2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海初级中学七年级（下）期中数学试卷（含答案）

这是一份2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海初级中学七年级（下）期中数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a3÷a2＝a B．（a2）3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3
3．（3分）若多项式（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
4．（3分）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15米，PB＝11米那么A，B间的距离不可能是（ ）

A．5米 B．8.7米 C．27米 D．18米
5．（3分）如图，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠CDE；④∠A+∠ADC＝180°．
其中，能推出AB∥DC的条件为（ ）

A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④
6．（3分）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十二
7．（3分）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．ax+ay+a＝a（x+y）
C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
8．（3分）如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（ ）

A．（m+a）（m﹣b）＝m2+（a﹣b）m﹣ab
B．（m﹣a）（m+b）＝m2+（b﹣a）m﹣ab
C．（m﹣a）（m﹣b）＝m2﹣（a﹣b）m+ab
D．（m﹣a）（m﹣b）＝m2﹣（a+b）m+ab
9．（3分）二元一次方程3x+2y＝17的正整数解的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（3分）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
二、填空题（3×8＝24分）
11．（3分）计算：已知am＝2，an＝3，则am﹣n＝ ．
12．（3分）计算：22020×（﹣）2021＝ ．
13．（3分）化简a（a﹣2b）﹣（a﹣b）2＝ ．
14．（3分）“北斗三号”最后一颗全球组网卫星的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为 ．
15．（3分）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是 ．
16．（3分）若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于 ．
17．（3分）如图，在六边形ABCDEF，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ °．

18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是 ．

三、解答题
19．（10分）计算
（1）﹣1+（π﹣1）0﹣（﹣）3；
（2）（﹣3a）3﹣（﹣a）•（﹣3a）2．
20．（10分）因式分解：
（1）x2﹣16y2；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
21．（10分）解下列方程组
（1）；
（2）．
22．（12分）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）

（1）过点A画BC的垂线，并标出垂线所过格点P；
（2）过点A画BC的平行线，并标出平行线所过格点Q；
（3）画出△ABC向右平移8个单位长度后△A′B′C′的位置；
（4）△A′B′C′的面积为 ．
23．（8分）已知：如图，∠C＝∠1，∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，求证：AB∥CD．

24．（10分）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．请你算算：
（1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算）
（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？
（3）如果一架飞机的飞行速度为900km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（精确到万位）
25．（12分）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b（a＞b）的正方形CEFG拼在一起，B、C、E三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为S．
（1）如图①，S的值与a的大小有关吗？说明理由；
（2）如图②，若a+b＝10，ab＝21，求S的值；
（3）如图③，若a﹣b＝2，a2+b2＝7，求S2的值．

26．（12分）定义：对于整数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，结果能被15整除，则称n为15的“亲和数”，例如9是15的“亲和数”，因为9+10+11＝30，30能被15整除；﹣7不是15的“亲和数”，因为（﹣7）+（﹣6）+（﹣5）＝﹣18，﹣18不能被15整除．
（1）填空：4 15的“亲和数”；﹣16 15的“亲和数”；（填“是”还是“不是”）；
（2）当n在﹣5到5之间时，直接写出使2n+1是15的“亲和数”的所有n的值；
（3）求出1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数．
27．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
（2）如图②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 度（直接写出结果，不需说理）
②点A、B在运动的过程中，若∠BAO＝m°，试求∠ADB的度数．
（3）如图③，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．

2020-2021学年江苏省连云港市海州区新海初级中学七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（3×10＝30分）
1．（3分）如图所示的图案分别是大众、奥迪、奔驰、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B．
【解答】解：观察图形可知，图案B可以看作由“基本图案”经过平移得到．
故选：B．
【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，而误选A、C、D．
2．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A．a3÷a2＝a B．（a2）3＝a5 C．a2•a3＝a6 D．（2a）3＝6a3
【分析】利用同底数幂的除法法则、幂的乘方的性质、同底数幂的乘法法则、积的乘方运算法则分别进行计算即可．
【解答】解：A、a3÷a2＝a，故原题计算正确；
B、（a2）3＝a6，故原题计算错误；
C、a2•a3＝a5，故原题计算错误；
D、（2a）3＝8a3，故原题计算错误；
故选：A．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方和积的乘方，关键是熟练掌握各运算法则．
3．（3分）若多项式（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别是（ ）
A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3
【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案．
【解答】解：（x+1）（x﹣3）＝x2+ax+b，
x2﹣2x﹣3＝x2+ax+b，
a＝﹣2，b＝﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能灵活运用法则进行化简是解此题的关键．
4．（3分）如图，为了估计池塘两岸A，B间的距离，在池塘的一侧选取点P，测得PA＝15米，PB＝11米那么A，B间的距离不可能是（ ）

A．5米 B．8.7米 C．27米 D．18米
【分析】连接AB，根据三角形的三边关系定理得出不等式，即可得出选项．
【解答】解：连接AB，设AB＝x米，
∵PA＝15米，PB＝11米，
∴由三角形三边关系定理得：15﹣11＜AB＜15+11，
4＜AB＜26，
所以选项C不符合，选项A、B、D符合，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理，能根据三角形的三边关系定理得出不等式是解此题的关键．
5．（3分）如图，给出下列条件：
①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠A＝∠CDE；④∠A+∠ADC＝180°．
其中，能推出AB∥DC的条件为（ ）

A．①④ B．②③ C．①③ D．①③④
【分析】直接根据平行线的判定定理对各小题进行逐一分析即可．
【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项正确；
②∵∠3＝∠4，∴BC∥AD，故本选项错误；
③∵∠A＝∠CDE，∴AB∥CD，故本选项正确；
④∵∠A+∠ADC＝180°，∴AB∥CD，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为：内错角相等，两直线平行．
6．（3分）一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的4倍，则这个正多边形的边数是（ ）
A．八 B．九 C．十 D．十二
【分析】根据正多边形的内角和外角的关系，求出外角的度数，再根据外角和为360°可求出正多边形的边数．
【解答】解：设多边形的一个外角为x，则它的一个内角为4x，
4x+x＝180°，
∴x＝36°
∴这个正n边形的边数为：360°÷36°＝10，
故选：C．
【点评】考查多边形的内角和、外角和的性质，掌握内角和外角的关系是正确解答的前提．
7．（3分）下列因式分解中，正确的是（ ）
A．x2﹣4y2＝（x﹣4y）（x+4y）
B．ax+ay+a＝a（x+y）
C．a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b）
D．4x2+9＝（2x+3）2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、应为x2﹣4y2＝（x﹣2y）（x+2y），故本选项错误；
B、应为ax+ay+a＝a（x+y+1），故本选项错误；
C、a（x﹣y）+b（y﹣x）＝（x﹣y）（a﹣b），故本选项正确；
D、应为4x2+12x+9＝（2x+3）2，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了公式法提公因式法分解因式，运用提公因式法时，注意各项符号的变化，运用公式法的时候，注意公式的结构特征．
8．（3分）如图，若用两种方法表示图中阴影部分的面积，则可以得到的代数恒等式是（ ）

A．（m+a）（m﹣b）＝m2+（a﹣b）m﹣ab
B．（m﹣a）（m+b）＝m2+（b﹣a）m﹣ab
C．（m﹣a）（m﹣b）＝m2﹣（a﹣b）m+ab
D．（m﹣a）（m﹣b）＝m2﹣（a+b）m+ab
【分析】由阴影面积的不同表示法可求解．
【解答】解：阴影部分面积可以表示为（m﹣a）（m﹣b），也可以表示为m2﹣（a+b）m+ab，
∴可得代数恒等式为（m﹣a）（m﹣b）＝m2﹣（a+b）m+ab，
故选：D．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，熟练运用面积的不同表示法是本题的关键．
9．（3分）二元一次方程3x+2y＝17的正整数解的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】用含x的代数式表示出y，根据x、y都是正整数，确定出正整数解的个数．
【解答】解：∵3x+2y＝17，
∴y＝
由于x、y都是正整数，
所以17﹣3x＞0
∴x可取1、2、3、4、5．
当x＝1时，y＝7，
当x＝3时，y＝4，
当x＝5时，y＝1，
当x＝2、4时，y不是正整数舍去．
满足条件的正整数解有三对．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程的正整数解，用含一个未知数的代数式表示出另一个未知数，使问题的解决变简单了．另解决本题亦可根据x、y都是正整数，用试验的办法．
10．（3分）已知m2＝3n+a，n2＝3m+a，m≠n，则m2+2mn+n2的值为（ ）
A．9 B．6 C．4 D．无法确定
【分析】将已知的两个方程相减，求得m+n的值，再将所求代数式分解成完全平方式，再代值计算．
【解答】解：∵m2＝3n+a，n2＝3m+a，
∴m2﹣n2＝3n﹣3m，
∴（m+n）（m﹣n）+3（m﹣n）＝0，
∴（m﹣n）[（m+n）+3]＝0，
∵m≠n，
∴（m+n）+3＝0，
∴m+n＝﹣3，
∴m2+2mn+n2＝（m+n）2＝（﹣3）2＝9．
故选：A．
【点评】本题主要考查了求代数式的值，因式分解的应用，关键是由已知求得m+n的值．
二、填空题（3×8＝24分）
11．（3分）计算：已知am＝2，an＝3，则am﹣n＝ ．
【分析】根据同底数幂的除法，可得答案．
【解答】解：am﹣n＝am÷an＝2÷3＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．
12．（3分）计算：22020×（﹣）2021＝ ﹣ ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方进行计算即可．
【解答】解：22020×（﹣）2021
＝22020×（﹣）2020×（﹣）
＝（﹣2×）2020×（﹣）
＝（﹣1）2020×（﹣）
＝1×（﹣）
＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查幂的乘方与积的乘方，掌握幂的乘方与积的乘方的运算性质是正确解答的关键．
13．（3分）化简a（a﹣2b）﹣（a﹣b）2＝ ﹣b2 ．
【分析】先去括号，然后合并同类项即可．
【解答】解：a（a﹣2b）﹣（a﹣b）2，
＝a2﹣2ab﹣（a2﹣2ab+b2），
＝a2﹣2ab﹣a2+2ab﹣b2，
＝﹣b2．
【点评】本题考查了单项式乘多项式，完全平方公式，计算后要合并同类项．
14．（3分）“北斗三号”最后一颗全球组网卫星的授时精度小于0.00000002秒，则0.00000002用科学记数法表示为 2×10﹣8 ．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00000002＝2×10﹣8．
故答案为：2×10﹣8．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
15．（3分）如果4x2+mx+9是完全平方式，则m的值是 ±12 ．
【分析】利用完全平方公式化简即可求出m的值．
【解答】解：∵4x2+mx+9是完全平方式，
∴m＝±12，
故答案为：±12
【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
16．（3分）若a+b﹣2＝0，则代数式a2﹣b2+4b的值等于 4 ．
【分析】先计算a+b的值，再将所求代数式利用平方差公式分解前两项后，将a+b的值代入化简计算，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b﹣2＝0，
∴a+b＝2．
∴a2﹣b2+4b
＝（a+b）（a﹣b）+4b
＝2（a﹣b）+4b
＝2a﹣2b+4b
＝2a+2b
＝2（a+b）
＝2×2
＝4．
故答案为4．
【点评】本题主要考查因式分解的应用，通过平方差公式分解因式后整体代入是解题的关键．
17．（3分）如图，在六边形ABCDEF，AF∥BC，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 180 °．

【分析】根据多边形的外角和减去∠A和∠B的外角的和即可确定四个外角的和．
【解答】解：∵AF∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠A与∠B的外角和为180°，
∵六边形ABCDEF的外角和为360°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°，
故答案为：180．
【点评】本题考查了多边形的外角和定理，解题的关键是发现∠A和∠B的外角的和为180°，难度中等．
18．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC上一个动点．若△DEC是直角三角形，则∠BDE的度数是 30°或70° ．

【分析】根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠C＝40°，根据角平分线的性质可得∠DBC＝20°，再分两种情况：∠EDC＝90°；∠DEC＝90°；进行讨论即可求解．
【解答】解：∵在△ABC中，∠ABC＝∠C，∠A＝100°，
∴∠ABC＝∠C＝40°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝20°，
当∠EDC＝90°时，
∠BDE＝180°﹣20°﹣40°﹣90°＝30°；
当∠DEC＝90°时，
∠BDE＝90°﹣20°＝70°．
故∠BDE的度数是30°或70°．
故答案为：30°或70°．
【点评】考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线，注意分类思想的应用．
三、解答题
19．（10分）计算
（1）﹣1+（π﹣1）0﹣（﹣）3；
（2）（﹣3a）3﹣（﹣a）•（﹣3a）2．
【分析】（1）先算负整数指数幂，零指数幂，乘方，再算加减即可；
（2）先算积的乘方，再算单项式乘单项式，最后合并同类项即可．
【解答】解：（1）﹣1+（π﹣1）0﹣（﹣）3
＝﹣3+1﹣（﹣）
＝﹣3+1+
＝﹣；
（2）（﹣3a）3﹣（﹣a）•（﹣3a）2
＝﹣27a3﹣（﹣a）•9a2
＝﹣27a3+9a3
＝﹣18a3．
【点评】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（10分）因式分解：
（1）x2﹣16y2；
（2）2x2y﹣8xy+8y．
【分析】（1）直接利用平方差公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式2y，再利用完全平方公式分解因式即可．
【解答】解：（1）x2﹣16y2＝（x+4y）（x﹣4y）；

（2）2x2y﹣8xy+8y
＝2y（x2﹣4x+4）
＝2y（x﹣2）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
21．（10分）解下列方程组
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用代入消元法求出解即可；
（2）利用加减消元法求出解即可．
【解答】解：（1），
把①代入②得：3x+8x﹣4＝7，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝1，
则方程组的解为；
（2）
①×3+②×2得：17x＝17，
解得：x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
则方程组的解为．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
22．（12分）如图是由相同边长的小正方形组成的网格图形，小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点都叫做格点，△ABC的三个顶点都在格点上，利用网格画图．（注：所画格点、线条用黑色水笔描黑）

（1）过点A画BC的垂线，并标出垂线所过格点P；
（2）过点A画BC的平行线，并标出平行线所过格点Q；
（3）画出△ABC向右平移8个单位长度后△A′B′C′的位置；
（4）△A′B′C′的面积为 9.5 ．
【分析】（1）取格点P，作直线AP即可．
（2）取格点Q，连接AQ，直线AQ即为所求作．
（3）根据平移的规律解决问题即可．
（4）利用分割法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图，直线AP即为所求作．
（2）如图，直线AQ即为所求作．
（3）如图，△A′B′C′即为所求作．

（4）S△A′B′C′＝4×5﹣×1×4﹣×5×1﹣×3×4＝9.5．
故答案为：9.5．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23．（8分）已知：如图，∠C＝∠1，∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，求证：AB∥CD．

【分析】根据等角的余角相等得∠1＝∠2，根据等量关系可得∠2＝∠C，然后根据平行线的判定可得AB∥CD．
【解答】证明：∵∠2+∠D＝90°，∠1+∠D＝90°，
∴∠2＝∠1，
∵∠C＝∠1，
∴∠2＝∠C，
∴AB∥CD．
【点评】本题考查了平行线的判定，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．
24．（10分）光在真空中的传播速度约是3×108m/s，光在真空中传播一年的距离称为光年．请你算算：
（1）1光年约是多少千米？（一年以3×107s计算）
（2）银河系的直径达10万光年，约是多少千米？
（3）如果一架飞机的飞行速度为900km/h，那么光的速度是这架飞机速度的多少倍？（精确到万位）
【分析】（1）根据题意列出算式，求出即可；
（2）根据题意列出算式，求出即可；
（3）先化单位，再根据题意列出算式，求出即可．
【解答】解：（1）3×107×3×108＝9×1015（m）＝9×1012千米，
答：1光年约是9×1012千米；

（2）100000×9×1012＝9×1017（千米），
答：银河系的直径达10万光年，约是9×1017千米；

（3）3×108m/s＝1.08×109km/h，
1.08×109÷900＝1.2×106，
答：光的速度是这架飞机速度的1.2×106倍．
【点评】本题考查了整式的混合运算的应用，解此题的关键是能根据题意列出算式．
25．（12分）如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b（a＞b）的正方形CEFG拼在一起，B、C、E三点在同一直线上，设图中阴影部分的面积为S．
（1）如图①，S的值与a的大小有关吗？说明理由；
（2）如图②，若a+b＝10，ab＝21，求S的值；
（3）如图③，若a﹣b＝2，a2+b2＝7，求S2的值．

【分析】（1）依据图形面积之间的数量关系，即可得到S的值与a无关；
（2）依据a+b＝10，ab＝21，代入S＝a2+b2﹣（a+b）•b，进行计算即可；
（3）依据（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10，即可得到S2的值．
【解答】解：（1）S的值与a无关，理由如下：
由题意知：S＝a2+b2﹣（a+b）•a﹣（a﹣b）•a﹣b2＝b2，
∴S的值与a无关．

（2）∵a+b＝10，ab＝21，
∴S＝a2+b2﹣（a+b）•b
＝a2+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝×102﹣×21
＝50﹣31.5
＝18.5．

（3）∵S＝（a﹣b）•a+（a﹣b）•b＝（a﹣b）（a+b），
∴S2＝（a﹣b）2（a+b）2．
∵a﹣b＝2，
∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝4，
∵a2+b2＝7，
∴2ab＝3，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝10，
∴S2＝×4×10＝10．

【点评】此题考查列代数式，整式的混合运算的运用，利用完全平方公式是解决问题的关键．
26．（12分）定义：对于整数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，结果能被15整除，则称n为15的“亲和数”，例如9是15的“亲和数”，因为9+10+11＝30，30能被15整除；﹣7不是15的“亲和数”，因为（﹣7）+（﹣6）+（﹣5）＝﹣18，﹣18不能被15整除．
（1）填空：4 是 15的“亲和数”；﹣16 是 15的“亲和数”；（填“是”还是“不是”）；
（2）当n在﹣5到5之间时，直接写出使2n+1是15的“亲和数”的所有n的值；
（3）求出1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数．
【分析】（1）根据亲和数定义即可求解；
（2）n在﹣5到5之间时，2n+1在﹣9至11之间，求解﹣9到11之间是15的“亲和数”即可求解；
（3）根据定义，写出“亲和数”的一般式，进行分析即可求解．
【解答】解：（1）∵4+5+6＝15．
∴15能够被15整除，故4是15的“亲和数”；
∵（﹣16）+（﹣15）+（﹣14）＝﹣45，
∴﹣45能够被15整除，故﹣16是15的“亲和数”．
故答案为：是，是；
（2）n在﹣5到5之间时，
∴2n+1在﹣9至11之间，
∴结合“亲和数”的定义可知，2n+1+1的个位数字为0或5，
∴2n+1+1＝﹣5或2n+1+1＝0或2n+1+1＝5或2n+1+1＝10，
∴n＝﹣3.5或﹣1或1.5或4．
∵n是整数．
∴n＝﹣1或4；
（3）根据定义若数n是15的“亲和数”，则有：＝．
∴1到2021这2021个整数中，若n是15的亲和数，n的个位必定是4或者是9．
∴1到2021这2021个整数中，是15的“亲和数”的个数为404个．
【点评】本题考查了因式分解的应用，理解“亲和数”的定义是解题的关键．
27．（12分）直线MN与PQ相互垂直，垂足为点O，点A在射线OQ上运动，点B在射线OM上运动，点A、点B均不与点O重合．
（1）如图①，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度数．
（2）如图②，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延长线交AI于点D．
①若∠BAO＝40°，则∠ADB＝ 45° 度（直接写出结果，不需说理）
②点A、B在运动的过程中，若∠BAO＝m°，试求∠ADB的度数．
（3）如图③，已知点E在BA的延长线上，∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，在△ADF中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出∠ABO的度数．

【分析】（1）求出∠IBA，∠IAB，根据∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB），即可解决问题．
（2）①根据∠CBA＝∠D+∠BAD，只要求出∠CBA，∠BAD即可．
②结论：点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．根据∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB计算即可．
（3）首先证明∠ABO＝2∠D，∠DAF＝90°，再分四种情形讨论即可①当∠DAF＝4∠D时，②当∠DAF＝4∠F时，③当∠F＝4∠D时，④当∠D＝4∠F时，分别计算即可．
【解答】解：（1）如图①中，

∵MN⊥PQ，
∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，
∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，
∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，
∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，
∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．
（2）如图②中，

①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，
∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，
∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，
∵∠CBA＝∠D+∠BAD，
∴∠D＝45°．
②结论：点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°
理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，
∴点A、B在运动的过程中，∠ADB＝45°．

（3）如图③中，

∵∠BAO的角平分线AI、∠OAE的角平分线AF与∠BOP的角平分线所在的直线分别相交于点D、F，
∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，
∴∠DAF＝∠BAO+＝×180°＝90°，
∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，
①当∠DAF＝4∠D时，∠D＝22.5°，
∴∠ABO＝2∠D＝45°．
②当∠DAF＝4∠F时，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，
∴∠B＝2∠D＝135°（不合题意舍弃）．
③当∠F＝4∠D时，∠D＝18°，
∴∠ABO＝2∠D＝36°．
④当∠D＝4∠F时，∠D＝72°，
∴∠ABP＝2∠D＝144°（不合题意舍弃）．
综上所述，当∠ABO＝45°或36°时，在△ADF中，有一个角的度数是另一个角的4倍．
【点评】本题考查三角形综合题、三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．