新人教A版高中数学必修第二册第十章概率单元检测含解析

单元素养检测(五)

(第十章)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.下列事件中的随机事件为 (　　)

A.若a,b,c都是实数,则a(bc)=(ab)c

B.没有水和空气,人也可以生存下去

C.抛掷一枚硬币,反面向上

D.在标准大气压下,温度达到60℃时水沸腾

【解析】选C.A中的等式是实数乘法的结合律,对任意实数a,b,c是恒成立的,故A是必然事件.在没有空气和水的条件下,人是绝对不能生存下去的,故B是不可能事件.抛掷一枚硬币时,在没得到结果之前,并不知道会是正面向上还是反面向上,故C是随机事件.在标准大气压的条件下,只有温度达到100℃,水才会沸腾,当温度是60℃时,水是绝对不会沸腾的,故D是不可能事件.

2.从含有3个元素的集合中任取一个子集,所取的子集是含有两个元素的集合的概率是 (　　)

A.   B.   C.    D.

【解析】选D.所有子集共8个,其中含有2个元素的有3个,所以概率为.

3.某人从甲地去乙地共走了500 m,途中要过一条宽为x m的河流,他不小心把一件物品丢在途中,若物品掉在河里就找不到,若物品不掉在河里,则能找到,已知该物品能找到的概率为,则河宽为              (　　)

A.100 m   B.80 m   C.50 m   D.40 m

【解析】选A.设河宽为x m,则1-=,所以x=100.

4.从一批羽毛球中任取一个,如果其质量小于4.8 g的概率是0.3,质量不小于4.85 g的概率是0.32,那么质量在[4.8,4.85)范围内的概率是              (　　)

A.0.62   B.0.38   C.0.70   D.0.68

【解析】选B.记“取到羽毛球的质量小于4.8 g”为事件A,“取到羽毛球的质量不小于4.85 g”为事件B,“取到羽毛球的质量在[4.8,4.85)范围内”为事件C.易知事件A,B,C互斥,且A∪B∪C为必然事件.

所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.3+0.32+P(C)=1,

即P(C)=1-0.3-0.32=0.38.

5.有分别写着数字1到120的120张卡片,从中取出1张,这张卡片上的数字是2的倍数或是3的倍数的概率是              (　　)

A.    B.    C.    D.

【解析】选D.是2的倍数的数有60个,是3的倍数的数有40个,是6的倍数的数有20个,所以P==.

6.从某地区的儿童中挑选体操学员,已知儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为,从中任挑一儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)              (　　)

A.   B.    C.    D.

【解析】选D.设“儿童体型合格”为事件A,“身体关节构造合格”为事件B,则P(A)=,P(B)=.又A,B相互独立,则,也相互独立,则P( )=P()P()=×=,故至少有一项合格的概率为P=1-P( )=.

7.一场5局3胜制的乒乓球对抗赛,当甲运动员先胜2局时,比赛因故中断.已知甲、乙水平相当,每局甲胜、乙胜的概率都为,则这场比赛的甲、乙取胜的概率比(甲∶乙)应为              (　　)

A.6∶1   B.7∶1   C.3∶1   D.4∶1

【解析】选B.甲前2局已胜,甲胜有三种情况:①甲第3局胜为A1,P(A1)=;②甲第3局负、第4局胜为A2,P(A2)=×=;③第3局、第4局甲负,第5局甲胜为A3,P(A3)=××=.

故甲胜的概率为P(A1)+P(A2)+P(A3)=,乙胜的概率则为.

8.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于              (　　)

A.    B.   C.    D.

【解析】选D.由P(A∩)=P(B∩)得P(A)P()=P(B)·P(),

即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],

所以P(A)=P(B).又P(∩)=,

所以P()=P()=.

所以P(A)=.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.下列事件:①如果a,b是实数,那么b+a=a+b;②某地1月1日刮西北风;③当x是实数时,x2≥0;④一个电影院某天的上座率超过50%,其中是随机事件的有              (　　)

A.①   B.②   C.③   D.④

【解析】选BD.由题意可知①③是必然事件,②④是随机事件.

10.下列事件中,是随机事件的为 (　　)

①在学校明年召开的田径运动会上,学生张涛获得100米短跑冠军;

②在体育课上,体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材,抽到李凯;

③从标有1,2,3,4的4张号签中任取一张,恰为1号签;

④在标准大气压下,水在4 ℃时结冰.

A.①   B.②   C.③   D.④

【解析】选ABC.①在明年运动会上,张涛可能获冠军,也可能不获冠军.②李凯不一定被抽到.③任取一张不一定为1号签.④在标准大气压下水在4 ℃时不可能结冰,故①②③是随机事件,④是不可能事件.

11.下列说法不正确的是 (　　)

A.事件A的概率为P(A),必有0<P(A)<1

B.事件A的概率P(A)=0.999,则事件A是必然事件

C.用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗,结果有380人有明显的疗效.现有胃溃疡的病人服用此药,则估计有明显疗效的可能性为76%

D.某奖券的中奖率为50%,则某人购买此奖券10张,一定有5张中奖

【解析】选ABD.A不正确,因为0≤P(A)≤1;若A是必然事件,则P(A)=1,故B不正确;对于D,奖券的中奖率为50%,若某人购买此奖券10张,则可能会有5张中奖,所以D不正确.根据频率与概率的关系知C正确.

12.先后抛掷两枚骰子,设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1,P2,P3,则下列关系正确的是(　　)

A.P1<P3    B.P1<P2

C.P2<P3    D.P2<P1

【解析】选ABC.先后抛掷两枚骰子的点数共有36个样本点:(1,1),(1,2), (1,3),…,(6,6),并且每个样本点都是等可能发生的.而点数之和为12的只有1个:(6,6);点数之和为11的有2个:(5,6),(6,5);点数之和为10的有3个:(4,6),(5,5),(6,4),故P1<P2<P3.

三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.一个袋子中有5个红球,3个白球,4个绿球,8个黑球,如果随机地摸出一个球,记A={摸出黑球},B={摸出白球},C={摸出绿球},D={摸出红球},

则P(A)=________;P(B)=________; P(C∪D)=________. 

【解析】由古典概型的算法可得P(A)==,P(B)=,P(C∪D)=P(C)+ P(D)=+=.

答案:　　

14.有一个数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,两人试图独立地在半小时内解决它,则两人都未解决的概率为________,问题得到解决的概率为________. 

【解析】甲、乙两人都未能解决的概率为=×=,问题得到解决就是至少有一人能解决问题.所以问题得到解决的概率为1-=.

答案:　

15.甲、乙两组各有三名同学,他们在一次测验中的成绩的茎叶图如图所示,如果分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学,则这两名同学的成绩相同的概率是________. 

【解析】由题意可知从甲、乙两组中各随机选取一名同学,共有9种选法,其中这两名同学的成绩相同的选法只有1种,故所求概率P=.

答案:

16.箱子中装有十张卡片,分别写有1到10的十个整数;从箱子中任取一张卡片,记下它的读数x,然后再放回箱子中;第二次再从箱子中任取一张卡片,记下它的读数y,则x+y是10的倍数的概率为________. 

【解析】先后两次取卡片,形成的有序数对有(1,1),(1,2),(1,3),…,(1,10),…,(10,10),共计100个.因为x+y是10的倍数,这些数对应该是(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2), (9,1),(10,10)共10个,故x+y是10的倍数的概率为P==.

答案:

四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)随机抽取一个年份,对西安市该年4月份的天气情况进行统计,结果如下:

(1)在4月份任取一天,估计西安市在该天不下雨的概率;

(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会,估计运动会期间不下雨的概率.

【解析】(1)在容量为30的样本中,不下雨的天数是26,以频率估计概率,4月份任选一天,西安市不下雨的概率为=.

(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1日与2日,2日与3日等).这样,在4月份中,前一天为晴天的互邻日期对有16个,其中后一天不下雨的有14个,所以晴天的次日不下雨的频率为.

以频率估计概率,运动会期间不下雨的概率为.

18.(12分)小王、小李两位同学玩掷骰子(骰子质地均匀)游戏,规则:小王先掷一枚骰子,向上的点数记为x;小李后掷一枚骰子,向上的点数记为y.

(1)在平面直角坐标系xOy中,以(x,y)为坐标的点共有几个?

(2)规定:若x+y≥10,则小王赢;若x+y≤4,则小李赢,其他情况不分输赢.试问这个游戏规则公平吗?请说明理由.

【解析】(1)由于x,y取值为1,2,3,4,5,6,

则以(x,y)为坐标的点有:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),

(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),

(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),

(6,4),(6,5),(6,6),共有36个,即以(x,y)为坐标的点共有36个.

(2)满足x+y≥10的点有:(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),共6个,所以小王赢的概率是=,满足x+y≤4的点有:(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),

(3,1),共6个,所以小李赢的概率是=,则小王赢的概率等于小李赢的概率,所以这个游戏规则公平.

【补偿训练】

某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别,公司准备了两种不同的饮料共5杯,其颜色完全相同,并且其中3杯为A饮料,另外2杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后,从5杯饮料中选出3杯A饮料,若该员工3杯都选对,则评为优秀;若3杯选对2杯,则评为良好;否则评为合格.假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力.

(1)求此人被评为优秀的概率.

(2)求此人被评为良好及以上的概率.

【解析】将5杯饮料编号为1,2,3,4,5,编号1,2,3表示A饮料,编号4,5表示B饮料,则从5种饮料中选出3杯的所有可能情况为(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),

(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共有10种,令D表示此人被评为优秀的事件,E表示此人被评为良好的事件,F表示此人被评为良好及以上的事件,则

(1)P(D)=.

(2)P(E)=,P(F)=P(D)+P(E)=.

19.(12分)对某班一次测验成绩进行统计,如下表所示:

(1)求该班成绩在[80,100]内的概率;

(2)求该班成绩在[60,100]内的概率;

【解析】记该班的测试成绩在[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]内依次为事件A,B,C,D,由题意知事件A,B,C,D是彼此互斥的.

(1)该班成绩在[80,100]内的概率是P(C∪D)

=P(C)+P(D)=0.25+0.15=0.4.

(2)该班成绩在[60,100]内的概率是P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.17+0.36+0.25+0.15=0.93.

20.(12分)连续抛掷两颗骰子,设第一颗点数为m,第二颗点数为n,则求

(1)m+n=7的概率;

(2)m=n的概率;

(3)m·n为偶数的概率.

【解析】(m,n)的总个数为36.

(1)事件A={m+n=7}={(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}共6个,则P(A)==.

(2)事件B={m=n}={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}共6个,则P(B)==.

(3)事件C={m·n为偶数},分为奇数×偶数,偶数×奇数,偶数×偶数3类,所以共有3×3+3×3+3×3=27个.所以P(C)==.

21.(12分)甲、乙两名跳高运动员在一次2米跳高中成功的概率分别为0.7,0.6,且每次试跳成功与否相互之间没有影响,求:

(1)甲试跳三次,第三次才成功的概率;

(2)甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率;

(3)甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率.

【解析】记“甲第i次试跳成功”为事件Ai,“乙第i次试跳成功”为事件Bi,

依题意得P(Ai)=0.7,P(Bi)=0.6且Ai,Bi相互独立.

(1)“甲试跳三次,第三次才成功”为事件∩∩A3,且这三次试跳相互独立.

所以P(∩∩A3)=P()P()·P(A3)=0.3×0.3×0.7=0.063.

(2)记“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C.P(C)=1-P()P()=1-0.3×0.4=0.88.

(3)记“甲在两次试跳中成功n次”为事件Mn(n=0,1,2),“乙在两次试跳中成功n次”为事件Nn(n=0,1,2),

因为事件“甲、乙各试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为M1∩N0+M2∩N1,且M1∩N0,M2∩N1为互斥事件,则所求的概率为

P(M1∩N0+M2∩N1)=P(M1∩N0)+P(M2∩N1)

=P(M1)P(N0)+P(M2)P(N1)

=2×0.7×0.3×0.42+0.72×2×0.6×0.4

=0.067 2+0.235 2=0.302 4.

所以甲、乙每人试跳两次,甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.302 4.

22.(12分)把参加某次铅球投掷的同学的成绩(单位:米)进行整理,分成以下6个小组:[5.25,6.15),[6.15,7.05),[7.05,7.95),[7.95,8.85),[8.85,9.75),

[9.75,10.65],已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,

0.28,0.30,第6小组的频数是7.规定:投掷成绩不小于7.95米的为合格.

(1)求这次铅球投掷成绩合格的人数;

(2)你认为参加这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在第几组?请说明理由;

(3)若参加这次铅球投掷的学生中,有5人的成绩为优秀,现在要从成绩优秀的学生中,随机选出2人参加相关部门组织的经验交流会,已知a,b两位同学的成绩均为优秀,求a,b两位同学中至少有1人被选到的概率.

【解析】(1)因为第6小组的频率为1-(0.04+0.10+0.14+0.28+0.30)=0.14.

所以参加这次铅球投掷的总人数为=50.

根据规定,第4、5、6组的成绩均为合格,人数为(0.28+0.30+0.14)×50=36.

(2)因为成绩在第1、2、3组的人数为(0.04+0.10+0.14)×50=14,成绩在第5、6组的人数为(0.30+0.14)×50=22,参加这次铅球投掷的总人数为50,

所以参加这次铅球投掷的同学的成绩的中位数在[7.95,8.85)内,即第4组.

(3)设这次铅球投掷成绩优秀的5人分别为a,b,c,d,e,则选出2人的所有可能的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10种,其中a,b至少有1人的情况为:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,共有7种,

所以a,b两位同学中至少有1人被选到的概率为P=.