高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质综合训练题

指数函数及其性质的应用(习题课)

[A级　基础巩固]

1．已知a＝0.52.1，b＝20.5，c＝0.22.1，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<c<b　　　　　　　 B．b>a>c

C．a<b<c  D．c>a>b

解析：选B　a＝0.52.1∈(0，1)，b＝20.5>1，c＝0.22.1∈(0，1)，

由图象(图略)可知，0.52.1>0.22.1，

所以a>c，所以b>a>c.

2．若关于x的不等式a2x≥a3－x(0<a<1)的解集为A，则函数y＝3x＋1，x∈A的最大值为(　　)

A．1  B．3

C．6  D．9

解析：选D　∵0<a<1，且a2x≥a3－x，∴2x≤3－x，解得x≤1，∴A＝{x|x≤1}．

又函数y＝3x＋1，x∈A为增函数，∴当x＝1时，y＝3x＋1取得最大值9.

3．若函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是(　　)

A．f(－4)>f(1)  B．f(－4)＝f(1)

C．f(－4)<f(1)  D．不能确定

解析：选A　因为|x＋1|≥0，函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a>1.

由函数f(x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上单调递增，且它的图象关于直线x＝－1对称，可得函数f(x)在(－∞，－1)上单调递减．

再由f(1)＝f(－3)，可得f(－4)>f(1)．

4．已知函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的图象大致是(　　)

解析：选B　函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，可知a>1，即f(x)是增函数，再结合指数函数的图象可知选项B正确．

5．(多选)若f(x)＝3x＋1，则(　　)

A．f(x)在[－1，1]上单调递增

B．y＝3x＋1与y＝＋1的图象关于y轴对称

C．f(x)的图象过点(0，1)

D．f(x)的值域为[1，＋∞)

解析：选AB　f(x)＝3x＋1在R上单调递增，则A正确；y＝3x＋1与y＝3－x＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f(0)＝2，得f(x)的图象过点(0，2)，则C错误；由3x>0，可得f(x)>1，则D错误．故选A、B.

6．已知函数f(x)＝为奇函数，则n的值为________．

解析：由f(0)＝＝0，解得n＝2，当n＝2时，f(x)＝，易证其是奇函数．

答案：2

7．(2021·黑龙江大庆实验中学高一月考)已知函数f(x)＝bax(其中a，b为常数，a>0，且a≠1)的图象经过A(1，6)，B(2，18)两点．若不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数m的最大值为________．

解析：由已知可得解得

则不等式＋－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，设g(x)＝＋－m，

显然函数g(x)＝＋－m在(－∞，1]上单调递减，

∴g(x)≥g(1)＝＋－m＝－m，

故－m≥0，即m≤，

∴实数m的最大值为.

答案：

8．已知函数y＝x2－4x＋1中的x满足≤2x，则该函数的值域为________．

解析：由≤2x，得2－x＋5≤2x，∴－x＋5≤x，解得x≥.又y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3在上单调递增，∴y＝x2－4x＋1＝(x－2)2－3≥－3＝－.

答案：

9．若函数y＝a－为奇函数．

(1)确定a的值；

(2)求函数的定义域．

解：(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，

即a－＋a－＝0，

∴2a＋＝0.∴a＝－.

(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0，即x≠0，

∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．

10．已知函数f(x)＝.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调增区间；

(2)如果函数f(x)有最大值3，求实数a的值．

解：(1)当a＝－1时，f(x)＝，

令g(x)＝－x2－4x＋3＝－(x＋2)2＋7，

由于g(x)在(－2，＋∞)上递减，y＝在R上是减函数，所以f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，即f(x)的单调增区间是(－2，＋∞)．

(2)令h(x)＝ax2－4x＋3，f(x)＝，

由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最小值－1.

因此必有解得a＝1，

即当f(x)有最大值3时，实数a的值为1.

[B级　综合运用]

11．若a＝，b＝，c＝，则(　　)

A．c<a<b  B．c<b<a

C．a<c<b  D．b<a<c

解析：选C　指数函数y＝为减函数，所以>，即b>c.幂函数y＝x在区间(0，＋∞)上为增函数，所以<，即a<c.因此a<c<b.故选C.

12．已知x＋y>0，则“x>0”是“2|x|＋x2>2|y|＋y2”的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选B　由不等式2|x|＋x2>2|y|＋y2，可以构造一个函数f(t)＝2|t|＋t2，可以判断该函数为偶函数且t>0时，函数单调递增．当x>0时，x＋y>0，这时y可以为负数、正数、零，因此x，y的大小关系不确定，因此由“x>0”不一定能推出“2|x|＋x2>2|y|＋y2”．当2|x|＋x2>2|y|＋y2成立时，利用偶函数的性质，可以得到|x|>|y|⇒x2>y2⇒(x＋y)(x－y)>0，而x＋y>0，因此有x－y>0，所以x>y，若x≤0，则有y<0，所以x＋y<0，这与x＋y>0矛盾，故x>0.故“x>0”是“2|x|＋x2>2|y|＋y2”的必要不充分条件．故选B.

13．函数y＝2在区间(－∞，3)上单调递增，则实数a的取值范围是______．若在区间[－1，1]上具有严格的单调性，则实数a的取值范围是________．

解析：y＝2在(－∞，3)上递增，即二次函数y＝－x2＋ax－1在(－∞，3)上递增，因此需要对称轴x＝≥3，解得a≥6.

若函数在[－1，1]上具有严格的单调性，则≤－1，或≥1，解得a≤－2，或a≥2.

答案：[6，＋∞)　(－∞，－2]∪[2，＋∞)

14．已知函数f(x)＝2－x.

(1)求f(0)－2××2－2的值；

(2)若函数h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)，g(x)满足下列条件：

①h(x)为偶函数；

②h(x)≥2且∃x∈R使得h(x)＝2；

③g(x)>0且g(x)恒过(0，1)点．

写出一个符合题意的函数g(x)，并说明理由．

解：(1)由题意知：f(0)－2××2－2＝20－2×2×2－2＝1－2＝1－20＝0.

(2)满足题意的函数g(x)＝2x.

理由如下：①因为h(x)＝2x＋2－x，所以h(－x)＝2－x＋2－(－x)＝2－x＋2x＝h(x)，

所以h(x)＝2x＋2－x为偶函数．

②h(x)＝2x＋2－x≥2＝2＝2＝2，

当且仅当2x＝2－x，即x＝0时等号成立，

③g(x)＝2x>0，g(x)恒过(0，1)点．

[C级　拓展探究]

15．定义：若对定义域内任意的x，都有f(x＋a)>f(x)(a为正常数)，则称函数f(x)为“a距”增函数．

(1)若f(x)＝2x－x，x∈(0，＋∞)，试判断f(x)是否为“1距”增函数，并说明理由；

(2)若f(x)＝x3－x＋4，x∈R是“a距”增函数，求实数a的取值范围．

解：(1)对任意的x>0，f(x＋1)－f(x)＝[2x＋1－(x＋1)]－(2x－x)＝2x－1，

因为x>0，所以2x>1，所以2x－1>0，即f(x＋1)－f(x)>0，

即f(x)是“1距”增函数．

(2)f(x＋a)－f(x)＝[(x＋a)3－(x＋a)＋4]－(x3－x＋4)＝3ax2＋3a2x＋a3－a.

因为f(x)是“a距”增函数，所以3ax2＋3a2x＋a3－a>0恒成立，

因为a>0，所以3x2＋3ax＋a2－>0在x∈R上恒成立，

所以Δ＝9a2－12<0，解得a2>1，因为a>0，所以a>1.

故实数a的取值范围是(1，＋∞)．