必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业

这是一份必修 第二册8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课时作业，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.如图所示,长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H,则HG与AB的位置关系是( )
A.平行B.相交
C.异面D.平行或异面
【解析】选A.由题意可知EF∥AB,所以EF∥平面ABCD.又平面EFGH∩平面ABCD=GH,所以EF∥GH,所以GH∥AB.
2.如图所示,在三棱锥S-ABC中,E,F分别为SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则( )
A.EF与BC相交B.EF∥BC
C.EF与BC异面D.以上均有可能
【解析】选B.因为EF∥平面ABC,EF⊂平面SBC,且平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC.
3.已知下列叙述:①一条直线和另一条直线平行,那么它就和经过另一条直线的任何平面平行;
②一条直线平行于一个平面,则这条直线与这个平面内所有直线都没有公共点,因此这条直线与这个平面内的所有直线都平行;
③若直线l与平面α不平行,则l与α内任一直线都不平行;
④与一平面内无数条直线都平行的直线必与此平面平行.
其中正确的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
【解析】选A.这条直线有可能就在这个平面内,①错;一条直线平行于一个平面,这个平面内的直线可能与它异面,②错;对于③④,直线有可能在平面内.
4.如果点M是两条异面直线外一点,则过点M且与a,b都平行的平面( )
A.有两个B.恰有一个
C.没有或只有一个D.有无数个
【解析】选C.将a,b平移至过点M时,只能确定一个平面.若a或b在此平面内时,不符合条件,即不存在这样的平面;若a,b均不在此平面内时,符合条件,即只有一个平面.
5.(多选题)若直线a平行于平面α,则下列结论正确的是( )
A.a平行于α内的有限条直线
B.α内有无数条直线与a平行
C.直线a上的点到平面α的距离相等
D.α内存在无数条直线与a成90°角
【解析】选BCD.因为直线a平行于平面α,所以a与平面α内的直线平行或异面,选项A错误;选项B,C,D正确.
6.过直线l外两点,作与l平行的平面,则这样的平面( )
A.不可能作出B.只能作出一个
C.能作出无数个D.上述三种情况都存在
【解析】选D.设直线l外两点为A,B,若直线AB∥l,则过A,B可作无数个平面与l平行;若直线AB与l异面,则只能作一个平面与l平行;若直线AB与l相交,则过A,B没有平面与l平行.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为________.
【解析】因为A1C1∥AC,A1C1⊄平面ACE,AC⊂平面ACE,所以A1C1∥平面ACE.
答案:平行
8.如图,P为▱ABCD所在平面外一点,E为AD的中点,F为PC上一点,当PA∥平面EBF时,=________.
【解析】连接AC交BE于G,连接FG,因为PA∥平面EBF,
PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面BEF=FG,
所以PA∥FG,所以=.
又因为AD∥BC,E为AD的中点,
所以==,所以=.
答案:
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.如图所示,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,DB的中点.
求证:EF∥平面ABC1D1.
【证明】如图,连接BD1,在△BDD1中,
因为E为DD1的中点,F为BD的中点,
所以EF为△BDD1的中位线,所以EF∥BD1,
又BD1⊂平面ABC1D1,EF⊄平面ABC1D1,
所以EF∥平面ABC1D1.
【补偿训练】
如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D是AB的中点.
求证:BC1∥平面CA1D.
【证明】如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.
因为点D是AB的中点,所以OD∥BC1.
又因为OD⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,
所以BC1∥平面CA1D.
10.如图,在三棱柱ABC?A1B1C1中,D是棱CC1上的一点,P是AD的延长线与A1C1延长线的交点,且PB1∥平面BDA1,求证:CD=C1D.
【证明】如图,连接AB1与BA1交于点O,连接OD,因为PB1∥平面BDA1,PB1⊂平面AB1P,
平面AB1P∩平面BDA1=OD,所以OD∥PB1,
又因为AO=B1O,所以AD=PD,
又因为AC∥C1P,所以CD=C1D.
(25分钟 55分)
一、选择题(每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)
1.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( )
A.平行B.平行或异面
C.平行或相交D.异面或相交
【解析】选B.由题意知,CD∥α,则平面α内的直线与CD可能平行,也可能异面.
2.直线a∥平面α,α内有n条直线交于一点,则这n条直线中与直线a平行的直线( )
A.至少有一条B.至多有一条
C.有且只有一条D.没有
【解析】选B.设这n条直线的交点为P,则点P不在直线a上,那么直线a和点P确定一个平面β,则点P既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b,则直线b过点P.又直线a∥平面α,a⊂平面β,则a∥b.很明显这样作出的直线b有且只有一条,那么直线b可能在这n条直线中,也可能不在,即这n条直线中与直线a平行的直线至多有一条.
3.四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为( )
A.2+B.3+C.3+2D.2+2
【解析】选C.由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,即AB∥平面DCFE,因为平面SAB∩平面DCFE=EF,所以AB∥EF.因为E是SA的中点,所以EF=1,DE=CF=.
所以四边形DEFC的周长为3+2.
4.(多选题)下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形是( )
【解析】选AD.在A中,连接侧面上的对角线交NP于点Q,连接MQ,则MQ∥AB,
所以AB∥平面MNP,故A成立;在B中,若下底面中心为O,则NO∥AB,NO∩平面MNP=N,
所以AB与平面MNP不平行,故B不成立;
在C中,过M作ME∥AB,则E是中点,则ME与平面PMN相交,则AB与平面MNP相交,所以AB与平面MNP不平行,故C不成立;
在D中,连接CD,则AB∥CD,NP∥CD,则AB∥PN,所以AB∥平面MNP,故D成立.
二、填空题(每小题5分,共15分)
5.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.
【解析】连接AC,A1C1,
由题设易知,MN∥平面ABCD,
平面PMN∩平面ABCD=PQ,
所以MN∥PQ.因为MN∥A1C1∥AC,所以PQ∥AC.
因为AP=,所以DP=DQ=.
所以PQ=·=a.
答案:a
6.如图,ABCD是空间四边形,E,F,G,H分别是其四边上的点且共面,AC∥平面EFGH,AC=m,BD=n,当EFGH是菱形时,=________.
【解析】因为AC∥平面EFGH,AC⊂平面ABC,
平面EFGH∩平面ABC=EF,
所以AC∥EF,同理AC∥GH.
===,而EF=FG.
所以EF=,所以==.
答案:
7.设m,n是平面α外的两条直线,给出三个论断:
①m∥n;②m∥α;③n∥α.以其中的两个为条件,余下的一个为结论,构造命题,写出你认为正确的两个命题:________;________(用序号表示).
【解析】设过m的平面β与α交于l,
因为m∥α,所以m∥l,因为m∥n,所以n∥l.
因为n⊄α,l⊂α,所以n∥α.
答案:①②⇒③ ①③⇒②
三、解答题(每小题10分,共20分)
8.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1,若过A,C,B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l,
求证:AC∥l.
【证明】连接A1C1,因为AC∥A1C1,A1C1⊂平面A1B1C1D1,AC⊄平面A1B1C1D1,
所以AC∥平面A1B1C1D1.又AC⊂平面AB1C,
平面AB1C∩平面A1B1C1D1=l,所以AC∥l.
【补偿训练】
已知直线a,b和平面α,若a∥b,a∥α,b⊄α,求证:b∥α.
【证明】如图,过a,与平面α内一点P作平面β,则平面β与平面α相交,设交线为c.
因为a∥α,a⊂β,α∩β=c,所以a∥c.
因为a∥b,所以b∥c.又因为c⊂α,b⊄α,所以b∥α.
9.如图,AB,CD为异面直线,且AB∥α,CD∥α,AC,BD分别交α于M,N两点.求证:AM∶MC=BN∶ND.
【证明】连接AD交平面α于点E,连接ME和NE.
如图所示,
因为平面ACD∩α=ME,CD∥α,
所以CD∥ME,所以=.
同理可得EN∥AB,
所以=.所以=,
即AM∶MC=BN∶ND.
【补偿训练】
1.如图所示,直线a∥平面α,A∉α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈ a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,求EF的长.
【解析】由于点A不在直线a上,则确定一个平面β,所以α∩β=EF,因为a∥平面α,a⊂β,所以EF∥a,所以=,所以EF===.
2.如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AB,AD的中点,N是平面ABCD外一点,设AC∩BD=O,P为NC上一点,若OP∥平面NEF,求NP∶PC.
【解析】设AC∩EF=H,连接NH.
因为OP∥平面NEF,平面NEF∩平面NHC=NH,OP⊂平面NHC,所以OP∥NH,所以NP∶PC=HO∶OC.
在正方形ABCD中,因为E,F分别为AB,AD中点,所以HO∶OC=1∶2.所以NP∶PC=1∶2.