以上信息解答下列问题：
（1）填空：m＝ 12 ；n＝ 4 ；p＝ 10 ；扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角等于 36 度；
（2）请补全条形统计图：若该校有2400名学生，估计全校约有多少名学生意愿参加回收材料社团？
（3）请用树状图或列表法求随机抽取该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率．
【解答】解：（1）m＝40×30%＝12（人），
n＝40﹣4﹣12﹣16﹣4＝4（人），
p%100%＝10%，即p＝10，
扇形统计图中D（回收材料）部分扇形的圆心角是：360°×10%＝36°，
故答案为：12，4，10，36；
（2）补全条形统计图：
2400×10%＝240（名），
答：估计全校约有240名学生意愿参加回收材料社团；
（3）画树状图如下：
共有25种等可能的结果，其中两名同学选择环保类同一社团项目的结果有5种，
∴该校两名同学选择环保类同一社团项目的概率为：．
21．（10分）将正面分别标有数字1，2，3，6，背面花色相同的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上，先从中随机抽取一张，再从剩下的三张中随机抽取第二张．
（1）求两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率；
（2）求两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的数字之和大于5的结果有6种，
∴两次抽取的卡片上的数字之和大于5的概率为；
（2）由（1）可知，共有12种等可能的结果，其中两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的结果有8种，
∴两次抽取的卡片上的数字之和为奇数的概率为．
22．（9分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝2x的图象平移得到，且经过点（2，6）．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值均大于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝2x平移得到，
∴k＝2，
将点（2，6）代入y＝2x+b，
得4+b＝6，解得b＝2，
∴一次函数的解析式为y＝2x+2；
（2）把点（2，6）代入y＝mx，
解得m＝3，
∵当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值大于一次函数y＝2x+2的值，
∴m≥3．
23．（10分）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为16nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60°的方向上，且A、P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东至多多少度方向航行才能安全通过这一海域？
【解答】解：过P作PB⊥AM于B，
在Rt△APB中，∵∠PAB＝30°，
∴PBAP32＝16海里，
∵16＜16，
故轮船有触礁危险．
为了安全，应改变航行方向，并且保证点P到航线的距离不小于暗礁的半径16海里，即这个距离至少为16海里，
设安全航向为AC，作PD⊥AC于点D，
由题意得，AP＝32海里，PD＝16海里，
∵sin∠PAC，
∴在Rt△PAD中，∠PAC＝60°，
∴∠BAC＝∠PAC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°．
答：若轮船继续向正东方向航行，轮船有触礁危险．轮船自A处开始沿南偏东至多60°度方向航行才能安全通过这一海域．
24．（10分）如图，线段CD的两个端点分别在∠AOB的两边OA、OB上，OC＝6，OD＝8．按以下步骤作图：
①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于点E、F；
②分别以点E、F为圆心，大于EF长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点G；
③作射线OG；
④分别以点C、D为圆心，大于CD长为半径画弧，两弧相交于点H、I；
⑤作直线HI，交射线OG于点P．
回答下列问题：
（1）连接PC、PD，填空：
由作法可知，点P在∠AOB的 平分线 上，∴点P到OA、OB的 距离 相等．
由作法可知，点P在线段CD的 垂直平分线 上，∴PC＝ PD ．
（2）若OP＝5，求PC的长．
【解答】解：（1）由作法可知，点P在∠AOB的平分线上，
∴点P到OA、OB的距离相等．
由作法可知，点P在线段CD的垂直平分线上，
∴PC＝PD．
故答案为：平分线，距离；垂直平分线，PD；
（2）如图，过点P作PM⊥OD，PN⊥OA于点M，N，
∴PN＝PM，
在Rt△PCN和Rt△PDM中，
，
∴Rt△PCN≌Rt△PDM（HL），
∴CN＝DM，ON＝OM，
∴ON＝OC+CN＝6+CN，OM＝OD﹣DM＝8﹣DM＝8﹣CN，
∴6+CN＝8﹣CN，
∴CN＝1，
∴ON＝7，
∵OP＝5，
∴PN1，
∴PC，
∴PC的长为．
25．（12分）如图1，矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关如图2所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．
（1）直接写出AD的长是 4 ，AB的长是 3 ．
（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．
【解答】解：（1）由图象可知x的最大值为4，
∴AD＝4，
当AD＝4时，
y的值为6，
∴AB×4＝6，
解得A：B＝3，
故答案为：4，3；
（2）如图，若点Q在对角线AC上，BP交AQ于点H，
则，
∴PHx，
AH，
由勾股定理得：x2＝（）2+（x）2，
解得x，
当Q在对角线BD上时，如图，
由勾股定理得：x2+（5﹣3）2＝（4﹣x）2，
解得x，
∴x的值为或．
26．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣bx+2a过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤1时，y的最小值为4，求抛物线的顶点坐标；
（3）若点B（n﹣3，y1）、C（n，y2）、D（n+2，y3）都在该抛物线上，且总有y1＜y3＜y2，求n的取值范围．
【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax2﹣bx+2a得：
4a+2b+2a＝0，
∴b＝﹣3a，
∴抛物线对称轴为：直线x；
（2）当a＞0时，
∵抛物线对称轴为：直线x，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而增大，
∵y的最小值为4，
∴抛物线经过（0，4），
∴2a＝4，
解得：a＝2，
∴y＝2x2+6x+4，
当x时，y＝26×（）+4，
∴抛物线顶点坐标为（，），
当a＜0时，
∵抛物线对称轴为：直线x，
∴当0≤x≤1时，y随x的增大而减小，
∵y的最小值为4，
∴抛物线经过（1，4），
∴a﹣b+2a＝4，
即a+3a+2a＝4，
解得：a0（舍去），
综上所述，抛物线的顶点坐标为（，）；
（3）∵抛物线解析式为y＝ax2﹣bx+2a＝ax2+3ax+2a，
∴顶点坐标为（，），
∵总有y1＜y3＜y2，
∴抛物线开口向下，
当点C在对称轴上或左边，点D在对称轴右边时，
，
解得：n，
当点C在对称右边，点B在对称轴左边时，
，
解得：n＜﹣1，
综上所述，n＜﹣1．
27．（13分）对于平面直角坐标系xOy中的点T和线段PQ（PQ≥2），给出如下定义：如果线段PQ上存在两个点A、B，使△TAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB长不大于2，则称点T为线段PQ的“美妙点”．
（1）已知点P（﹣2，0），Q（2，0），在点T1（，1），T2（﹣1，），T3（，﹣1），T4（，）中，是线段PQ的“美妙点”有点 T1，T3 ；
（2）已知点P（﹣3，0），Q（0，4），当点T（x，y）既是线段OP的“美妙点”，又是线段OQ的“美妙点”时，请结合图象写出y与x的关系式，并写出x的取值范围；
（3）直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，当点T（t，2t+b）是线段PQ的“美妙点”时，直接写出b的取值范围．
【解答】（1）①∵P（﹣2，0），Q（2，0），T1（，1），
∴线段PQ在x轴线上，
∴△ABT1在AB为底上的高为1，
∴AB＝2×1＝2．（“美妙点”中的AB≤2），
AB边上的中线为x，
∴A为1，B为1，
即A（，0），B（，0）在线段PQ上，（点AB在线段PQ上时，才存在“美妙点”），
∴T1是线段PQ的“美妙点”；
②当T2（﹣1，）时，
同理可得AB2，
∴T2不是线段PQ的“美妙点”；
③当T3（，﹣1）时，
同理可得AB＝2，
A（，0），B（，0），
∴T3是线段PQ的“美妙点”；
④当T4（，）时，
A的橫坐标为，B的橫坐标为，
∴A（，0），B（，0），A（，0）不在线段PQ上，
∴T4不是线段PQ的“美妙点”；
综上所述，是线段PQ的“美妙点”有点T1，T3．
故答案为：T1，T3；
（2）∵点P（﹣3，0），Q（0，4），
∴OP＝3，OQ＝4，
OP的“美妙点”，必定在以OP为对角线的正方形内①，
OQ的“美妙点”必定在以OQ为对角线的正方形内②，
过点O作∠POQ的角平分线OD交PQ于点D，
∵∠POD＝45°，∠QOD＝45°，
∴①中正方形的边与②中正方形的边必定包含边OD，
∵AB≤2，
∴当A为（0，0）时，B点的坐标最远可为（0，2）或（﹣2，0），
此时，T1为（﹣1，1），
∴T可在线段T1O中，
∴T（x，y）中，
∴线段T1O的k值为﹣1，
∴y＝﹣x（﹣1≤x＜0）；
（3）∵直线y＝x+3与坐标轴交于点P、Q，
∴P（﹣3，0），Q（0，3），
由题意可得点T在直线y＝2x+b上，如图可得（﹣3，）、（0，3）为符合题意的两个极端点，
代入y＝2x+b可得3b≤6．
∴3b≤6．
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