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试卷 江苏省苏州市姑苏区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案）
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这是一份试卷 江苏省苏州市姑苏区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷（word版 含答案），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省苏州市姑苏区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．0或-1
2．若一元二次方程x2+x－2=0的解为x1、x2，则x1•x2的值是（ ）
A．1 B．—1 C．2 D．—2
3．（2013年四川泸州2分）某校七年级有5名同学参加设计比赛，成绩分为为7，8，9，10，8（单位：环）．则这5名同学成绩的众数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
6．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
7．在半径为2cm的圆O中，用刻度尺（单位：cm）测得弦AB的长如图所示，则劣弧AB的长为（ ）cm．
A． B．2π C．π D．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O点F为的中点，直线AP与⊙O相切于点A，则∠FAP的度数是（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
12．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是，，，，你认为派______谁去参赛更合适．
13．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为_____．
14．a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
15．如图，△ABC内接于，∠A=50°，OE⊥BC于E, 连接OE并延长，交于点D，连接BD，则∠D的大小为_____．
16．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，，．若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．
17．如图，PA、PB分别与相切于点A，B，点M在PB上，且OMAP，MN⊥AP，垂足为点N．若的半径R=3， PA=9，则OM的长是_____．
18．如图，△ABC内接于，∠BAC=45°，AD⊥BC于D， BD=6，DC=4，则AD的长是_____．
三、解答题
19．解方程：
（1）（x-2）2-16= 0；
（2）2（x+1）-x（x+1）=0；
（3）x2-4x-6=0；
（4）（3y-1）（y+1）=4．
20．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根．
21．本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；
（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 本；
（3）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（4）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
22．甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是______；
（2）随机抽取2名，请用画树状图的方法求甲在其中的概率．
23．某商店销售一批小家电，每台成本40元，经市场调研，当每台售价定为52元时，可销售180台；若每台售价每增加1元，销售量将减少10台．
（1）如果每台小家电售价增加2元，则该商店可销售______台；
（2）商店销售该家电获利200元，那么每台售价应增加多少元？
24．如图，在中，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
25．在直角坐标系中，的圆心M在y轴上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，-2），点A的坐标为（4，0），
（1）求证：∠PAC= ∠CAO；
（2）求的半径r；
（3）求直线PA的解析式；
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．
27．如图①，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，边BA上一动点M从点B出发向点A匀速运动，速度为2cm/s，过点M作MN⊥BC，垂足为N，以MN为边长作等边△MNP，点B，P在直线MN的异侧，连接AP．设点M的运动时间为t(s)．
（1）当t=2(s)时，AP= cm；(直接写出答案)
（2）连接BP，若△ABP为等腰三角形，求t的值；
（3）如图②，经过点B，M，P作⊙O，连接MD，当MD与⊙O相切时，则t的值等于 (s)．(直接写出答案)
28．如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E- B-C匀速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD．上的点，AQ=10，设△APQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．
（1）图①中AB= ，BC= ，图②中m= ；
（2）当t=1秒时，试判断以PQ为直径的圆是否与BC边相切?请说明理由；
（3）点P运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A'落在矩形的BC边上．
参考答案
1．A
【分析】
把x=1代入已知方程可得关于m的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：把x=1代入方程，得：1－2m+1=0，解得：m=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题目，掌握解答的方法是解题关键．
2．D
【详解】
试题解析：根据题意得x1•x2==-2．
故选D．
考点：根与系数的关系．
3．B
【详解】
众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中8出现2次，出现的次数最多，故这组数据的众数为8．故选B．
考点：众数．
4．C
【分析】
设正六边形的面积为6，根据已知得到阴影区域的面积为4，然后根据概率公式计算即可
【详解】
解：设正六边形的面积为6，
∵正六边形转盘被分成6个全等三角形，
∴每个三角形的面积为1，
∴阴影区域的面积为4，
∴指针指向阴影区域的概率
故选：C
【点睛】
本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率
5．A
【分析】
可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.
【详解】
解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.
6．B
【详解】
分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选B．
点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．D
【分析】
连接OA，OB，根据已知条件得到△OAB是等边三角形，求得∠AOB=60°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】
如图所示：连接OA，OB，
∵OA=OB=2cm，AB=2cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴劣弧AB的长=
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长公式和等边三角形的性质和判定，得出∠AOB=60°是解题的关键
8．B
【分析】
分析题意，连接OA，OB，根据五边形ABCDE是正五边形，可得∠AOB的度数，再根据F为弧BC的中点，即可求得∠FAB的度数；接下来根据直线AP与圆O相切于点A，即可求出∠BAP，然后根据∠FAP=∠FAB+∠BAP，即可解答.
【详解】
解：连接OA，OB.
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠AOB=72°.
∵点F为弧BC的中点，
∴∠FAB=18°.
∵OA=OB，
∴∠OAB=54°，
∵直线AP与圆O相切与点A，
∴∠BAP=90°-54°=36°，
∴∠FAP=∠FAB+∠BAP=36°+18°=54°.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆的相关知识，熟练掌握正多边形的性质与圆的相关性质是解题的关键；
9．C
【详解】
连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，
∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，
∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点．
故选C．
考点：1．切线的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质．
10．A
【分析】
连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【详解】
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
11．9
【分析】
根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．
【详解】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．甲
【分析】
根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定.
【详解】
∵、、、，
∴．
又∵他们的平均成绩一样，
∴派甲去参赛更合适，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
13．60π
【分析】
利用圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】
解：圆锥的侧面积S=πrl=π×10×6=60π．
故答案为：60π．
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
14．8
【分析】
直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
15．65°
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据OE⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A=50°，
∴∠CDB=180°-∠A=130°，
∵OE⊥BC，
∴
∴BD=CD，
∴∠ODB=∠ODC=∠BDC=65°，
故答案为：65°
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16．
【详解】
解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=3，
∴的长度=，
∴圆锥底面圆的半径=，
故答案为：
17．5
【分析】
首先证明四边形OANM是矩形，然后证明，得出，最后在中利用勾股定理即可解题．
【详解】
如图，连接OA，OB，
∵PA、PB分别与相切于点A，B，
∴．
∵MN⊥AP，
．
∵OMAP，
∴四边形OANM是矩形，
．
，
．
∵OMAP，
，
，
．
设，则，
，
，
解得，
即．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查圆的综合问题，掌握全等三角形的判定及性质，切线的性质及勾股定理是解题的关键．
18．12
【分析】
连接OA、OB、OC过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB，再由DF=BD-BF得出DF，然后等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，再根据AD=AE+OF得到答案．
【详解】
解：∵BD=6，DC=4，
∴BC=BD+DC=10
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴
连接OA、OB、OC过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF=FC=5，
∴DF=BD-BF=1，
∵∠BOC=90°，BF=FC
∴OF=BC=5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE=DF=1，DE=OF=5，
在Rt△AOE中，
∴AD=AE+DE=12．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
19．（1）x1=6，x2=-2；（2）x1=-1，x2=2；（3）；（4）y1=1，y2=-
【分析】
（1）利用直接开平法解方程即可
（2）利用因式分解法解方程即可
（3）利用配方法解方程即可
（4）先化成一般式，再利用因式分解法解方程即可
【详解】
解：（1）（x-2）2-16= 0；
（x-2）2=16；
∴x-2=；
∴x1=6，x2=-2
（2）2（x+1）-x（x+1）=0；
（x+1）（2-x）=0
∴x+1=0或2-x=0，
∴x1=-1，x2=2；
（3）x2-4x-6=0；
∴x2-4x=6，
∴x2-4x+4=10，
∴（x-2）2=10，
∴
（4）（3y-1）（y+1）=4
∴3y2+2y-5=0，
∴（y-1）（3y+5）=0，
∴y-1=0或3y+5=0，
∴y1=1，y2=-
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
20．（1）m＝．另一个根是1．（2）见解析
【分析】
（1）将已知方程的根代入原方程，求得m的值，然后再解方程；
（2）利用判别式的非负性判断方程总有实数根.
【详解】
解：（1）把x＝0代入原方程，得2m－1＝0 ，
解得：m＝．
∴x2-x＝0，
x1＝1，x2＝0．
∴另一个根是1．
（2）b2－4ac＝4m2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4，
∵4m2－8m＋4＝4 (m－1)2≥0．
∴对于任意的实数m，方程总有实数根．
【点睛】
本题主要考查代入求值，解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）3；（3）3本；（4）120人
【分析】
（1）先用读2本的人数除以其所占百分比求出抽取的总人数，进而可求出读4本书的人数与读3本的人数所占百分比，进而可补全统计图；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据加权平均数的定义求解即可；
（4）用扇形统计图中读5本书的人数所占百分比×1200即得结果．
【详解】
解：（1）所抽取学生总数=18÷30%=60人，60×20%=12人，21÷60=35%；
补全两幅统计图如图所示：
（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为3本；
故答案为：3；
（3）（本）；
答：本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为3本；
（4）10%×1200=120（人）；
答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，
所以甲在其中的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（1）160；（2）每台家电定价应增加8元．
【分析】
（1）根据定价每增加1元，销售量将减少10台，即可算出结论；
（2）设每台定价增加x元（x≥0），根据利润=单台利润×销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）180-2×10=160（台）．
所以，如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售160台．
故答案为：160；
（2）设每台定价增加x元（x≥0），
根据题意得：（52-40+x）（180-10x）=2000，
整理得：x2-6x-16=0，
解得：x1=-2（舍去），x2=8．
答：商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加8元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）如图，连接 先证明再证明：从而可得结论；
（2）由，，求解 再利用三角函数求解 利用从而可得四边形的面积．
【详解】
（1）证明：如图，连接
（2）
，
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）5；（3）
【分析】
（1）由切线的性质可得∠PAM=90°，由余角的性质可得∠PAC=∠CAO；
（2）根据点C和点A的坐标得出OA和OC，由勾股定理可列出关于AM的方程，解之即可得出的半径r
（3）由（2）可求OM的长，通过证明△MOA∽△AOP，可得，可求OP的长，可得点P坐标，用待定系数法可求直线PA的解析式；
【详解】
证明：（1）∵AM=MC
∴∠MAC=∠MCA，
∵AP是⊙M的切线
∴∠PAM=90°
∴∠CAP+∠MAC=90°，且∠MCA+∠CAO=90°
∴∠PAC=∠CAO
（2）∵点C的坐标为（0，-2），点A的坐标为（4，0），
∴AO=4，OC=2
在R t△AMO中，AM2=MO2+AO2，
∴AM2=（AM-2）2+16
∴AM=5
∴的半径r=5
（3）∵AM=5
∴MC=5，MO=3
∴点M（0，3）
∵∠POA=∠PAM=90°
∴∠PAO+∠APM=90°，∠APM+∠AMP=90°
∴∠PAO=∠PMA，且∠AOM=∠AOP=90°
∴△MOA∽△AOP
∴
∴点P坐标
设直线PA的解析式为：且过点A（4，0）
∴
∴直线PA的解析式为：
【点睛】
考查了圆的切线的性质，似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）BH＝．
【分析】
（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．
【详解】
（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OC∥BD，
∴△OCE∽△BFE，
∴，
∵OB＝2，
∴OC＝OB＝2，AB＝4，，
∴，
∴BF＝3，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，
∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴4×3＝5BH，
∴BH＝．
【点睛】
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．
27．（1）4；（2）t或；（3）．
【分析】
（1）先求出BM，AM的长，由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求MP的长，由勾股定理可求解；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；
（3）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，连接BP，MO，由直角三角形的性质可求AH，HD的长，由切线的性质可得∠OMD=90°，可求∠AMD=∠MPB，可得tan∠AMD=tan∠BPM，即可求解．
【详解】
解：（1）当t=2(s)时，BM=2×2=4cm．
∵AB=10cm，∠ABC=60°，MN⊥BC，
∴AM=6cm，∠BMN=30°，
∴BNBM=2cm，MNBN=2cm．
∵△MNP是等边三角形，
∴MP=MN=2cm，
∴AP4cm．
故答案为：4；
（2）如图①，连接BP，
∵AB=10cm，∠ABC=60°，MN⊥BC，BM=2tcm，(0＜t≤5)，
∴AM=10﹣2t(cm)，MNt(cm)，∠BMN=30°．
∵△MNP是等边三角形，
∴MP=MNt(cm)，∠NMP=60°，
∴∠BMP=∠BMN+∠NMP=90°，
∴BPt，
AP，
若AB=BP=10时，则t=10，
∴t，
若AB=AP=10时，则AP2=AB2=100，
∴7t2﹣40t+100=100，
∴t1=0(舍去)，t2(舍去)，
当BP=AP时，AP2=PB2，
∴7t2﹣40t+100=7t2，
∴t，
综上所述：t或时，△ABP为等腰三角形；
（3）如图，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，连接BP，MO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=10cm，AD∥BC，
∴∠HAD=∠ABC=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AHAD=5cm，HDAH=5cm．
∵BM=2tcm，MN=NPtcm，
∴tan∠BPM．
∵∠BMP=90°，
∴BP是直径，∠MBP+∠MPB=90°，
∴BO=OP=OM，
∴∠OBM=∠OMB，∠OPM=∠OMP．
∵MD与⊙O相切，
∴OM⊥MD，
∴∠OMD=90°，
∴∠BMO+∠AMD=90°，
∴∠AMD=∠MPB，
∴tan∠AMD=tan∠BPM，
∴，
∴，
∴t．
故答案为：．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，两点距离公式，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．（1）8，18，20；（2）以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由见解析；（3）或5
【分析】
（1）由题意得出AB=2BE，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积= 即可；
（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，证出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；
【详解】
解：（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，
∴AB=2BE，
由图象得：t=2时，BE=2×2=4，
∴AB=2BE=8，AE=BE=4，
t=11时，2t=22，
∴BC=22-4=18，
当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=
（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：
当t=1时，PE=2，
∴AP=AE+PE=4+2=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴
设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：
则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，
∵O'为PQ的中点，
∴O'M是△APQ的中位线，
∴
∴
∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；
（3）分两种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，
则QF=AB=8，BF=AQ=10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，
由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，
∴A'B=BF-A'F=4，
在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，
由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，
解得：
②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，
由折叠的性质得：A'P=AP，
∴∠APQ=∠A'PQ，
∵AD∥BC，
∴∠AQP=∠A'PQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ=A'P=10，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；
综上所述，t为或5时，折叠后顶点A的对应点A'落在矩形的BC边上．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．
江苏省苏州市姑苏区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知x=1是一元二次方程的一个解，则m的值是（ ）
A．1 B．0 C．-1 D．0或-1
2．若一元二次方程x2+x－2=0的解为x1、x2，则x1•x2的值是（ ）
A．1 B．—1 C．2 D．—2
3．（2013年四川泸州2分）某校七年级有5名同学参加设计比赛，成绩分为为7，8，9，10，8（单位：环）．则这5名同学成绩的众数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等三角形，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，则平均每次降价的百分率为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
6．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32
C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=32
7．在半径为2cm的圆O中，用刻度尺（单位：cm）测得弦AB的长如图所示，则劣弧AB的长为（ ）cm．
A． B．2π C．π D．
8．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O点F为的中点，直线AP与⊙O相切于点A，则∠FAP的度数是（ ）
A．36° B．54° C．60° D．72°
9．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC的中点，一个圆过点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ）
A．线段AE的中垂线与线段AC的中垂线的交点
B．线段AB的中垂线与线段AC的中垂线的交点
C．线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点
D．线段AB的中垂线与线段BC的中垂线的交点
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于、两点，是以点为圆心，半径长的圆上一动点，连结，为的中点．若线段长度的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______．
12．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86.5分，方差分别是，，，，你认为派______谁去参赛更合适．
13．已知圆锥的底面半径为6，母线长为10，则此圆锥的侧面积为_____．
14．a是方程的一个根，则代数式的值是_______．
15．如图，△ABC内接于，∠A=50°，OE⊥BC于E, 连接OE并延长，交于点D，连接BD，则∠D的大小为_____．
16．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，，．若用扇形（图中阴影部分）围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______．
17．如图，PA、PB分别与相切于点A，B，点M在PB上，且OMAP，MN⊥AP，垂足为点N．若的半径R=3， PA=9，则OM的长是_____．
18．如图，△ABC内接于，∠BAC=45°，AD⊥BC于D， BD=6，DC=4，则AD的长是_____．
三、解答题
19．解方程：
（1）（x-2）2-16= 0；
（2）2（x+1）-x（x+1）=0；
（3）x2-4x-6=0；
（4）（3y-1）（y+1）=4．
20．已知关于x的一元二次方程x2－2mx＋2m－1＝0（m为常数）．
（1）若方程的一个根为0，求m的值和方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值，该方程总有实数根．
21．本学期初，某校为迎接中华人民共和国建国七十周年，开展了以“不忘初心，缅怀革命先烈，奋斗新时代”为主题的读书活动．校德育处对本校七年级学生四月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称：“读书量”）进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面两幅统计图；
（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为 本；
（3）求本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数；
（4）已知该校七年级有1200名学生，请你估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数．
22．甲、乙、丙3名医生志愿报名参加新冠肺炎救治工作．
（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是______；
（2）随机抽取2名，请用画树状图的方法求甲在其中的概率．
23．某商店销售一批小家电，每台成本40元，经市场调研，当每台售价定为52元时，可销售180台；若每台售价每增加1元，销售量将减少10台．
（1）如果每台小家电售价增加2元，则该商店可销售______台；
（2）商店销售该家电获利200元，那么每台售价应增加多少元？
24．如图，在中，，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的面积．
25．在直角坐标系中，的圆心M在y轴上，与x轴交于点A、B，与y轴交于点C、D，过点A作的切线AP交y轴于点P，若点C的坐标为（0，-2），点A的坐标为（4，0），
（1）求证：∠PAC= ∠CAO；
（2）求的半径r；
（3）求直线PA的解析式；
26．如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．
（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．
27．如图①，在菱形ABCD中，AB=10cm，∠ABC=60°，边BA上一动点M从点B出发向点A匀速运动，速度为2cm/s，过点M作MN⊥BC，垂足为N，以MN为边长作等边△MNP，点B，P在直线MN的异侧，连接AP．设点M的运动时间为t(s)．
（1）当t=2(s)时，AP= cm；(直接写出答案)
（2）连接BP，若△ABP为等腰三角形，求t的值；
（3）如图②，经过点B，M，P作⊙O，连接MD，当MD与⊙O相切时，则t的值等于 (s)．(直接写出答案)
28．如图①，在矩形ABCD中，点P从AB边的中点E出发，沿着E- B-C匀速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是AD．上的点，AQ=10，设△APQ的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．
（1）图①中AB= ，BC= ，图②中m= ；
（2）当t=1秒时，试判断以PQ为直径的圆是否与BC边相切?请说明理由；
（3）点P运动过程中，将矩形沿PQ所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点A'落在矩形的BC边上．
参考答案
1．A
【分析】
把x=1代入已知方程可得关于m的方程，解方程即得答案．
【详解】
解：把x=1代入方程，得：1－2m+1=0，解得：m=1．
故选：A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题目，掌握解答的方法是解题关键．
2．D
【详解】
试题解析：根据题意得x1•x2==-2．
故选D．
考点：根与系数的关系．
3．B
【详解】
众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中8出现2次，出现的次数最多，故这组数据的众数为8．故选B．
考点：众数．
4．C
【分析】
设正六边形的面积为6，根据已知得到阴影区域的面积为4，然后根据概率公式计算即可
【详解】
解：设正六边形的面积为6，
∵正六边形转盘被分成6个全等三角形，
∴每个三角形的面积为1，
∴阴影区域的面积为4，
∴指针指向阴影区域的概率
故选：C
【点睛】
本题考查了求几何概率的方法：先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率
5．A
【分析】
可设降价的百分率为，第一次降价后的价格为，第一次降价后的价格为，根据题意列方程求解即可.
【详解】
解：设降价的百分率为
根据题意可列方程为
解方程得，（舍）
∴每次降价得百分率为
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的在销售问题中的应用，正确理解题意，找出题中等量关系是解题的关键.
6．B
【详解】
分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，
根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．
故选B．
点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
7．D
【分析】
连接OA，OB，根据已知条件得到△OAB是等边三角形，求得∠AOB=60°，根据弧长公式即可得到结论．
【详解】
如图所示：连接OA，OB，
∵OA=OB=2cm，AB=2cm，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴劣弧AB的长=
故选：D．
【点睛】
本题考查了弧长公式和等边三角形的性质和判定，得出∠AOB=60°是解题的关键
8．B
【分析】
分析题意，连接OA，OB，根据五边形ABCDE是正五边形，可得∠AOB的度数，再根据F为弧BC的中点，即可求得∠FAB的度数；接下来根据直线AP与圆O相切于点A，即可求出∠BAP，然后根据∠FAP=∠FAB+∠BAP，即可解答.
【详解】
解：连接OA，OB.
∵五边形ABCDE为正五边形，
∴∠AOB=72°.
∵点F为弧BC的中点，
∴∠FAB=18°.
∵OA=OB，
∴∠OAB=54°，
∵直线AP与圆O相切与点A，
∴∠BAP=90°-54°=36°，
∴∠FAP=∠FAB+∠BAP=36°+18°=54°.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查正多边形与圆的相关知识，熟练掌握正多边形的性质与圆的相关性质是解题的关键；
9．C
【详解】
连接AD，作AE的中垂线交AD于O，连接OE，
∵AB=AC，D是边BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的中垂线，
∵BC是圆的切线，
∴AD必过圆心，
∵AE是圆的弦，
∴AE的中垂线必过圆心，
∴该圆的圆心是线段AE的中垂线与线段BC的中垂线的交点．
故选C．
考点：1．切线的性质；2．线段垂直平分线的性质；3．等腰三角形的性质．
10．A
【分析】
连接BP，证得OQ是△ABP的中位线，当P、C、B三点共线时PB长度最大，PB=2OQ=4，设 B点的坐标为（x，-x），根据点，可利用勾股定理求出B点坐标，代入反比例函数关系式即可求出k的值．
【详解】
解：连接BP，
∵直线与双曲线的图形均关于直线y=x对称，
∴OA=OB，
∵点Q是AP的中点，点O是AB的中点
∴OQ是△ABP的中位线，
当OQ的长度最大时，即PB的长度最大，
∵PB≤PC+BC，当三点共线时PB长度最大，
∴当P、C、B三点共线时PB=2OQ=4，
∵PC=1，
∴BC=3，
设B点的坐标为（x，-x），
则，
解得（舍去）
故B点坐标为，
代入中可得：，
故答案为：A．
【点睛】
本题考查三角形中位线的应用和正比例函数、反比例函数的性质，结合题意作出辅助线是解题的关键．
11．9
【分析】
根据方程两个相等的实数根可得根的判别式，求出方程的解即可．
【详解】
解：一元二次方程有两个相等的实数根，
△，
解得：，
故答案为：9．
【点睛】
本题考查了根的判别式．一元二次方程的根与△有如下关系：
①当△时，方程有两个不相等的实数根；
②当△时，方程有两个相等的实数根；
③当△时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
12．甲
【分析】
根据方差的意义作出判断，方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据波动越小，数据越稳定，反之，则表明数据波动大，不稳定.
【详解】
∵、、、，
∴．
又∵他们的平均成绩一样，
∴派甲去参赛更合适，
故答案为：甲．
【点睛】
本题考查了方差的意义，熟练掌握方差的意义是解题的关键．
13．60π
【分析】
利用圆锥的底面半径为6cm，母线长为10cm，直接利用圆锥的侧面积公式求出即可．
【详解】
解：圆锥的侧面积S=πrl=π×10×6=60π．
故答案为：60π．
【点睛】
此题主要考查了圆锥侧面面积的计算，熟练记忆圆锥的侧面积公式是解决问题的关键．
14．8
【分析】
直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案．
【详解】
解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴．
故答案为8．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键．
15．65°
【分析】
连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB=180°-∠A=130°，根据OE⊥BC，求得BD=CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：连接CD，
∵∠A=50°，
∴∠CDB=180°-∠A=130°，
∵OE⊥BC，
∴
∴BD=CD，
∴∠ODB=∠ODC=∠BDC=65°，
故答案为：65°
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．
16．
【详解】
解：∵∠BOC=2∠AOC，∠BOC+∠AOC=180°，
∴∠AOC=60°，
∵OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA=3，
∴的长度=，
∴圆锥底面圆的半径=，
故答案为：
17．5
【分析】
首先证明四边形OANM是矩形，然后证明，得出，最后在中利用勾股定理即可解题．
【详解】
如图，连接OA，OB，
∵PA、PB分别与相切于点A，B，
∴．
∵MN⊥AP，
．
∵OMAP，
∴四边形OANM是矩形，
．
，
．
∵OMAP，
，
，
．
设，则，
，
，
解得，
即．
故答案为：5．
【点睛】
本题主要考查圆的综合问题，掌握全等三角形的判定及性质，切线的性质及勾股定理是解题的关键．
18．12
【分析】
连接OA、OB、OC过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，再根据等腰直角三角形的性质计算，求出OB，再由DF=BD-BF得出DF，然后等腰直角三角形的性质求出OF，根据勾股定理求出AE，再根据AD=AE+OF得到答案．
【详解】
解：∵BD=6，DC=4，
∴BC=BD+DC=10
∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°，
∴
连接OA、OB、OC过点O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，
∴BF=FC=5，
∴DF=BD-BF=1，
∵∠BOC=90°，BF=FC
∴OF=BC=5，
∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，
∴四边形OFDE为矩形，
∴OE=DF=1，DE=OF=5，
在Rt△AOE中，
∴AD=AE+DE=12．
【点睛】
本题考查的是三角形的外接圆，掌握圆周角定理、垂径定理、等腰直角三角形的性质是解题的关键．
19．（1）x1=6，x2=-2；（2）x1=-1，x2=2；（3）；（4）y1=1，y2=-
【分析】
（1）利用直接开平法解方程即可
（2）利用因式分解法解方程即可
（3）利用配方法解方程即可
（4）先化成一般式，再利用因式分解法解方程即可
【详解】
解：（1）（x-2）2-16= 0；
（x-2）2=16；
∴x-2=；
∴x1=6，x2=-2
（2）2（x+1）-x（x+1）=0；
（x+1）（2-x）=0
∴x+1=0或2-x=0，
∴x1=-1，x2=2；
（3）x2-4x-6=0；
∴x2-4x=6，
∴x2-4x+4=10，
∴（x-2）2=10，
∴
（4）（3y-1）（y+1）=4
∴3y2+2y-5=0，
∴（y-1）（3y+5）=0，
∴y-1=0或3y+5=0，
∴y1=1，y2=-
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解方程是解此题的关键．
20．（1）m＝．另一个根是1．（2）见解析
【分析】
（1）将已知方程的根代入原方程，求得m的值，然后再解方程；
（2）利用判别式的非负性判断方程总有实数根.
【详解】
解：（1）把x＝0代入原方程，得2m－1＝0 ，
解得：m＝．
∴x2-x＝0，
x1＝1，x2＝0．
∴另一个根是1．
（2）b2－4ac＝4m2－4(2m－1)＝4m2－8m＋4，
∵4m2－8m＋4＝4 (m－1)2≥0．
∴对于任意的实数m，方程总有实数根．
【点睛】
本题主要考查代入求值，解一元二次方程及根的判别式，由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键．
21．（1）见解析；（2）3；（3）3本；（4）120人
【分析】
（1）先用读2本的人数除以其所占百分比求出抽取的总人数，进而可求出读4本书的人数与读3本的人数所占百分比，进而可补全统计图；
（2）根据中位数的定义解答即可；
（3）根据加权平均数的定义求解即可；
（4）用扇形统计图中读5本书的人数所占百分比×1200即得结果．
【详解】
解：（1）所抽取学生总数=18÷30%=60人，60×20%=12人，21÷60=35%；
补全两幅统计图如图所示：
（2）本次所抽取学生四月份“读书量”的中位数为3本；
故答案为：3；
（3）（本）；
答：本次所抽取学生四月份“读书量”的平均数为3本；
（4）10%×1200=120（人）；
答：估计该校七年级学生中，四月份“读书量”为5本的学生人数为120人．
【点睛】
本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、加权平均数以及利用样本估计总体等知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握上述知识是解题的关键．
22．（1）；（2）．
【分析】
（1）直接利用概率公式计算；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出甲在其中的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：（1）随机抽取1名，则恰是甲的概率是；
故答案为；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中甲在其中的结果数为4，
所以甲在其中的概率=．
【点睛】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
23．（1）160；（2）每台家电定价应增加8元．
【分析】
（1）根据定价每增加1元，销售量将减少10台，即可算出结论；
（2）设每台定价增加x元（x≥0），根据利润=单台利润×销售数量即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】
解：（1）180-2×10=160（台）．
所以，如果每台家电定价增加2元，则商店每天可销售160台．
故答案为：160；
（2）设每台定价增加x元（x≥0），
根据题意得：（52-40+x）（180-10x）=2000，
整理得：x2-6x-16=0，
解得：x1=-2（舍去），x2=8．
答：商店销售该家电获利2000元，那么每台家电定价应增加8元．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程是解题的关键．
24．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）如图，连接 先证明再证明：从而可得结论；
（2）由，，求解 再利用三角函数求解 利用从而可得四边形的面积．
【详解】
（1）证明：如图，连接
（2）
，
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定与性质，圆的基本性质，两条弧，两个圆心角，两条弦之间的关系定理，解直角三角形的应用，四边形的面积，掌握以上知识是解题的关键．
25．（1）见解析；（2）5；（3）
【分析】
（1）由切线的性质可得∠PAM=90°，由余角的性质可得∠PAC=∠CAO；
（2）根据点C和点A的坐标得出OA和OC，由勾股定理可列出关于AM的方程，解之即可得出的半径r
（3）由（2）可求OM的长，通过证明△MOA∽△AOP，可得，可求OP的长，可得点P坐标，用待定系数法可求直线PA的解析式；
【详解】
证明：（1）∵AM=MC
∴∠MAC=∠MCA，
∵AP是⊙M的切线
∴∠PAM=90°
∴∠CAP+∠MAC=90°，且∠MCA+∠CAO=90°
∴∠PAC=∠CAO
（2）∵点C的坐标为（0，-2），点A的坐标为（4，0），
∴AO=4，OC=2
在R t△AMO中，AM2=MO2+AO2，
∴AM2=（AM-2）2+16
∴AM=5
∴的半径r=5
（3）∵AM=5
∴MC=5，MO=3
∴点M（0，3）
∵∠POA=∠PAM=90°
∴∠PAO+∠APM=90°，∠APM+∠AMP=90°
∴∠PAO=∠PMA，且∠AOM=∠AOP=90°
∴△MOA∽△AOP
∴
∴点P坐标
设直线PA的解析式为：且过点A（4，0）
∴
∴直线PA的解析式为：
【点睛】
考查了圆的切线的性质，似三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）BH＝．
【分析】
（1）先判断出∠AOC=90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；
（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．
【详解】
（1）连接OC，
∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，
∴∠AOC＝90°，
∵OA＝OB，CD＝AC，
∴OC是△ABD是中位线，
∴OC∥BD，
∴∠ABD＝∠AOC＝90°，
∴AB⊥BD，
∵点B在⊙O上，
∴BD是⊙O的切线；
（2）由（1）知，OC∥BD，
∴△OCE∽△BFE，
∴，
∵OB＝2，
∴OC＝OB＝2，AB＝4，，
∴，
∴BF＝3，
在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，
∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，
∴AB•BF＝AF•BH，
∴4×3＝5BH，
∴BH＝．
【点睛】
此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF=3是解本题的关键．
27．（1）4；（2）t或；（3）．
【分析】
（1）先求出BM，AM的长，由直角三角形的性质和等边三角形的性质可求MP的长，由勾股定理可求解；
（2）分三种情况讨论，由等腰三角形的性质可求解；
（3）过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，连接BP，MO，由直角三角形的性质可求AH，HD的长，由切线的性质可得∠OMD=90°，可求∠AMD=∠MPB，可得tan∠AMD=tan∠BPM，即可求解．
【详解】
解：（1）当t=2(s)时，BM=2×2=4cm．
∵AB=10cm，∠ABC=60°，MN⊥BC，
∴AM=6cm，∠BMN=30°，
∴BNBM=2cm，MNBN=2cm．
∵△MNP是等边三角形，
∴MP=MN=2cm，
∴AP4cm．
故答案为：4；
（2）如图①，连接BP，
∵AB=10cm，∠ABC=60°，MN⊥BC，BM=2tcm，(0＜t≤5)，
∴AM=10﹣2t(cm)，MNt(cm)，∠BMN=30°．
∵△MNP是等边三角形，
∴MP=MNt(cm)，∠NMP=60°，
∴∠BMP=∠BMN+∠NMP=90°，
∴BPt，
AP，
若AB=BP=10时，则t=10，
∴t，
若AB=AP=10时，则AP2=AB2=100，
∴7t2﹣40t+100=100，
∴t1=0(舍去)，t2(舍去)，
当BP=AP时，AP2=PB2，
∴7t2﹣40t+100=7t2，
∴t，
综上所述：t或时，△ABP为等腰三角形；
（3）如图，过点D作DH⊥AB交BA的延长线于H，连接BP，MO，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=10cm，AD∥BC，
∴∠HAD=∠ABC=60°，
∴∠ADH=30°，
∴AHAD=5cm，HDAH=5cm．
∵BM=2tcm，MN=NPtcm，
∴tan∠BPM．
∵∠BMP=90°，
∴BP是直径，∠MBP+∠MPB=90°，
∴BO=OP=OM，
∴∠OBM=∠OMB，∠OPM=∠OMP．
∵MD与⊙O相切，
∴OM⊥MD，
∴∠OMD=90°，
∴∠BMO+∠AMD=90°，
∴∠AMD=∠MPB，
∴tan∠AMD=tan∠BPM，
∴，
∴，
∴t．
故答案为：．
【点睛】
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，等边三角形的性质，菱形的性质，勾股定理，两点距离公式，锐角三角函数等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
28．（1）8，18，20；（2）以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由见解析；（3）或5
【分析】
（1）由题意得出AB=2BE，t=2时，BE=2×2=4，求出AB=2BE=8，AE=BE=4，t=11时，2t=22，得出BC=18，当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积= 即可；
（2）当t=1时，PE=2，得出AP=AE+PE=6，由勾股定理求出设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，由三角形中位线定理得出求出O'N=MN-O'M=5＜圆O'的半径，即可得出结论；
（3）分两种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，则QF=AB=8，BF=AQ=10，由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，由勾股定理求出，得出A'B=BF-A'F=4，在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，由折叠的性质得：A'P=AP，证出∠APQ=∠AQP，得出AP=AQ=A'P=10，在Rt△ABP中，由勾股定理求出BP=6，由BP=2t-4，得出2t-4=6，解方程即可；
【详解】
解：（1）∵点P从AB边的中点E出发，速度为每秒2个单位长度，
∴AB=2BE，
由图象得：t=2时，BE=2×2=4，
∴AB=2BE=8，AE=BE=4，
t=11时，2t=22，
∴BC=22-4=18，
当t=0时，点P在E处，m=△AEQ的面积=
（2）当t=1秒时，以PQ为直径的圆不与BC边相切，理由如下：
当t=1时，PE=2，
∴AP=AE+PE=4+2=6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=90°，
∴
设以PQ为直径的圆的圆心为O'，作O'N⊥BC于N，延长NO'交AD于M，如图1所示：
则MN=AB=8，O'M∥AB，MN=AB=8，
∵O'为PQ的中点，
∴O'M是△APQ的中位线，
∴
∴
∴以PQ为直径的圆不与BC边相切；
（3）分两种情况：①当点P在AB边上，A'落在BC边上时，作QF⊥BC于F，
则QF=AB=8，BF=AQ=10，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠BCD=∠D=90°，CD=AB=8，AD=BC=18，
由折叠的性质得：PA'=PA，A'Q=AQ=10，∠PA'Q=∠A=90°，
∴A'B=BF-A'F=4，
在Rt△A'BP中，BP=4-2t，PA'=AP=8-（4-2t）=4+2t，
由勾股定理得：42+（4-2t）2=（4+2t）2，
解得：
②当点P在BC边上，A'落在BC边上时，连接AA'，
由折叠的性质得：A'P=AP，
∴∠APQ=∠A'PQ，
∵AD∥BC，
∴∠AQP=∠A'PQ，
∴∠APQ=∠AQP，
∴AP=AQ=A'P=10，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：
又∵BP=2t-4，∴2t-4=6，解得：t=5；
综上所述，t为或5时，折叠后顶点A的对应点A'落在矩形的BC边上．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠变换的性质、勾股定理、函数图象、直线与圆的位置关系、三角形中位线定理、等腰三角形的判定、以及分类讨论等知识；本题综合性强，难度较大，注意分类讨论．
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