高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念练习

平面向量的概念及运算

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2021·大庆高一检测)下列说法中正确的是(　　)

A．平行向量不一定是共线向量

B．单位向量都相等

C．若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b

D．对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|

【解析】选D.平行向量是共线向量，故A不正确；

单位向量的模相等，方向不一定相同，故B不正确；

若a，b满足|a|>|b|且a与b同向，则a>b显然不正确，向量不能比较大小，故C错误；

向量的加法的三角形法则，可知对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故D正确．

2.如图，AB是半圆O的直径，P是半圆弧上的点，M，N是AB的两个三等分点，且AB＝6，则·＝(　　)

A．3    B．4    C．6    D．8

【解析】选D.·＝(＋)·(＋)＝2－2＝8.

【加固训练】

 如图，已知正六边形P1P2P3P4P5P6，下列向量的数量积中最大的是(　　)

A．    B．

C．    D．

【解析】选A.由于，故其数量积是0，可排除C；与的夹角是，

故其数量积小于零，可排除D；

设正六边形的边长是a，

则·＝||||cos 30°

＝a2，

·＝||||cos 60°＝a2.

3．(多选题)(2021·长沙高一检测)下列各式一定正确的有(　　)

A．a＝|a|2

B．[(a·b)·c－(a·c)·b]·a＝0

C．(a·b)2＝a2·b2

D．(a－b)2＝a2－2a·b＋b2

【解析】选BD.对于A，a表示一个向量，而|a|2表示一个数，故A错误；对于B，[(a·b)·c－(a·c)·b]·a＝(a·b)·(c·a)－(a·c)·(b·a)＝0故B正确；

对于C，(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ，故只有当a，b共线时才有(a·b)2＝a2·b2，故C错误；

对于D，根据平面向量的数量积的运算律可知D正确．

4．(2021·苏州模拟)如图，在斜坐标系xOy中，x轴，y轴相交成60°角，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量＝xe1＋ye2，则称有序实数对〈x，y〉为向量的坐标，记作＝〈x，y〉，在此斜坐标系xOy中，已知向量a＝〈2，3〉，b＝〈－5，2〉，则a，b夹角的大小为(　　)

A.    B．    C．    D．

【解析】选C.根据题意，在斜坐标系xOy中，x轴、y轴相交成60°角，e1，e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，则e1·e2＝，向量a＝〈2，3〉，b＝〈－5，2〉，

则a＝2e1＋3e2，b＝－5e1＋2e2，

所以a·b＝(2e1＋3e2)·(－5e1＋2e2)＝－4－11e1·e2＝－，

|a|＝＝，

|b|＝＝，

设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝－，

则θ＝.

【加固训练】

 如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，D为边BC的中点，且＝，则向量的模为(　　)

A．       B．

C．或     D．或

【解析】选B.因为AB＝4，AC＝2，∠BAC＝135°，所以·＝－8，

因为＝－＝－＝(＋)－＝－＋，

所以||＝＝

＝.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．如图，M，N是△ABC的一边BC上的两个三等分点，若＝a，＝b，则＝________．

【解析】由题意知，＝，而＝－＝b－a，所以＝(b－a)＝b－a.

答案：b－a

6．(2020·全国Ⅱ卷) 已知单位向量a，b的夹角为45°，ka－b与a垂直，则k＝________．

【解析】由题意可得：a·b＝1×1×cos 45°＝，由向量垂直的充要条件可得(ka－b)·a＝0，

即：ka2－a·b＝k－＝0，解得k＝.

答案：

三、解答题(每小题10分，共30分)

7．如图，在平面内将两块直角三角板接在一起，已知∠ABC＝45°，∠BCD＝60°，记＝a，＝b.

(1)试用a，b表示向量，；

(2)若|b|＝1，求·.

【解析】(1)＝a－b，

由题意可知，AC∥BD，BD＝BC＝AC.

所以＝b，则＝＋＝a＋b，＝－＝a＋(－1)b.

(2)因为|b|＝1，所以|a|＝，a·b＝cos 45°＝1，

则·＝a·[a＋(－1)b]＝a2＋(－1)a·b＝2＋－1＝＋1.

8．如图所示，在平行四边形ABCD中，若AB＝8，AD＝5，＝3，

(1)若∠BAD＝，求||的值；

(2)若·＝2，求·的值．

【解析】(1)在平行四边形ABCD中，AB＝8，AD＝5，＝3，当∠BAD＝时，＝＋＝＋，所以2＝2＋·＋2

＝52＋×5×8×cos ＋×82＝39，

所以||＝；

(2)＝＋＝＋，

＝＋＝－，

所以·＝·

＝2－·－2

＝25－·－×64＝2，

解得·＝22.

9．(2021·聊城高一检测)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b不共线．

(1)若向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，求实数k的值；

(2)若向量a与b的夹角为60°，求2a＋b与a－b的夹角θ.

【解析】(1)因为向量a＋kb与ka＋2b为方向相反的向量，故可设a＋kb＝μ(ka＋2b)，μ<0，

则a＋kb＝kμa＋2μb，

又a与b不共线，

故可得kμ＝1，k＝2μ，解得k＝－，u＝－.

(2)向量a与b的夹角为60°，

故可得a·b＝2×＝1.

故|2a＋b|＝＝＝2，

|a－b|＝＝＝，

(2a＋b)·(a－b)＝2－1－4＝－3.

故cos θ＝＝＝－.

又θ∈[0，π]，则θ＝π.