初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件教案

这是一份初中数学苏科版九年级下册6.4 探索三角形相似的条件教案，共8页。教案主要包含了知识目标，方法目标，能力目标，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
Ⅰ设计思想
课前分析：
学生在新授课学习期间已经学习了判定相似三角形的4种方法，但是这些基本知识及数学模型相对较为分散。学生对于单个判定方法的直接使用和简单图形的分析掌握程度较好，但是通过对复杂图形及条件的识别和分析再选择合适的方法来解决问题的能力较弱。例如，由一对三角形相似得到条件，证明另一对三角形相似的题型；利用相似的条件进行计算或者利用计算进行证明这样的综合题型；自主构建模型解决问题的题型等，学生掌握情况不佳。由于这节课处于刚刚学完4种判定，只能作为一个小结性复习，因此难度定位不应过高，以解决第一第二种题型为主，有时间的情况下可以结合坐标系建立模型。
虽然探究三角形相似的条件综合这节课的定位是一节复习课，但是学生其实刚刚学习完相似三角形的几种判定方法，掌握并不熟练，所以这节课的难度不应该设定的太高，目标的设定要有层次。
复习课其实很难上，容易上成习题课，因此老师需要想办法把零散的知识点串联起来，在引导学生探究之后一定要有方法的总结。
要体现深度学习的内涵，深度学习不能刻意的挖掘难度，走形式主义路线。应该为问题铺设台阶，让学生由浅入深的有梯度的思考，培养学生思维的深度；引导学生进行联想、发散，拓展学生思维的广度；有散就要有收，让学生学会总结。
目标定位：
一、知识目标：
1、基本的4种判定方法的复习巩固。
2、综合应用三角形相似的条件进行证明和计算。
二、方法目标：
3、已知一对角相等可以通过再找一对角相等，或者找角的两边对应成比例，构造相似三角形。
4、能够发现复杂图形中的基本模型，如A字型、8字型，找到图中的相似三角形。
三、能力目标：
5、能够在坐标系中利用相似构建模型进行计算。
6、培养学生的自主学习、提炼总结的能力，体会从特殊到一般再到特殊的认知规律。

课堂的呈现方式：
1、以多种方式鼓励学生自主学习，成为课堂的主人，如举手回答、齐答、小组交流、上黑板讲解、投影展示等。老师做好引导工作，设置好问题的梯度，随时关注学生的解题情况，及时总结。
2、一图多变，在一基本图形的基础上，通过其不断变化，发现变化的量中不变的量，即一般规律的提炼，找到常用的相似模型，总结构造相似三角形的方法。
3、PPT、投影、学案、黑板的综合运用，PPT展示问题和图形的变化，投影展示学生的作答情况，学案提供学生操作的平台，黑板上留下基本概念、书写规范、基本图形，便于学生提炼重难点。
Ⅱ教学和活动过程：
一、复习相似三角形的4种判定方法：
基本背景：在△ABC中，∠C=90°，D是AC边上的中点，E是BC边上的中点。
1、△CDE和△CAB相似吗？说明理由。
2、判定两三角形相似的条件有哪些？
设计说明：
以一个基本A字型引入，学生可以从DE∥AB；∠C=∠C,∠CDE=∠A;CD：CA=CE：CB=1:2，∠C=∠C；CD：CA=CE：CB=DE：AB=1:2四个方面证明△CDE和△CAB相似。在第一个学生举手回答之后，通过老师的追问或补充，让相似三角形的4种判定方法：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似；两个角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似；都呈现一遍，达到复习巩固相似三角形4种判定方法的目的，构建知识体系。
一图多变，进一步探究:
任务一：
背景变化：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AC边上的中点，E成为BC边上的一个动点。
问题1：在边BC上，除中点外，点E还有其他位置可以使得△CDE和△CAB相似吗？在图1中画出示意图，并求出CE的长度。
问题2：在直线BC上呢？在备用图中进行尝试。
设计说明：
基本图形进行第一次变形，即点的移动，探究难度较导入有所提升，引导学生进一步思考。
在问题1中，先给学生自主思考画图的时间，再由学生利用投影展示结果并说明理由，增强学生的操作能力及表达能力。
老师在学生回答之后做出分析：对比E点的两个位置，他们的共同点是∠C=∠C，不同之处在于另一组相等的角对应不同，或者成比例的边对应不同。
分析之后继续追问：已知一对角相等，怎样寻找其他条件构造相似三角形呢？
渗透常用解题方法：已知一对角相等，再找一对角相等，或者找角的两条边成比例。
问题1结束后，问题2相当于巩固练习，由学生画图展示。
任务二：
背景变化：在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D是AC边上的中点，E是BC边上的中点，将△CDE绕点C逆时针旋转。
问题1：△CDE转动到图2的位置，当AD=4时，求BE的长度。
问题2：△CDE继续旋转至图3的位置，A、D、E在同一条直线上。
（1）图2中相似的三角形还相似吗？
（2）图3中还有其他相似的三角形吗？
（3）现在还能求BE的长度吗？
问题3：在旋转的过程中还会有A、D、E三点共线的时候吗？请你在图4中画画看。
设计说明：
基本图形继续进行变形，即整个三角形的旋转，思维要求更高，引导学生更加深入的进行思考。
在问题1中，先让学生自主思考2分钟，再由学生说思路，老师板书过程，对证明计算的过程书写作出规范。
老师作出适当的小结：①旋转的基本特征即旋转不改变图形的形状大小，因此∠ACB恒等于∠DCE，所以∠ACD恒等于∠BCE，恒等于。（可以弱化，点一点即可，以防止课堂偏离主题到旋转。）②比例式的特性，可以通过交换内项变形为，提供△CAD和△CBE相似的条件。（重要，相似中的常用方法）③证明两三角形相似的作用，本题中我们通过相似得到对应边成比例计算出AD的长度，同时两三角形相似也可以得到对应角相等。（学生要会逆向思考，从问题出发，寻找解题思路）。这些都是非常常见和重要的解题思想，学生需要有这样分析问题、总结方法的意识。
到问题2，出现特殊位置即A、D、E在同一条直线上，特殊的位置一定会带来更多的发现和结论，也可能会有一些不变的结论。
在学生自主思考后，让学生第一次进行小组合作，使得找到的相似三角形更全。
讨论结束由小组推选学生代表进行展示并讲解，培养学生的表达能力：△CDE和△CAB、△CAD和△CBE仍然相似，并且在继续旋转的过程中会一直相似。△CAO∽△EBO（∠CAO=∠EBO加一对对顶角），△CEO∽△ABO（∠CEO=∠ABO加一对对顶角或者∠CEO=∠ABO加由△CAO∽△EBO得到对应边成比例）。
老师提出问题：你是怎样找出图形中的相似三角形？加强模型意识。
老师在学生讲解后可再强调一下相似三角形的作用——得到边成比例和角相等，由此能进行计算或者继续为其他三角形相似提供条件。
继续第三小问，求BE的长度，由于这个问题难度继续加深，所以进行第二次小组合作，老师在巡视时，可以对部分有感觉无思路的同学进行时适当的点拨，相似可得∠ACO=∠OEB=90°，，因此可以设AD=3x,BE=4x,在直角三角形ABE中列方程，即可算出x，求出BE的长。
有其他方法可以进行补充，但总体思路不变,通过相似三角形可以得到边成比例和角相等，然后利用这些条件进行计算。
继续拓展至问题3：在旋转的过程中还会有A、D、E三点共线的时候吗？试着画出图形。（由于学生还没有学过圆的相关知识，所以画图对他们来说难度较大，因此在他们尝试之后，可以利用几何画板直观展示转动过程。）
画出图形后，追问，此时图中还有哪些相似的三角形？你还能提出什么问题？
将两张图进行类比，仿照问题2中的方法即可解决，不仅是问题2的变式练习，也是为了培养学生联想、类推的能力。

拓展提高（选用）
在任务二的基础上，△CDE旋转一周的过程中还会出现其他的特殊情形：


你能仿照刚才的探究过程，选取其中一张图形，提出一些问题吗？
设计说明：
由于学生刚刚学完相似三角形的4种判定方法，掌握并不熟练，能够完成到任务二这节的目标已经基本达成。
针对学生课堂思维较活跃，课堂效率较高的情况，可以在课堂上进行一些图形的研究，如：
将第一张图形放入坐标系中，计算点E的坐标。（方法多样，如：延长ED交AB于点F，△BCE和△EFB全等；以直角ECD构造K字模型；延长ED交AB于点F，△BDF和△BCA相似等，可让学生多做补充）

类似的，可将第四张图也放入坐标系进行探究。
第二张则可和问题2、3继续对比，求BE的长度。
如果上课时间比较紧张，可以鼓励学生课后进行研究，培养学生的钻研精神，提高他们的探究能力。
四、课堂小结：
1、这节课你学到了哪些知识和方法？
2、还有什么疑问？
3、通过这节课的学习，对你以后进行自主探究有什么启发？
由学生举手回答进行补充，由知识点到总结方法到提炼从特殊到一般再应用于特殊的数学探究思想。
Ⅲ 教学再认识
复习课要和平时课堂上零散的知识区分开来，就必须体现数学的抽象性、思维的的递进性。因此复习课利用图形变换将知识点串联，帮助学生构建知识体系的同时，培养学生深度学习的意识，这一策略的实施在课堂教学中总体教学效果较好。
如果这节课可以继续改进，我想可以从这几方面入手：
课堂可以放的更开更自由，比如任务二中的问题1，可以只告诉学生AD的长度，让学生自己提出问题，比如弱化PPT、学案上的文字表述，重点展示图形，在图形变换的过程中不断添加条件，不断深化，这样课堂就会更加自然和放松。
更加切合课本和课标的要求，紧抓基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
给予学生更充分的思考时间，老师对学生的要求不作限定，探究到哪里是哪里，不强求完成某些目标，使得思考更“真”更“实”更“深”。