2021学年第7章 锐角函数7.1 正切教学设计

这是一份2021学年第7章 锐角函数7.1 正切教学设计，共4页。教案主要包含了教学背景分析，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。

1.教材分析
《正切》是《义务教育教科书•数学》苏科版九年级下册第7章第1节的内容，主要任务是借助相似的直角三角形探索并认识锐角的正切的概念，学会在直角三角形中求出某个锐角的正切值．
正切概念的形成是本课乃至本章的重点，也是难点和关键．说它是重点，是因为正切是从相似三角形到三角函数的起始，它既是几何研究新的起点，也是后继学习的重要基础；说它是难点，是因为它隐含着角度与正切值之间一一对应的函数思想；说它是关键，是因为只有正确理解了正切概念，才能真正理解直角三角形中的边角之间的关系．
2.学情分析
在学习本课之前，学生已经学习了三角形内角和、勾股定理、全等三角形、相似三角形等内容，这为正切的学习研究奠定了扎实的基础．同时，正切也是后继学习正弦、余弦，乃至三角函数、解直角三角形的重要基础．所以，本课具有承前启后的重要作用．教学中，可以充分利用学生的已有知识经验，引导学生从研究直角三角形的三角之间关系、三边之间关系，走向研究直角三角形的边角关系，并通过组织学生开展探究性学习活动，引导学生发现直角三角形中锐角的对边与邻边的比值随着锐角大小的变化而变化，随着锐角大小的确定而唯一确定，从而顺理成章地定义锐角三角函数正切的概念．
3.教学目标
（1）利用相似的直角三角形，探索并认识锐角的正切的概念，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；
（2）了解由已知锐角求它正切值的方法；
（3）了解锐角的正切值随锐角的增大而增大，初步体会三角函数的思想；
（4）经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的数学思想方法．
4.教学重点
（1）用相似的直角三角形，探索并认识锐角的正切的概念；
（2）会在直角三角形中求出某个锐角的正切值．
5.教学难点
用相似的直角三角形，探索并认识锐角的正切的概念，初步体会三角函数的思想．
二、教学过程设计
（一）创设情境，提出问题
问题1：同学们，前面我们学习了《图形的相似》，遇到了很多测量高度的问题。有一次，小明测得太阳光线与水平地面的夹角为37°，旗杆的影长为20米。就计算旗杆的高度而言，这些信息够了吗？
追问1：此时旗杆BC的长确定了吗？或者说△ABC的形状和大小确定了吗？为什么？
（确定了，因为在△ABC中，∠C=90°，∠A=37°，AC=20m，满足这样条件的三角形，可以用ASA证明它们都全等）
追问2：BC的长你会求吗？
（这里BC的长明明是确定的，就是不会求．这是一个让人感到非常郁闷的问题。其实，这样的处境，我们数学学习的过程中并不是第一次遇到？大家回忆一下，在探索勾股定理的时候，我们也遇到一个问题，就是：在直角三角形中，已知两条直角边如何求斜边呢？当时也发现两条直角边确定后，这个三角形是确定的，但就是没法求。于是，我们“退一步”从特殊情况入手，先考虑当两条直角边是3和4时如何求斜边长，后来在网格背景下通过面积计算求出了斜边等于5，进而推广到一般情形得出了直角三角形三边之间的数量关系也就是勾股定理。今天，我们是否也可以按照这个思路展开探究呢？）
（类比“勾股定理”的探究经验，“以退为进”从特殊情况入手）
（二）操作探究，解决问题
问题2：我们不妨也“退一步”从特殊情况入手，如果∠A=45°，你能求出BC的长吗？∠A=60°呢？
追问1：当∠A是45°和60°的时候，为什么能求出BC的长呢？
（原来此时要求的边与已知边的比值是一个常数，而且这个常数我们是知道的。为了说明方便，在Rt△ABC中，我们把BC叫做锐角∠A的对边、AC叫做锐角∠A的邻边（直角三角形中锐角的邻边特指相邻的直角边）。也就是说：当∠A等于45°和60°的时候，∠A的对边与邻边的比值是一个确定的常数。）
追问2：当∠A=37°时，它的对边与邻边的比值确定吗？为什么？
（∵△ABC ∽△ABC ∽△ABC ∽…∴…=k，当∠A是37°的时候，∠A的对边与邻边的比值确定。那这个比值是多少呢？）
问题3：请你设计一个方案，求出直角三角形中 37°的锐角的对边与邻边的比值的近似值（精确到0.01）．（先独立思考，再小组合作探究）
追问1：如何优化设计方案使计算更方便？如何使计算更准确？
追问2：此时，你能计算出旗杆的高度了吗？
（三）类比联想，把握本质
问题4：回顾上述的探究过程，你有哪些感悟？
（1）以退为进：从特殊到一般，退一步海阔天空。著名数学家华罗庚曾说：善于“退”，足够地“退”，“退”到最原始而不失重要性的地方，是学好数学的一个诀窍！今天我们的探究过程就是这样做的，面对一般的锐角37°，“退到”特殊的45°、30°的情形，寻求问题的突破口，从特殊到一般找到了解决问题的思路．
（2）以小见大：选取“样本”展开实验探究，达到了“见一叶而知深秋，窥一斑而见全豹”的效果。
事实上，这样的探究，我们有很多类似的经历。比如：圆的周长公式是怎么来的呢？大大小小的圆，它们的形状都是一样的，也就是它们是相似的。很久以前，古人就感受到：圆的直径越大，它的周长就越大，那么圆的周长与直径之间究竟有怎样的关系呢？对于这个问题的最早研究也是实验探究的方法，先画一个圆滚动一周测出它的周长，再测出它的直径，通过计算发现圆的周长与半径的比值大约是3.14。中国古人在这个方面的研究是作出巨大贡献的。中国古算书《周髀算经》（约公元前2世纪）的中有“径一而周三”的记载，意即π取3；这还是一个粗糙的认识，随着研究方法的改进，人们对这个比值的认识越来越精确，说到这里，不得不提的一个人就是公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927。这是一个了不起的成就。后来，人们把“圆的周长与半径的比值”称之为圆周率，今天，我们也给“直角三角形中锐角的对边与邻边的比”起个名字，叫“正切”。
（四）科学表述，形成概念
直角三角形中，一个锐角的大小与它的对边与邻边的比值是一一对应的，我们把一个锐角的对边与邻边的比值叫做这个锐角的正切．
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切（tangent），记作tan A，即tan A＝＝＝．
表示方法：tan α=tan45°=1，tan∠1=tan60°=，tan∠BAC=tan37°≈0.75。
追问1：锐角的正切值与它所在的直角三角形有关系吗？
（锐角的正切是一个比值，它是锐角本身的属性，与直角三角形没有关系．）
追问2：“圆的周长与直径的比”就是一个数值π，但“直角三角形中锐角的对比与邻边的比”始终是一个数值吗？
在实际应用中，如果下次要用57°角的对边与邻边的比值呢？它的值还是0.75吗？比0.75大还是小？25°角呢？你有什么发现？（直角三角形中锐角的对边与邻边的比随着锐角的变大而变大。）为什么？这时你想到了什么？（函数）所以，新的一章，我们就站到函数的高度来研究这样的比值，我们称之为“锐角三角函数”。当然，这里的“锐角三角函数”是一个总称，锐角三角函数包含几种类型，今天研究的是其中一种类型。
其他角度的正切值是多少呢？总不能每用一个，探究一个吧？（好在前人在这方面做了大量艰辛的劳动，曾花费大量的时间与精力，提供了三角函数值表．当然，现在由于计算工具的改进，用计算器求一个角的正切值就更方便了．）
（五）例题精析，内化概念
问题5：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tan A、tan B．
变式1：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tan A=，求AC的长．
变式2：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，过点C作CD⊥AB于点D，求tan ∠ACD．
问题6：如图，在等边三角形ABC中，AB＝2，求tan A．
变式：如图，将∠BAC放置在5×5的正方形网格中，如果顶点A、B、C均在格点上，那么∠BAC的正切值为 ．
（六）总结反思，拓展探究
1.你对tan A有哪些认识？
（tan A是一个完整的符号,表示锐角∠A的正切；tan A是一个比值，它是在直角三角形中定义的,但它的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关；锐角的正切值随锐角的变大而变大．）
2.从今天探究过程中，你获得了哪些经验？
3.对于直角三角形中的边角关系，你还有什么发现？你还想从哪些方向展开新的探究？