人教A版 (2019)必修 第一册1.3 集合的基本运算第一课时学案

第1课时　集合的交集、并集

 [课程目标] 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集；2.能使用Venn图表达集合间的关系及运算，体会直观图形对理解抽象概念的作用；3.能够利用集合并集与交集的性质解决简单的参数问题．

知识点一　集合的并集

并集的三种语言表示：

① 文字语言：由所有属于集合A__或__属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的__并集__．

② 符号语言：A∪B＝__{x|x∈A，或x∈B}__．

③ 图形语言：如图所示．

[研读](1)两个集合的并集实质上是将这两个集合的元素并在一起组成一个集合，重复的元素只算一次．

(2)对“或”的理解：“x∈A，或x∈B”包含三种情况：x∈A，但x∉B；x∉A，但x∈B；x∈A，且x∈B.Venn图表示如下：

　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)集合A∪B的元素个数小于或等于集合A与集合B的元素个数和．(　√　)

(2)A∪∅＝∅.(　×　)

(3)A∪B＝B∪A.(　√　)

(4)(A∪B)∪C＝A∪(B∪C).(　√　)

(5)若A⊆B，则A∪B＝B.(　√　)

【解析】 (1) 当集合A与集合B没有公共元素时，A∪B的元素个数等于集合A与集合B的元素个数和；当集合A与集合B有公共元素时，A∪B的元素个数小于集合A与集合B的元素个数和．

(2)由并集的定义知A∪∅＝A.

(3)(4)由并集的定义知等式成立．

(5)根据Venn图可知A∪B＝B.

知识点二　集合的交集

交集的三种语言表示：

①文字语言：由所有属于集合A__且__属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的__交集__．

②符号语言：A∩B＝__{x|x∈A，且x∈B}__．

③图形语言：如图所示．

[研读](1)两个集合的交集实质上是由这两个集合的相同元素组成的集合．

(2)集合A与B的交集的三种情况用Venn图表示如下：

　　 判断正误(请在括号中打“√”或“×”).

(1)当集合A与B没有公共元素时，则说集合A与B没有交集．(　×　)

(2)A∩∅＝∅.(　√　)

(3)A∩B＝B∩A.(　√　)

(4)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C).(　√　)

(5)若A⊆B，则A∩B＝A.(　√　)

(6)若A∩B＝A∪B，则A＝B.(　√　)

【解析】 (1)当集合A与B没有公共元素时，集合A与B的交集为∅，即A∩B＝∅.

(2)(3)(4)由交集的定义知等式成立．

(5)根据Venn图可知A∩B＝A.

(6)若A⊆B，则A∩B＝A，因为A∩B＝A∪B，所以A＝A∪B，则有A⊇B，所以A＝B.

 若集合A＝{－1，0，3，4，5}，B＝{1，2，4}，则集合A∪B＝__{－1，0，1，2，3，4，5}__．

【解析】 根据并集的定义知A∪B＝{－1，0，1，2，3，4，5}．

活学活用

已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)·(x－3)＝0}，则集合A∪B等于(　C　)

A．{－1，2，3}　　　　　B．{－1，－2，3}

C．{1，－2，3}    D．{1，－2，－3}

【解析】 化简集合A，B，得A＝{1，－2}，B＝{－2，3}，所以A∪B＝{1，－2，3}．

 已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，则A∪B＝__{x|x≤－2，或x>1}__．

【解析】 将x≤－2或x>5及1<x≤7在数轴上表示出来，

由并集的定义可知图中阴影部分即为所求，

所以A∪B＝{x|x≤－2，或x>1}．

[规律方法]

此类题目首先应看清集合中元素的范围，简化集合．若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．

活学活用

设集合A＝{m|m－2>0}，B＝{m|－1≤m<5}，则A∪B＝__{m|m≥－1}__．

【解析】 A＝{m|m－2>0}＝{m|m>2}，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，由图可知A∪B＝{m|m≥－1}．

 已知A＝{2，4，6，8，10}，B＝{3，5，8，12}，C＝{6，8}，则A∩B＝____；A∩(B∩C)＝____．

【解析】 依题意，有A∩B＝∩＝；

B∩C＝，所以A∩(B∩C)＝∩＝.

活学活用

设集合A＝{4，5，6，8}，集合B＝{3，5，7，8，9}，则A∩B＝__{5，8}__；(A∪B)∩(A∩B)＝__{5，8}__．

【解析】 A∩B＝{5，8}；A∪B＝{3，4，5，6，7，8，9}，

所以(A∪B)∩(A∩B)＝{5，8}．

 已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|≤4，x∈Z}，则A∩B等于(　D　)

A．(0，2)　　　　　　B．[0，2]

C．{0，2}    D．{0，1，2}

【解析】 因为|x|≤2，所以－2≤x≤2，即A＝{x|－2≤x≤2}．因为≤4.所以0≤x≤16.

又因为x∈Z，所以B＝{0，1，2，3，…，16}，

所以A∩B＝{0，1，2}．

[规律方法]

求两个集合交集的一般方法：

(1)明确集合中的元素．

(2)元素个数有限时，利用定义或Venn图求解，元素个数无限时，借助数轴求解．

(3)当所给集合中有一个不确定时，要注意分类讨论，分类的标准取决于已知集合．

活学活用

已知集合M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为(　D　)

A．x＝3，y＝－1    B．{(3，1)}

C．{3，－1}    D．{(3，－1)}

【解析】 若(x，y)∈M∩N，则(x，y)满足⇒从而有M∩N＝{(3，－1)}．

 若A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且A∩B＝B，则由实数a组成的集合C＝____．

【解析】 由A＝{x|x2－2x－3＝0}，得A＝{－1，3}.因为A∩B＝B，所以B⊆A.当B≠∅时，有B＝{－1}或B＝{3}．当B＝{－1}时，由a×(－1)－2＝0，得a＝－2；当B＝{3}时，由a×3－2＝0，得a＝.

当B＝∅时，方程ax－2＝0无解，得a＝0.故由实数a组成的集合C＝.

[规律方法]

1．在利用集合的交集、并集性质解题时，常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理．

2．当集合B⊆A时，如果集合A是一个确定的集合，而集合B不确定，运算时要考虑B＝∅的情况，切不可漏掉．

【迁移探究1】 本例中将集合A，B改为A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－ax＋a－1＝0}．将“A∩B＝B”改为“A∪B＝A”，求a的值．

解：因为A＝{1，2}，A∪B＝A，所以B⊆A，

所以B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1，2}．

当B＝∅时，Δ<0，a不存在；

当B＝{1}时，得a＝2；

当B＝{2}时，a不存在；

当B＝{1，2}时，得a＝3.

综上所述，a＝2或a＝3.

【迁移探究2】已知集合A＝，集合B＝，若A∪B＝B，则实数m的取值范围为__m≥－1__．

【解析】 由A∪B＝B可得A⊆B，

当2m＋1≥m＋2，即m≥1时，B＝R，显然满足A⊆B；

当2m＋1<m＋2，即m<1时，由A⊆B得⇒

－1≤m<1，

综上，m≥－1.

活学活用

已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋1}，B＝{x|－2≤x≤3}，若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

解：因为A∩B＝A，所以A⊆B.

当A＝∅时，2a>a＋1，即a>1，满足A⊆B.

当A≠∅时，2a≤a＋1，即a≤1时，由图可知，解得－1≤a≤2，

又a≤1，所以－1≤a≤1.

综上可知，实数a的取值范围是{a|a≥－1}．

1．设集合X＝，Y＝{y∈Z|－1≤y≤3}，则X∩Y等于(　B　)

A．　　　　　　B．

C．    D．

【解析】 因为X＝，Y＝，所以X∩Y＝.

2．满足条件M∪{0}＝{－1，0，1}的集合M的个数是(　B　)

A．1    B．2

C．3    D．4

【解析】 由已知得M＝{－1，1}或M＝{－1，0，1}，共2个．故选B.

3．已知集合M＝{2，a2－3a＋5，5}，N＝{1，a2－6a＋10，3}，M∩N＝{2，3}，则a等于(　C　)

A．1或2    B．2或4

C．2    D．1

【解析】 依题意，得a2－3a＋5＝3且a2－6a＋10＝2，这两个方程的公共根是2.故选C.

4．若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1，或x>4}，则A∩B＝__{x|－2≤x<－1}__．

【解析】 如图所示，A∩B＝{x|－2≤x<－1}．

5．已知集合P＝{x|－1≤x≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围为__{a|－1≤a≤1}__．

【解析】 由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，P＝{x|－1≤x≤1}，所以a的取值范围为{a|－1≤a≤1}．

6．已知A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2－ax－b＝0}，且A∪B＝{2，3，5}，A∩B＝{3}，求p，a，b的值．

解：由A∩B＝{3}得3∈A，从而p＝8，A＝{3，5}．

由A∪B＝{2，3，5}，可得B＝{2，3}，从而有a＝5，b＝－6.