2020-2021学年度第一学期江苏省扬州市三校联考九年级期中考试数学试卷(含解析)

2020-2021学年度第一学期江苏省扬州市三校联考九年级期中考试数学试卷

一、选择题（共8题；共24分）

1.一次演讲比赛中，评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，并按得分的1：4：3的比例确定选手个人总分，已知某位选手三方面的得分分别为88，72，50，则这位选手个人总分为（   ）           

A. 68.24                  B. 64.56                 C. 65.75                 D. 67.32

2.关于x的一元二次方程式ax2-2ax-b=0有一个实数根x=1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是(    )           

A. △>0                B. △=0                   C. △<0                         D. 无法确定

3.如图， 是 的外接圆，半径为 ，若 ，则 的度数为（   ） 

A. 30°                 B. 25°                      C. 15°                          D. 10°

4.如图， 是 的直径， 是弦， ， ， ，则 的长为（　　） 

A.                       B.                        C.                          D. 

5.近几年来安徽省各地区建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某地区在2017年给每个经济困难学生发放的资助金额为 元，2019年发放的资助金额为 元，则该地区每年发放的资助金额的平均增长率为（  ）           

A.                     B.                    C.                         D. 

6.如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为(    

A.  cm            B. 4cm        C.  cm                 D.  cm

7.小红连续 天的体温数据如下（单位相 ）： ， ， ， ， .关于这组数据下列说法正确的是（   ）           

A. 中位数是     B. 众数是      C. 平均数是     D. 极差是

8.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF，其中C、D的坐标分别为（1，0）和（2，0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A，B，C，D，E，F中，会过点（2017，2）的是（   ）

A. 点A                 B. 点C                          C. 点E                         D. 点F

二、填空题（共10题；共30分）

9.一元二次方程 的根是________．   

10.圆锥的侧面展开图是一个弧长为6π的扇形，则这个圆锥底面半径是________.   

11.某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了 次预选赛，其中甲，乙两名运动员较为突出，他们在 次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示： 

由于甲，乙两名运动员的成绩的平均数相同，学校决定依据他们成绩的稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是________．

12.若关于x的一元二次方程 的一个根是-1，则另一个根是________．   

13.若圆锥的底面半径为4，母线长为5，则它的侧面积为________.   

14.某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是________。   

15.如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，OA=10，AB=16，则OC的长为________ 

16.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大7，且十位上的数字与个位上的数字和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．   

17.关于x的一元二次方程x2-4x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范是________.   

18.如图，已知⊙O的半径是2，点A，B在⊙O上，且∠AOB＝90°，动点C在⊙O上运动（不与A，B重合），点D为线段BC的中点，连接AD，则线段AD的长度最大值是________. 

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

19.向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：   

（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
   

20.如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D. 

（1）求证：∠APO＝∠CPO；   

（2）若⊙O的半径为3，OP＝6，∠C＝30°，求PC的长.   

21.某中学为调查本校学生固末平均每天做作业所用时间的情况，随机调查了50名同字，如图是根据调查所得数据绘制的统计图的一部分．请根据以上信息，解答下列问题 

（1）请你补全条形统计图   

（2）在这次调查的数据中，做作业所用时间的众数是________小时，中位数是________小时，平均数是________小时；   

（3）若该校共有2000名学生，根据以上调查结果估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有多少人?   

22.如图，用99米长的木栏围成个矩形菜园 ABCD，已知矩形菜园的一边靠墙，墙长MN为20米，其中AD≤MN，BC边上留了一个宽1米的进出口，设AD边长为x米.

（1）用含x的代数式表示AB的长.   

（2）若矩形菜园ABCD的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长.   

23.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E ，G是弧AC上的点，AG，DC延长线交于点F.

（1）求证：∠FGC=∠AGD.   

（2）若BE=2，CD=8，求AD的长.   

24.为助力新冠肺炎疫情后经济的复苏，天天快餐公司积极投入到复工复产中．现有A、B两家农副产品加工厂到该公司推销鸡腿，两家鸡腿的价格相同，品质相近．该公司决定通过检查质量来确定选购哪家的鸡腿．检察人员从两家分别抽取100个鸡腿，然后再从中随机各抽取10个，记录它们的质量（单位：克）如表： 

（1）根据表中数据，求A加工厂的10个鸡腿质量的中位数、众数、平均数；   

（2）估计B加工厂这100个鸡腿中，质量为75克的鸡腿有多少个？   

（3）根据鸡腿质量的稳定性，该快餐公司应选购哪家加工厂的鸡腿？   

25.已知：如图所示．在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm  ， BC=7cm ． 点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，当其中一点达到终点后，另外一点也随之停止运动． 

（1）如果P  ， Q分别从A  ， B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？   

（2）如果P  ， Q分别从A  ， B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？   

（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．   

26.如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，AD∥BC，∠ADC＝90°，CD交⊙O于点E. 

（1）求证：AD是⊙O的切线；   

（2）若DE＝2，求阴影部分的面积.   

27.疫情结束后，某广场推出促销活动，已知商品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该商品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件.（销售利润＝销售总额﹣进货成本）.   

（1）若该商品的的件单价为43元时，则当天的售商品是________件，当天销售利润是________元；   

（2）当该商品的销售单价为多少元时，该商品的当天销售利润是3450元.   

28.问题探究 

（1）如图1，在△ABC中，BC=8，D为BC上一点，AD=6，则△ABC面积的最大值是 ________。   

（2）如图2，在△ABC中，∠BAC=60°，AG为BC边上的高，⊙O为△ABC的外接圆，若AG=3，试判断BC是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。   

（3）如图3，王老先生有一块矩形地ABCD，AB=6 +12，BC=6 +6，现在他想利用这块地建一个四边形鱼塘AMFN，且满足点E在CD上，AD=DE，点F在BC上，且CF=6，点M在AE上，点N在AB上，∠MFN=90°，这个四边形AMFN的面积是否存在最大值？若存在，求出面积的最大值；若不存在，请说明理由。   

答案

一、选择题

1.解： 选手个人总分 =（分）.

故答案为：C.

2.解：由题意得
a-2a-b=0
∴a+b=0
∴a=-b
∵ △=（-2a）2-4a×（-b）=4b2-4b2=0
故答案为：B.
3.解：连接OB和OC，

∵圆O半径为2，BC=2，

∴△OBC为等边三角形，

∴∠BOC=60°，

∴∠A=30°，

故答案为：A.

4.如图，连接OC，

则

，

则 的长为

故答案为：A.

5.设该地区每年发放的资助金额的平均增长率为x，

由题意得： （1+x）2= ，解得：x1= ，x2= （不合题意，舍去），

答：该地区每年发放的资助金额的平均增长率为 ．

故答案为：D．

6.连结OA，如图，

∵∠ACD=22.5°，

∴∠AOD=2∠ACD=45°，

∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，

∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，

∴AE= OA，

∵CD=6，

∴OA=3，

∴AE= ，

∴AB=2AE=3 (cm).

故答案为：A.

7.解：A.将这组数据从小到大的顺序排列：36.2，36.2，36.3，36.5，36.6，

则中位数为36.3°C ，故此选项错误

B.36.2出现了两次，故众数是36.2 ，故此选项正确；

C.平均数为 ( °C  )，故此选项错误；

D.极差为36.6-36.2=0.4( °C  )，故此选项错误，

故答案为：B.

8.解：当滚动到A＇D⊥x轴时，连接A＇D，过点E＇作E＇H⊥A＇D于点H，过点F＇作F＇G⊥A＇D，


∴∠GF＇E＇=90°
∵正六边形ABCDEF，
∴∠A＇F＇E＇=120°，
∴∠A＇F＇G=30°
∴A＇G=A＇F＇=,
同理可得HD=,HG=1
∴A＇D=2，
∴点A＇（2，2），OD=2
∴正六边形过点6个单位正好滚动一周，
∴从（2，2）开始到（2015，2）正好滚动2013个单位长度，
∵2015÷6=3355.
∴恰好滚动335周多5个，
∴会过（2017，2）的是点F.
故答案为：D.
二、填空题

9.解： ．
10.解：设底面圆半径为r，

则 ，

解得

故答案为：3.

11.解： 甲= = =12，

乙= = =12，

甲的方差为 = ，

乙的方差为 = ，

∵ ，

即甲的方差<乙的方差，

∴甲的成绩比较稳定．

故答案为甲．

12.设另一个根为 ，则 ，解得

故答案为-2

13.解：圆锥的侧面积=2π×4×5÷2=20π.

故答案为：20π.

14.解：∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x  ， 6，已知这组数据的平均数是5， 

∴x＝5×5﹣4﹣4﹣5﹣6＝6，

∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6，

∴这组数据的中位数是5．

故答案为：5．

15.解：∵∠A=∠B，

∴OA=OB=10，

∵AB与⊙O相切于点C，

∴OC⊥AB，

∴AC=BC= AB=8，

∴OC= =6．

故答案为：6．

16解：设个位上的数为x，则十位上的数为x+7，依题意，得（x+7+x）2=10（x+7）+x，
整理得：4x2+17x-21=0，
解得：x1=1，x2=- （舍去），
所以，x=1，x+7=8．
故这个两位数是81
17.解：∵一元二次方程x2-4x+m＝0有两个不相等的实数根，

∴△＝（-4）2﹣4m＞0，  ∴m<4，

故答案为：m<4.

18.解：如图1，连接OC，取OB的中点E，连接DE，则DE是△OBC的中位线，

∵⊙O的半径是2，即 ，

∴ ，

在△OBC中，DE是△OBC的中位线，

∴ ，

则点D是在以E为圆心，1为半径的圆上，

∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，

如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取得最大值，

∵OA=OB=2，∠AOB=90°， ，

∴ ，

∴ ，

故答案为： .

三、解答题

19.（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，解得m=1，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=- ；
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程

当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1，

当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=- ．

20. （1）证明：∵PA、PB是⊙O的切线，  

∴∠APO＝∠CPO；

（2）解：∵PA是⊙O的切线，  

∴∠PAC＝90°，

∴AP＝ ，

在Rt△CAP中，∠C＝30°，

∴PC＝2AP＝6 .

21. （1）每天作业用时是4小时的人数是：50﹣6﹣12﹣16﹣8＝8（人），如图 

（2）3；3；3
（3）2000× ＝1360（人），  

答：估计该校全体学生每天组作业时间在3小时内（含3小时）的同学共有1360人．

（2）∵每天作业用时是3小时的人数最多，

∴众数是3小时；

∵从小到大排列后排在第25和第26位的都是每天作业用时是3小时的人，

∴中位数是3小时；

平均数是 =3小时，

故答案为：3小时、3小时、3小时；

22.（1）解： .
（2）解：由题意得 ，

解得 ， .

∵ ， ，∴ .

答：所利用旧墙AD的长为10米.

23. （1）证明：∵ 弦CD⊥AB ，∴  ， ∴∠ADC=∠ACD，
∵ ∠AGD=∠ACD，∴∠AGD=∠ADC，
∵四边形ABCG是圆内接四边形，
∴ ∠FGC=∠ADC，∴ ∠FGC=∠AGD；
（2）解：连接OD，∵CD⊥AB，CD=8，∴DE=CE=4，

在Rt△DOE中，DO2=OE2+ED2  ，
∴DO2=（OD-2）2+42  ， 解得OD=5，∴AE=10-2=8，
∴AD=.  

24. （1）解：把这些数从小到大排列，最中间的数是第5和第6个数的平均数， 

则中位数是 （克 ；

因为75出现了4次，出现的次数最多，

所以众数是75克；

平均数是： （克 ；

（2）解：根据题意得： 

（个 ，

答：质量为75克的鸡腿有30个；

（3）解：选 加工厂的鸡腿．  

、 平均值一样， 的方差比 的方差小， 更稳定

25.（1）解：设t秒后，则：AP=tcm，BP=（5﹣t）cm；BQ=2tcm． 

S△PBQ=BP×BQ，即 ，解得：t=1或4．（t=4秒不合题意，舍去）

故：1秒后，△PBQ的面积等于4cm2 ．

（2）解：∵PQ=5，则PQ2=25=BP2+BQ2  ， 即25=（5﹣t）2+（2t）2  ， t=0（舍）或2． 

故2秒后，PQ的长度为5cm．

（3）解：令S△PQB=7，即：BP× =7， ，整理得：t2﹣5t+7=0．  

由于b2﹣4ac=25﹣28=﹣3＜0，则方程没有实数根．

所以，在（1）中，△PQB的面积不等于7cm2 ．

26. （1）证明：证明：连接AO并延长交BC于点F，如图1所示， 

∵△ABC是等边三角形，

∴AF⊥BC，

∵AD∥BC，

∴AD⊥OA，

∴AD是⊙O的切线；

（2）解：连接AE、OE，如图2所示， 

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，

∵∠ADC＝90°，

∴CD⊥AD，

∴AF∥CD，

∴∠ACD＝∠CAF＝ ∠BAC＝30°，

∴∠AOE＝2∠ACD＝60°，

∵OA＝OE，

∴△AOE是等边三角形，

∴OA＝AE，∠OAE＝60°，

∴∠DAE＝30°，

∵∠ADC＝90°，

∴OA＝AE＝2DE＝4，AD＝ DE＝2 ，

∴阴影部分的面积＝梯形OADE的面积﹣扇形AOE的面积＝ （2+4）×2 ﹣ ＝6 ﹣ .

27. （1）250；3250
（2）解：设该纪念品的销售单价为x元（x＞40），则当天的销售量为 

[280﹣（x﹣40）×10]件，

依题意，得：（x﹣30）[280﹣（x﹣40）×10]＝3450，

整理，得：x2﹣98x+2385＝0，

解得：x1＝53，x2＝45.

答：当该商品的销售单价为45元或53元时，该商品的当天销售利润是3450元.

解：（1）280﹣（43﹣40）×10＝250（件），

当天销售利润是250×（43﹣30）＝3250（元），

故答案为：250，3250；

28. （1）24
（2）解：如图2中，连接OA，OB，OC，作OE⊥BC于E，设OA=OC=2x， 

∵∠COB=2∠CAB=120°，OC=OB，OE⊥CB，

∴CE=EB，∠COE=∠BOE=60°，

∴OE= OB=x，BE= x，

∵OC+OE≥AG，

∴3x≥3，

∴x≥1，

∴x的最小值为1，

∵BC=2 x，

∴BC的最小值为2

问题解决：

（3）解：如图3中，连接AF，EF，延长BC交AE的延长线于G， 

∵∠D=90°，AD=DE=6 +6，

∴∠DAE=∠AED=45°，

∵CD=AB=6 +12，

∴CE=CF=6，

∴∠CEF=∠CFE=45°，

∴∠AEF=90°，

∴EF=6 =BF，

将△EFM顺时针旋转得到△FBH，作△FHB的外接圆⊙O交BC于N，连接ON，

∵∠AEF=∠ABF=90°，AF=AF，EF=BF，

∴Rt△AEF≌Rt△ABF(HL) ，

∴S△AEF=S△ABF  ，

∵∠EFG=45°，

∵∠FEG=90°，∠EFG=45°，

∴EF=EG=6 ，

∴FG= EF=12，

由(2)可知，当△FHN的外接圆的圆心O在线段BF上时，△FNH的面积最小，此时四边形ANFE的面积最大，

设OF=ON=r，则OB=BN= r，

∴r+ r=6

∴r=6 (2- )，

∴NH= r=12(2- )，

∴四边形ANFM的面积的最大值=2× ×(12+6 )×6 - ×12(2- )×6 =144。

解：(1) 当AD⊥BC时，△ABC面积的最大，

测△ABC面积的最大值是 BC·AD= ×8×6=24，

故答案为：24