江苏省苏州市相城区 2020-2021学年九年级上学期 期中考试数学试卷（含答案）

这是一份江苏省苏州市相城区 2020-2021学年九年级上学期 期中考试数学试卷（含答案），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

江苏省苏州市相城区2020-2021学年九年级上学期期中考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．一元二次方程的二次项系数是（ ）
A．2 B．1 C． D．0
2．已知，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，点A、B、C在⊙O上，D是的中点，若，则的度数是（ ）

A．20° B．25° C．30° D．35°
4．若且周长之比1：3，则与的面积比是（ ）
A．1：3 B． C．1：9 D．3：1
5．已知关于x的一元二次方程有一个根为，则另一个根是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上一点，且，EC交对角线BD于点F，则等于（ ）

A． B． C． D．
7．一个两位数的两个数字的和为9，把这个两位数的个位数字与十位数字互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为1458，设原两位数的个位数字为x，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是（ ）
A． B． C． D．1
9．定义运算：．若a，b是方程的两根，则的值是（ ）
A．0 B． C．2 D．2m
10．如图，⊙O的半径为3，是⊙O的内接三角形，过点A作AD垂直BC于点D．若，，则长是（ ）

A． B．4 C． D．

二、填空题
11．（x+ ____）2
12．在比例尺为1：100000的地图上，测量得到甲乙两座城市的距离为27cm，则甲乙两座城市的实际距离为________千米．
13．如图，在半径为4的⊙O中，的长为，则阴影部分的面积为__________．

14．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________．
15．将一个面积为的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的底面半径为__________．
16．如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，若出发t秒后，，则_________秒．

17．如图，小明站在距地面5.1m的路灯OP下点A处，此时他的影长，小明沿直线向前走了2m到达了点B处，此时他的影长，则小明的身高为__________m．

18．已知线段，C是平面内任意一点，若，则面积的最大值是_________．

三、解答题
19．解方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
20．如图，在中，垂足为，且．求证：．

21．已知如图，AB是⊙O的直径，C、D是圆上的两点，且，若，求的度数．

22．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有两个实数根为，，且，求m的值．
23．如图在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，，请按如下要求画图：

（1）以坐标原点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转90°，得到，请画出，在旋转过程中点B所经过的路径长为__________；
（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方画出的位似图形，使它与的相似比为2：1
24．如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
25．如图，在中，，以AC为直径作⊙O交AB于点D，E是BC的中点，连接DE并延长交AC的延长线于点F．

（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O半径的长．
26．某水果超市以每千克20元的价格购进一批樱桃，规定每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，经市场调查发现，樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数关系，其部分对应数据如下表所示：
每千克售价x/元
…
25
30
35
…
日销售量y/千克
…
110
100
90
…
（1）该超市要获得1000元的日销售利润，每千克樱桃的售价应定为多少元？
（2）该超市日销售利润能否达到2000元，若能，求出每千克樱桃的售价；若不能，请说明理由．
27．思考探索：

（1）如图①在中，，，点P为BC上一点，连接AP，若，则__________；
（2）在中，，若，且AP把分成两个三角形，其中一个与相似，求的度数；
（3）如图②，在中，，，，点Q为EF上一点，点F关于直线DQ的对称点恰好落在线段DE上，求线段DE的长．
28．如图，已知，OT是的平分线，A是射线OM上一点，，动点P从点A出发，以的速度沿AO水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以的速度沿ON竖直向上作匀速运动．连接PQ，交OT于点B．经过O、P、Q三点作圆，交OT于点C，连接PC、QC．设运动时间为，其中．


（1）求的值；
（2）是否存在实数t，使得线段OB的长度为？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）点P、Q在运动过程中，求证四边形OPCQ的面积是一定值．


参考答案
1．A
【分析】
根据一元二次方程的定义可直接进行排除选项．
【详解】
解：由一元二次方程可知二次项系数是2；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
2．D
【分析】
根据题意可得，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵，
∴，
∴；
故选D．
【点睛】
本题主要考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
3．B
【分析】
连接OD，根据圆周角定理，即可求解．
【详解】
连接OD，

∵D是的中点，，
∴∠BOD=，
∴=，
故选B．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角等于圆心角度数的一半，是解题的关键．
4．C
【分析】
根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】
∵且周长之比1：3，
∴与的相似比=1：3，
∴与的面积比=12：32=1：9，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
5．B
【分析】
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到()t＝−1，然后解t的方程即可．
【详解】
解：设方程的另一个根为t，
则()t＝−1，，解得t＝，
即方程的另一个根为:．
故选B．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．
6．A
【分析】
根据题意易得，，，进而可得，然后问题可得求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．C
【分析】
根据题意易得原两位数的十位数字为9-x，然后可根据题意进行列方程排除选项．
【详解】
解：由题意得：原两位数的十位数字为9-x，则有，
；
故选C．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
8．B
【分析】
根据三角形的内切圆与外接圆的性质可直接进行求解．
【详解】
解：如图，

∵△ABC是等边三角形，
∴等边三角形的外接圆与内切圆的圆心在同一个点上，即图中的点O，
∴OA为△ABC的外接圆的半径，OE为△ABC的内切圆的半径，
∴AD⊥BC，OE⊥AB，
∴∠BAD=∠CAD=30°，
∴，
∴正三角形内切圆与外接圆的半径的比值是；
故选B．
【点睛】
本题主要考查三角形的内切圆与外接圆，熟练掌握三角形的内切圆与外接圆的性质是解题的关键．
9．A
【分析】
由题意易得，进而可得，然后代入求解即可．
【详解】
解：由题意得：
，
∵a，b是方程的两根，
∴把a，b代入方程得：，
∴，即，
∴；
故选A．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
10．D
【分析】
连接AO，OB，过点O作OM⊥AB，从而得∠AOM=∠C，进而得sin∠AOM=sin∠C=，然后即可求解．
【详解】
连接AO，OB，过点O作OM⊥AB，
∴∠AOM=∠AOB，AM=BM=AB，
又∵∠C=∠AOB，
∴∠AOM=∠C，
∵，，AD⊥BC，
∴sin∠AOM=sin∠C=，
又∵AO=3，
∴AM= AO×sin∠AOM=3×=，
∴AB=2×=．
故选D．

【点睛】
本题主要考查圆周角定理，等腰三角形的性质以及锐角三角函数，添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．
11．3
【分析】
根据完全平方公式可直接进行求解．
【详解】
解：；
故答案为3．
【点睛】
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键．
12．27
【分析】
比例尺表示图上距离比实地距离缩小的程度，用公式表示为：比例尺＝图上距离/实地距离．
【详解】
解：在一幅比例尺为1：100000的地图上，测量得到甲乙两座城市的距离为27cm，两座城市的实际距离为27cm×100000＝2700000cm=27千米，
故答案是：27．
【点睛】
本题考查了比例尺的应用，掌握比例尺＝图上距离/实地距离，是解题的关键．
13．
【分析】
根据题意可由扇形面积计算公式进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：
；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查扇形面积计算公式，熟练掌握扇形面积计算公式是解题的关键．
14．
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可得：
，
解得：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．
【分析】
由圆锥的侧面展开图可得半圆的周长即为底面圆的周长，进而可得面积为的半圆的周长为，然后问题可求解．
【详解】
解：由圆锥的侧面展开图可得半圆的弧长即为底面圆的周长，设该半圆的半径为r，由题意得：
，解得：，
∴该半圆的周长为：，
∴圆锥底面圆的半径为：；
故答案为．
【点睛】
本题主要考查圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥侧面展开图是解题的关键．
16．4-
【分析】
根据矩形的性质和勾股定理，用含t的代数式表示出PA，PC，再列出方程，即可求解．
【详解】
解：∵在矩形ABCD中，，，点P从点A出发沿AB以的速度向点B移动，
∴PA=2t，PC=，
∵，
∴2t=，解得：t1=4-，t2=4+（舍去），
故答案是：4-．
【点睛】
本题主要考查矩形的性质，勾股定理，二次根式，一元二次方程，用用含t的代数式表示出PA，PC，是解题的关键．
17．1.7
【分析】
由，，得，进而即可求解．
【详解】
由题意得：OP=5.1，AB=2，，，
∴，
∴，
∵CA=BD，
∴，
∴OA=2，
∴，解得：CA=1.7，
∴小明的身高为1.7m，
故答案是：1.7．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质的实际应用，通过相似三角形得到比例式，是解题的关键．
18．
【分析】
先判断点C的运动轨迹为一个圆，过点O作OD⊥AB，延长DO交于点C，此时，面积的最大，进而即可求解．
【详解】
∵线段，C是平面内任意一点，，
∴点C在以AB为弦，AB所对的圆心角为90°的上，如图，
过点O作OD⊥AB，延长DO交于点C，此时，面积的最大，
∵OD⊥AB，AB=4，
∴AD=OD=2，
∴AO=，
∴OC=AO=,
∴CD=CO+OD=+2，
∴面积的最大值=×4×(+2)=，
故答案是：．

【点睛】
本题主要考查圆周角定理以及勾股定理，根据题意，判断出点C的轨迹是一个圆，是解题的关键．
19．（1），；（2），；（3），；（4）
【分析】
（1）利用因式分解法，即可求解；
（2）利用因式分解法，即可求解；
（3）利用因式分解法，即可求解；
（4）先化简，再利用因式分解法，即可求解．
【详解】
解：（1），
分解因式得：，
即：或，
∴，；
（2），
移项，分解因式得：，
即：或，
∴，；
（3），
分解因式得：，
即：或，
∴，；
（4），
化简得：，
分解因式得：，
∴．
【点睛】
本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程，是解题的关键．
20．见详解
【分析】
先证明，进而可得∠ACB=∠AHC=90°．
【详解】
∵，
∴∠AHC=90°，
∵，即：，
又∵∠A=∠A，
∴，
∴∠ACB=∠AHC=90°．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形是相似三角形”，是解题的关键．
21．
【分析】
由题意易得，则由圆内接四边形的性质可得，进而可得，然后可得，则，然后问题可求解．
【详解】
解：∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查圆内接四边形的性质及圆周角，熟练掌握圆内接四边形的性质及圆周角是解题的关键．
22．（1）见详解；（2）
【分析】
（1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解；
（2）利用一元二次方程根与系数的关系可直接进行求解．
【详解】
（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵，
∴，
∵方程有两个实数根为，，
∴，
∵，
∴，
解得：．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
23．（1）图见详解，；（2）图见详解
【分析】
（1）根据旋转的性质可直接作图，然后由图可得点B所经过的路径为圆弧，最后根据圆弧的计算公式进行求解即可；
（2）根据位似图形的性质可直接进行作图．
【详解】
解：（1）由题意可得如图所示：

连接OB，，
∴，，
∴点B所经过的路径长为；
故答案为；
（2）由题意可得如图所示：

【点睛】
本题主要考查位似及弧长计算公式，熟练掌握位似及弧长计算公式是解题的关键．
24．（1）见解析；（2）
【分析】
根据矩形的性质可得，，．再根据“两直线平行，内错角相等”可得，再由垂直的定义可得．从而得出，再根据“有两组角对应相等的两个三角形相似”可得出结论；
根据中点的定义可求出BE=2，然后根据勾股定理求出AE= .再根据相似三角形的性质求解即可.
【详解】
证明：（1）∵四边形是矩形，
∴，．
∴，
∵，
∴．
∴，
∴．
解：（2）∵，
∴．
∵，是的中点，
∴．
∴在中，．
又∵，
∴，
∴．
【点晴】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
25．（1）见详解；（2）⊙O半径的长．
【分析】
（1）连接OD，OE，由题意易得OE∥AB，，则有，，进而可得，然后可证，则，最后问题得证；
（2）设OD=OC=x，由（1）可得，则有，然后可得，最后利用勾股定理可求解．
【详解】
（1）证明：连接OD，OE，如图所示：

∵点O、E分别是AC、BC的中点，
∴OE∥AB，
∴，
∵OA=OD，
∴，
∴，
∴，
∵OD=OC，OE=OE，
∴（SAS），
∴，即，
∵OD是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）由（1）可得：，则有，
∵，，
∴，
设OD=OC=x，则，
∴在Rt△ODF中，，即，
解得：，
∴，即⊙O半径的长．
【点睛】
本题主要考查切线的判定，熟练掌握切线的判定定理是解题的关键．
26．（1）每千克樱桃的售价应定为30元；（2）不能，理由见详解
【分析】
（1）由题意可设樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的解析式为，然后由表格可得，进而可得，则由销售利润=单个利润×销售量可进行求解；
（2）由（1）及题意可直接进行求解．
【详解】
解：（1）设樱桃的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）满足一次函数的解析式为，由表格可得：
，解得：，
∴一次函数解析式为，
∴，
解得：，
∵每千克樱桃售价不低于进价又不高于40元，
∴；
答：每千克樱桃的售价应定为30元．
（2）不能，理由如下：
由（1）及题意得：
，
整理得：，
∵，
∴该超市日销售利润不能达到2000元．
【点睛】
本题主要考查一次函数的应用及一元二次方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及一元二次方程的应用是解题的关键．
27．（1）；（2）或90°；（3）
【分析】
（1）由题意易得△ABP∽△CBA，然后根据相似三角形的性质可求解；
（2）由题意可分①当△ABP∽△CBA，②当△ACP∽△BCP，然后分类求解即可；
（3）由题意易证△DQF∽△EDF，然后根据相似三角形的性质可得，进而可得，最后再结合相似三角形的性质可求解．
【详解】
解：（1）∵，
∴∠B=∠C，
∵，
∴∠BAP=∠B，
∴∠BAP=∠C，
∴△ABP∽△CBA，
∴，即，
∵，
∴；
故答案为；
（2）由题可得：
①当△ABP∽△CBA时，如图，

∵，，
∴，
∵△ABP∽△CBA，
∴；
②当△ACP∽△BCP，如图，

∵，，
∴，，
∵△ACP∽△BCP，
∴，
∴；
综上所述：的度数为30°或90°；
（3）∵点F关于直线DQ的对称点恰好落在线段DE上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，EQ=DQ，
∵∠F=∠F，
∴△DQF∽△EDF，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴EQ=DQ=5，
∴，
∴．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
28．（1）；（2），理由见详解；（3）四边形OPCQ的面积为16，证明见详解．
【分析】
（1）由题意易得，进而问题可求解；
（2）过点B作BD⊥OP，垂足为D，则BD∥OQ，设线段BD的长为xcm，则BD=OD=xcm，，得出，则有，进而可得，然后问题可求解；
（3）由题意易证△PCQ是等腰直角三角形，则，在Rt△POQ中，，然后由四边形OPCQ的面积可得出答案．
【详解】
解：（1）由题意得：，
∵，
∴，
∴；
（2）存在实数t，使得线段OB的长度为，理由如下：
过点B作BD⊥OP，垂足为D，如图所示：


∴BD∥OQ，
∵，OT是的平分线，
∴，
∴BD=OD，，
设线段BD的长为xcm，则BD=OD=xcm，，
∵BD∥OQ，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，解得：；
（3）∵，
∴PQ是圆的直径，
∴，
∵，
∴△PCQ是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴在Rt△POQ中，，
∴四边形OPCQ的面积，
∴四边形OPCQ的面积是一定值．
【点睛】
本题主要考查圆周角定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键．