新人教A版高中数学必修第二册第九章统计单元形成性评价含解析 试卷

单元形成性评价(四)(第九章)

(120分钟　150分)

一、单选题(每小题5分，共40分)

1．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n＝(　　)

A．9    B．10    C．12    D．13

【解析】选D.n＝3＋120×＋80×＝13.

2．某校有住宿的男生400人，住宿的女生600人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到100名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为100分钟、80分钟．结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为(　　)

A．98分钟    B．90分钟    C．88分钟    D．85分钟

【解析】选C.由分层抽样的性质可得抽取男生100×＝40人，女生100×＝60人，则样本中学生每天运动时间的平均值＝＝88(分钟)，

故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为88分钟．

3．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn，下列结论正确的是(　　)

A．平均数为20，方差为4

B．平均数为11，方差为4

C．平均数为21，方差为8

D．平均数为20，方差为8

【解析】选D.样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，所以样本2＋2x1，2＋2x2，2＋2x3，…，2＋2xn的平均数为2×10＝20，方差为22×2＝8.

4．某工厂12名工人的保底月薪如下表所示，第80百分位是(　　)

A.3 050    B．2 950    C．3 130    D．3 325

【解析】选A.把这组数据从小到大排序：

2 710，2 755，2 850，2 860，2 880，2 890，2 920，2 940，2 950，3 050，

3 130，3 325，

所以i＝n×p%＝12×80%＝9.6，所以第80百分位是3 050.

5．某市在“一带一路”国际合作高峰论坛前夕，在全市高中学生中进行“我和‘一带一路’”的学习征文，收到的稿件经分类统计，得到如图所示的扇形统计图．又已知全市高一年级共交稿2000份，则高三年级的交稿数为(　　)

A.2 800    B．3 000    C．3 200    D．3 400

【解析】选D.高一年级交稿2 000份，在总交稿数中占比＝，所以总交稿数为2 000÷＝9 000，

高二年级交稿数占总交稿数的＝，所以高三年级交稿数占总交稿数的1－－＝，所以高三年级交稿数为9 000×＝3 400.

6．一般来说，一个班级的学生学号是从1开始的连续正整数，在一次课上，老师随机叫起班上8名学生，记录下他们的学号是：3，21，17，19，36，8，32，24，则该班学生总数最可能为(　　)

A.39人       B．49人

C.59人       D．超过59人

【解析】选A.因为随机抽样中，每个个体被抽到的机会都是均等的，所以1～10，11～20，21～30，31～40，…，每组抽取的人数，理论上应均等；

又所抽取的学生的学号按从小到大顺序排列为3，8，17，19，21，24，32，36，恰好使1～10，11～20，21～30，31～40四组中各有两个，因此该班学生总数应为40左右．

7．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25)上为一等品，在区间[10，15)和[25，30)为二等品，在区间[10，15)和[30，35)为三等品．用频率估计概率，现从这批产品中随机抽取1件，则其为三等品的概率是(　　)

A.0.03    B．0.05

C.0.15    D．0.25

【解析】选D.在区间[10，15)和[30，35)为三等品，

由频率分布直方图得在区间[10，15)和[30，35)的频率为(0.02＋0.03)×5＝0.25，

所以从这批产品中随机抽取1件，其为三等品的概率是0.25.

8．“一世”又叫“一代”．东汉·王充《论衡·宜汉篇》：“且孔子所谓一世，三十年也”，清代·段玉裁《说文解字注》：“三十年为一世，按父子相继曰世”．而当代中国学者测算“一代”平均为25年．另根据国际一家研究机构的研究报告显示，全球家族企业的平均寿命其实只有26年，约占总量的28%的家族企业只能传到第二代，约占总量的14%的家族企业只能传到第三代，约占总量4%的家族企业可以传到第四代甚至更久远(为了研究方便，超过四代的可忽略不计).根据该研究机构的研究报告，可以估计该机构所认为的“一代”大约为(　　)

A.23年    B．22年    C．21年    D．20年

【解析】选B.设“一代”为x年，由题意得：企业寿命的频率分布表为：

又因为全球家族企业的平均寿命其实只有26年，

所以家族企业的平均寿命为：0.54×0.5x＋0.28×1.5x＋0.14×2.5x＋0.04×3.5x＝26，

解得x≈22.

二、多选题(每小题5分，共20分，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)

9．某旅行社调查了所在城市20户家庭2020年的旅行费用，汇总得到如下表格：

则这20户家庭该年的旅行费用的(　　)

A.众数是1.4       B．中位数是1.5

C.中位数是1.6      D．众数是1.62

【解析】选AB.依题意可得这组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；

故众数为：1.4，中位数为：1.5.

10．某学校对甲、乙两个班级的某次成绩进行统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，则下列说法不正确的是(　　)

A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数

B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩

C.甲班学生比乙班学生发挥稳定

D.甲班不及格率高于乙班不及格率

【解析】选ABC.A.因为每个班的总人数不确定，故无法比较；B.甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%，故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；C.无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；D.甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D正确．

11．某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕才发现有位同学的分数还未录入，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为，s2，新平均分和新方差分别为1，s，若此同学的得分恰好为，则(　　)

A.＝1      B．s2<s

C.s2>s       D．s2＝s

【解析】选AC.设这个班有n个同学，分数分别是a1，a2，a3，…，an，假设第i个同学的成绩没录入，这一次计算时，总分是，方差为s2＝[2＋2＋…＋2＋2＋…＋2]第二次计算时，1＝＝，

方差为s＝[2＋2＋…＋2＋2＋2＋…＋2]＝s2故有＝1，s2>s.

12．空气质量指数AQI是一种反映和评价空气质量的方法，AQI指数与空气质量对应如下表所示：

如图是某城市2020年12月全月的AQI指数变化统计图．

根据统计图判断，下列结论不正确的是(　　)

A.整体上看，这个月的空气质量越来越差

B.整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量

C.从AQI数据看，前半月的方差大于后半月的方差

D.从AQI数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值

【解析】选ABD.从整体上看，这个月AQI数据越来越低，故空气质量越来越好；故A，B不正确；

从AQI数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以C正确；从AQI数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故D不正确．

三、填空题(每小题5分，共20分)

13．将一个容量为m的样本分成3组，已知第一组频数为8，第二、三组的频率为0.15和0.45，则m＝______，第三组的频数为________．

【解析】因为第二、三组的频率为0.15和0.45，

所以第一组的频率为1－0.15－0.45＝0.4，

因为第一组的频数为8，所以m＝＝20.

所以第三组的频数为20×0.45＝9.

答案：20　9

14．为了解电视对生活的影响，一个社会调查机构就平均每天看电视的时间对某地居民调查了10 000人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图(如图)，为了分析该地居民平均每天看电视的时间与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用比例分配的分层抽样方法抽出100人做进一步调查．则在[2.5，3]h时间段内应抽出的人数是________．

【解析】抽出的100人中平均每天看电视的时间在[2.5，3](h)时间内的频率是0.5×0.5＝0.25，所以这10 000人中平均每天看电视的时间在[2.5，3](h)时间内的人数是10 000×0.25＝2 500，抽样比是＝，则在[2.5，3](h)时间内应抽出的人数是2 500×＝25.

答案：25

15．为了了解某设备生产产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量(单位：克)如下：

495 500 503 508 498 500 493 500 503 500

质量落在区间[－s，＋s](表示质量的平均值，s为标准差)内的产品件数为______．

【解析】由题可得＝(495＋500＋503＋508＋498＋500＋493＋500＋503＋500)＝500；

s2＝＝16，

故可得s＝4.

则区间[－s，＋s]即为.

故落在该区间的产品件数为7.

答案：7

16．四名同学各掷一枚骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据下面四名同学的统计结果，下列可以判断出一定没有出现点数6的是______(填序号).

(注：一组数据x1，x2，...，xn的平均数为，它的方差为s2＝[2＋2＋…＋2]

①平均数为2，方差为2.4

②中位数为3，众数为2

③平均数为3，中位数为2

④中位数为3，方差为2.8

【解析】若平均数是2，若出现6点，则方差s2>(6－2)2＝3.2，不可能是2.4，因此①中一定不会出现6点，其他选项可各举一反例：

如2，2，3，4，6，中位数是3，众数是2；

如2，2，2，3，6，平均数为3，中位数为2；

如1，2，3，3，6，中位数为3，方差为2.8.

答案：①

四、解答题(共70分)

17．(10分)某校高三年级在5月份进行了一次质量考试，考生成绩情况如表所示：

已知用分层随机抽样的方法在不低于550分的考生中随机抽取5名考生进行质量分析，其中文科考生抽取了2名．

(1)求z的值；

(2)若不低于550分的6名文科考生的语文成绩分别为111，120，125，128，132，134.计算这6名考生的语文成绩的方差．

【解析】(1)依题意＝，得z＝9.

(2)这6名文科考生的语文成绩的平均分为

＝125，

则这6名考生的语文成绩的方差为

s2＝×[(111－125)2＋(120－125)2＋(125－125)2＋(128－125)2＋(132－125)2＋(134－125)2]

＝×[(－14)2＋(－5)2＋02＋32＋72＋92]＝60.

18．(12分)为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．

请根据统计图提供的信息回答以下问题：

(1)求抽取的学生数；

(2)若该校有3 000名学生，估计喜欢收听《易中天品三国》的学生人数；

(3)估计该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的百分比．

【解析】(1)从统计图上可以看出，

喜欢收听于丹析《庄子》的男生有20人，女生有10人；

喜欢收听《故宫博物院》的男生有30人，女生有15人；

喜欢收听于丹析《论语》的男生有30人，女生有38人；

喜欢收听《易中天品三国》的男生有64人，女生有42人；

喜欢收听刘心武评《红楼梦》的男生有6人，女生有45人．

所以抽取的学生数为20＋10＋30＋15＋30＋38＋64＋42＋6＋45＝300(人).

(2)喜欢收听《易中天品三国》的男生有64人，女生有42人，共有106人，占所抽取总人数的比例为，由于该校有3 000名学生，因此可以估计喜欢收听《易中天品三国》的学生有×3 000＝1 060(人).

(3)该校喜欢收听刘心武评《红楼梦》的女学生人数约占全校学生人数的比例为×100%＝15%.

19．(12分)为了了解某校初中三年级500名学生的体质情况，随机抽查了10名学生，测试1 min仰卧起坐的成绩(次数)，测试成绩如下：

30　35　42　33　34　36　34　37　29　40

(1)这10名学生的平均成绩是多少？标准差s是多少？

(2)次数位于－s与＋s之间有多少名同学？所占的百分比是多少？(参考数据：3.82≈14.6)

【解析】(1)10名学生的平均成绩为：＝(30＋35＋42＋33＋34＋36＋34＋37＋29＋40)＝35.

方差：s2＝(25＋0＋49＋4＋1＋1＋1＋4＋36＋25)＝14.6，

即标准差s＝≈3.82.

(2)－s＝35－3.82＝31.18，＋s＝35＋3.82＝38.82，

所以次数位于－s与＋s之间的有6位同学，

所占的百分比是＝60%.

20．(12分)2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3＋3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180)，[180，200)，[200，220)，[220，240)，[240，260)，[260，280)，[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．

(1)求频率分布直方图中a的值；

(2)由频率分布直方图；

(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；

(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).

【解析】(1)由(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋0.0075＋a＋0.0025)×20＝1得a＝0.005；

(2)(i)因为(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45<0.5，(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7>0.5，

所以中位数在[220，240)，设中位数为x，所以(x－220)×0.012 5＝0.05，解得x＝224，

所以物理、化学、生物三科总分成绩的中位数为224；

(ii)这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数为(0.002×170＋0.009 5×190＋0.011×210＋0.012 5×230＋0.007 5×250＋0.005×270＋

0.002 5×290)×20＝(0.34＋1.805＋2.31＋2.875＋1.875＋1.35＋0.725)×20＝11.28×20＝225.6.

21．(12分)为选派一名学生参加全市实践活动技能竞赛，A，B两位同学在学校的学习基地现场进行加工直径为20 mm的零件测试，他俩各加工的10个零件直径的相关数据如图所示(单位：mm)

A，B两位同学各加工的10个零件直径的平均数与方差列于下表；

根据测试得到的有关数据，试解答下列问题：

(1)计算s，考虑平均数与方差，说明谁的成绩好些；

(2)考虑图中折线走势情况，你认为派谁去参赛较合适？请说明你的理由．

【解析】(1)由题意，根据表中的数据，利用方差的计算公式，可得s＝

[5×(20－20)2＋3×(19.9－20)2＋1×(1－20)2＋1×(20.2－20)2]＝0.008，

所以s＞s，所以在平均数相同的情况下，B的波动较小，所以B的成绩好些．

(2)从图中折线趋势可知：

尽管A的成绩前面起伏大，但后来逐渐稳定，误差小，预测A的潜力大，所以派A去参赛较合适．

22．(12分)一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额(单位：千元)把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：

(1)为了了解推销员对目标设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进行座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？

(2)确定销售目标是否合适，直接影响到公司的经济效益，如果目标定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；如果目标定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．现已知按上面的方法抽取了部分推销员的月销售额(单位：千元)：

14．2　15.8　17.7　19.2　22.4　18.2　16.4　21.8

15．6　24.6

23．2　19.8　12.8　13.5　16.3　11.5　13.6　14.9

15．7　16.2

17．0　17.2　17.8　18.0　18.4　19.5　20.5　22.1

24．0　24.8

公司为了使70%的推销员能够完成销售目标，根据这组样本数据，应将销售目标定为多少比较合理？

【解析】(1)根据表中数据可得，三层共有120＋240＋90＝450人，抽样比为＝，

故应该从甲层抽取120×＝8人；

从乙层抽取240×＝16人；

从丙层抽取90×＝6人．

(2)将30个数据按照从小到大的顺序进行排序，可得11.5，12.8，13.5，13.6，14.2，14.9，15.6，15.7，15.8，16.2，16.3，16.4，17.0，17.2，17.7，17.8，18.0，18.2，18.4，19.2，19.5，19.8，20.5，21.8，22.1，22.4，23.2，24.0，24.6，24.8，

为使得70%的销售员完成目标，只需求出第30百分位数即可．由30×30%＝9可知样本数据的第30百分位数为第9项与第10项数据的平均数，即＝16.0.

则应该将销售目标定位16 000元比较合理．